MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm 19614
Description: The map from ๐‘ฅ to ๐‘›๐‘ฅ for a fixed integer ๐‘› is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmhm.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgghm ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐บ   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ, ยท

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 eqid 2737 . 2 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3 ablgrp 19574 . . 3 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
43adantr 482 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5 mulgmhm.m . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
61, 5mulgcl 18900 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
73, 6syl3an1 1164 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
873expa 1119 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ต)
98fmpttd 7068 . 2 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)):๐ตโŸถ๐ต)
10 3anass 1096 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)))
111, 5, 2mulgdi 19612 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
1210, 11sylan2br 596 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต))) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
1312anassrs 469 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
141, 2grpcl 18763 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
15143expb 1121 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
164, 15sylan 581 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต)
17 oveq2 7370 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
18 eqid 2737 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))
19 ovex 7395 . . . . 5 (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) โˆˆ V
2017, 18, 19fvmpt 6953 . . . 4 ((๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (๐‘€ ยท (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)))
22 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
23 ovex 7395 . . . . . 6 (๐‘€ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
2422, 18, 23fvmpt 6953 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘€ ยท ๐‘ฆ))
25 oveq2 7370 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
26 ovex 7395 . . . . . 6 (๐‘€ ยท ๐‘ง) โˆˆ V
2725, 18, 26fvmpt 6953 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง) = (๐‘€ ยท ๐‘ง))
2824, 27oveqan12d 7381 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
2928adantl 483 . . 3 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘€ ยท ๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)(๐‘€ ยท ๐‘ง)))
3013, 21, 293eqtr4d 2787 . 2 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜(๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ง)) = (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ฆ)(+gโ€˜๐บ)((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ))โ€˜๐‘ง)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 19024 1 ((๐บ โˆˆ Abel โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘€ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ (๐บ GrpHom ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„คcz 12506  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Grpcgrp 18755  .gcmg 18879   GrpHom cghm 19012  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19725
  Copyright terms: Public domain W3C validator