Theorem mulgghm 19978

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed integer 𝑛 is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgghm	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablgrp 19935	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5		mulgmhm.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 5	mulgcl 19237	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7110	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
10		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
11	1, 5, 2	mulgdi 19976	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	10, 11	sylan2br 607	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	1, 2	grpcl 19088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	4, 15	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7448	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6988	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6988	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6988	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30	isghmd 19375	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  ℤcz 12637  Basecbs 17323  +_gcplusg 17364  Grpcgrp 19080  ._gcmg 19213   GrpHom cghm 19363  Abelcabl 19931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-seq 14088  df-0g 17548  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-mulg 19214  df-ghm 19364  df-cmn 19932  df-abl 19933

This theorem is used by:  gsummulglem  20091