Theorem isrhmd 19888

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
isrhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
isrhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
isrhmd.hp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isrhmd.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		isrhmd.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
4		isrhmd.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		isrhmd.u	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑆)
6		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
8		isrhmd.ho	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
9		isrhmd.ht	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
10		isrhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11		isrhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		isrhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
13		ringgrp 19703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	6, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		ringgrp 19703	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
16	7, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
17		isrhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
18		isrhmd.hp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 18758	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 19887	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Grpcgrp 18492  1_rcur 19652  Ringcrg 19698   RingHom crh 19871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mhm 18345  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rnghom 19874

This theorem is referenced by:  issrngd  20036  evlslem1  21202  frobrhm  31387  qqhrhm  31839