Theorem isrhmd 20388

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
isrhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
isrhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
isrhmd.hp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isrhmd.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		isrhmd.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
4		isrhmd.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		isrhmd.u	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑆)
6		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
8		isrhmd.ho	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
9		isrhmd.ht	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
10		isrhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11		isrhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		isrhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
13		ringgrp 20141	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	6, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		ringgrp 20141	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
16	7, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
17		isrhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
18		isrhmd.hp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 19148	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 20387	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  Grpcgrp 18861  1_rcur 20084  Ringcrg 20136   RingHom crh 20369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mhm 18711  df-ghm 19137  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-rhm 20372

This theorem is referenced by:  issrngd  20702  evlslem1  21983  frobrhm  32884  imasrhm  32974  evls1maprhm  33278  qqhrhm  33499  rhmmpl  41663  evlsmaprhm  41680