MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhmd 19605
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o 1 = (1r𝑅)
isrhmd.n 𝑁 = (1r𝑆)
isrhmd.t · = (.r𝑅)
isrhmd.u × = (.r𝑆)
isrhmd.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s (𝜑𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
isrhmd.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p + = (+g𝑅)
isrhmd.q = (+g𝑆)
isrhmd.f (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
isrhmd.hp ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
isrhmd (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd
StepHypRef Expression
1 isrhmd.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 isrhmd.o . 2 1 = (1r𝑅)
3 isrhmd.n . 2 𝑁 = (1r𝑆)
4 isrhmd.t . 2 · = (.r𝑅)
5 isrhmd.u . 2 × = (.r𝑆)
6 isrhmd.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 isrhmd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
8 isrhmd.ho . 2 (𝜑 → (𝐹1 ) = 𝑁)
9 isrhmd.ht . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹𝑥) × (𝐹𝑦)))
10 isrhmd.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
11 isrhmd.p . . 3 + = (+g𝑅)
12 isrhmd.q . . 3 = (+g𝑆)
13 ringgrp 19423 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
146, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
15 ringgrp 19423 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
167, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
17 isrhmd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐶)
18 isrhmd.hp . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹𝑥) (𝐹𝑦)))
191, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18isghmd 18487 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19isrhm2d 19604 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7172  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  .rcmulr 16671  Grpcgrp 18221  1rcur 19372  Ringcrg 19418   RingHom crh 19588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-plusg 16683  df-0g 16820  df-mhm 18074  df-ghm 18476  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-ring 19420  df-rnghom 19591
This theorem is referenced by:  issrngd  19753  evlslem1  20898  frobrhm  31064  qqhrhm  31511
  Copyright terms: Public domain W3C validator