MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm 19861
Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed integer 𝑛 is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgghm ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 ablgrp 19818 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
43adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5 mulgmhm.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
61, 5mulgcl 19122 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
73, 6syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
873expa 1117 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
98fmpttd 7135 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
10 3anass 1094 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
111, 5, 2mulgdi 19859 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1210, 11sylan2br 595 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1312anassrs 467 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
141, 2grpcl 18972 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1119 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
164, 15sylan 580 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
18 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19 ovex 7464 . . . . 5 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
22 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26 ovex 7464 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2824, 27oveqan12d 7450 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
2928adantl 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3013, 21, 293eqtr4d 2785 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 19256 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cz 12611  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098   GrpHom cghm 19243  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19974
  Copyright terms: Public domain W3C validator