Theorem isrhmd 20458

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isrhmd.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
isrhmd.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
isrhmd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
isrhmd.u	⊢ × = (.r‘𝑆)
isrhmd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
isrhmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
isrhmd.ho	⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
isrhmd.ht	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
isrhmd.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
isrhmd.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
isrhmd.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
isrhmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
isrhmd.hp	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)   × (𝑥,𝑦)   1 (𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isrhmd.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		isrhmd.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑆)
4		isrhmd.t	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		isrhmd.u	. 2 ⊢ × = (.r‘𝑆)
6		isrhmd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		isrhmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
8		isrhmd.ho	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 1 ) = 𝑁)
9		isrhmd.ht	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 · 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) × (𝐹‘𝑦)))
10		isrhmd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
11		isrhmd.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
12		isrhmd.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑆)
13		ringgrp 20210	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
14	6, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
15		ringgrp 20210	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
16	7, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
17		isrhmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
18		isrhmd.hp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 19191	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 20457	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Grpcgrp 18900  1_rcur 20153  Ringcrg 20205   RingHom crh 20440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mhm 18742  df-ghm 19179  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-rhm 20443

This theorem is referenced by:  issrngd  20823  frobrhm  21565  evlslem1  22070  evls1maprhm  22351  rhmmpl  22358  rlocf1  33349  imasrhm  33431  mplvrpmrhm  33706  qqhrhm  34149  rhmpsr  43009  evlsmaprhm  43020