Theorem mulgghm 19742

Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed integer 𝑛 is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgghm	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgmhm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablgrp 19699	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5		mulgmhm.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 5	mulgcl 19005	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl3an1 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
8	7	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9	8	fmpttd 7069	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵⟶𝐵)
10		3anass 1094	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)))
11	1, 5, 2	mulgdi 19740	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
12	10, 11	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
13	12	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
14	1, 2	grpcl 18855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15	14	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16	4, 15	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ V
20	17, 18, 19	fvmpt 6950	. . . 4 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
22		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑦) ∈ V
24	22, 18, 23	fvmpt 6950	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 · 𝑧) ∈ V
27	25, 18, 26	fvmpt 6950	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
28	24, 27	oveqan12d 7388	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
29	28	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g‘𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
30	13, 21, 29	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g‘𝐺)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
31	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30	isghmd 19139	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℤcz 12505  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Grpcgrp 18847  ._gcmg 18981   GrpHom cghm 19126  Abelcabl 19695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-mulg 18982  df-ghm 19127  df-cmn 19696  df-abl 19697

This theorem is referenced by:  gsummulglem  19855