MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm 18927
Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed integer 𝑛 is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgghm ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2821 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 ablgrp 18889 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
43adantr 484 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5 mulgmhm.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
61, 5mulgcl 18223 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
73, 6syl3an1 1160 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
873expa 1115 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
98fmpttd 6852 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
10 3anass 1092 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
111, 5, 2mulgdi 18925 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1210, 11sylan2br 597 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1312anassrs 471 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
141, 2grpcl 18089 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
15143expb 1117 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
164, 15sylan 583 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17 oveq2 7138 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
18 eqid 2821 . . . . 5 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
19 ovex 7163 . . . . 5 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6741 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2116, 20syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
22 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23 ovex 7163 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2422, 18, 23fvmpt 6741 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26 ovex 7163 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2725, 18, 26fvmpt 6741 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2824, 27oveqan12d 7149 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
2928adantl 485 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3013, 21, 293eqtr4d 2866 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 30isghmd 18345 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cmpt 5119  cfv 6328  (class class class)co 7130  cz 11959  Basecbs 16461  +gcplusg 16543  Grpcgrp 18081  .gcmg 18202   GrpHom cghm 18333  Abelcabl 18885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-mulg 18203  df-ghm 18334  df-cmn 18886  df-abl 18887
This theorem is referenced by:  gsummulglem  19039
  Copyright terms: Public domain W3C validator