![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > isrhmd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
isrhmd.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
isrhmd.o | โข 1 = (1rโ๐ ) |
isrhmd.n | โข ๐ = (1rโ๐) |
isrhmd.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
isrhmd.u | โข ร = (.rโ๐) |
isrhmd.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
isrhmd.s | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
isrhmd.ho | โข (๐ โ (๐นโ 1 ) = ๐) |
isrhmd.ht | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) |
isrhmd.c | โข ๐ถ = (Baseโ๐) |
isrhmd.p | โข + = (+gโ๐ ) |
isrhmd.q | โข โจฃ = (+gโ๐) |
isrhmd.f | โข (๐ โ ๐น:๐ตโถ๐ถ) |
isrhmd.hp | โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) โจฃ (๐นโ๐ฆ))) |
Ref | Expression |
---|---|
isrhmd | โข (๐ โ ๐น โ (๐ RingHom ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | isrhmd.b | . 2 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
2 | isrhmd.o | . 2 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
3 | isrhmd.n | . 2 โข ๐ = (1rโ๐) | |
4 | isrhmd.t | . 2 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
5 | isrhmd.u | . 2 โข ร = (.rโ๐) | |
6 | isrhmd.r | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
7 | isrhmd.s | . 2 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
8 | isrhmd.ho | . 2 โข (๐ โ (๐นโ 1 ) = ๐) | |
9 | isrhmd.ht | . 2 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ ยท ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) ร (๐นโ๐ฆ))) | |
10 | isrhmd.c | . . 3 โข ๐ถ = (Baseโ๐) | |
11 | isrhmd.p | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
12 | isrhmd.q | . . 3 โข โจฃ = (+gโ๐) | |
13 | ringgrp 20178 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
14 | 6, 13 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
15 | ringgrp 20178 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
16 | 7, 15 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
17 | isrhmd.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น:๐ตโถ๐ถ) | |
18 | isrhmd.hp | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฅ โ ๐ต โง ๐ฆ โ ๐ต)) โ (๐นโ(๐ฅ + ๐ฆ)) = ((๐นโ๐ฅ) โจฃ (๐นโ๐ฆ))) | |
19 | 1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18 | isghmd 19179 | . 2 โข (๐ โ ๐น โ (๐ GrpHom ๐)) |
20 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19 | isrhm2d 20426 | 1 โข (๐ โ ๐น โ (๐ RingHom ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โถwf 6544 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Basecbs 17180 +gcplusg 17233 .rcmulr 17234 Grpcgrp 18890 1rcur 20121 Ringcrg 20173 RingHom crh 20408 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-er 8725 df-map 8847 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-nn 12244 df-2 12306 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-plusg 17246 df-0g 17423 df-mhm 18740 df-ghm 19168 df-mgp 20075 df-ur 20122 df-ring 20175 df-rhm 20411 |
This theorem is referenced by: issrngd 20741 evlslem1 22028 evls1maprhm 22295 frobrhm 32954 rlocf1 33000 imasrhm 33081 qqhrhm 33590 rhmmpl 41786 evlsmaprhm 41803 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |