MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhmd 20162
Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhmd.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
isrhmd.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
isrhmd.n ๐‘ = (1rโ€˜๐‘†)
isrhmd.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
isrhmd.u ร— = (.rโ€˜๐‘†)
isrhmd.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
isrhmd.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
isrhmd.ho (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) = ๐‘)
isrhmd.ht ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
isrhmd.c ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
isrhmd.p + = (+gโ€˜๐‘…)
isrhmd.q โจฃ = (+gโ€˜๐‘†)
isrhmd.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
isrhmd.hp ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โจฃ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
isrhmd (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, โจฃ ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   1 (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isrhmd
StepHypRef Expression
1 isrhmd.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 isrhmd.o . 2 1 = (1rโ€˜๐‘…)
3 isrhmd.n . 2 ๐‘ = (1rโ€˜๐‘†)
4 isrhmd.t . 2 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 isrhmd.u . 2 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
6 isrhmd.r . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
7 isrhmd.s . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Ring)
8 isrhmd.ho . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ 1 ) = ๐‘)
9 isrhmd.ht . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) ร— (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
10 isrhmd.c . . 3 ๐ถ = (Baseโ€˜๐‘†)
11 isrhmd.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
12 isrhmd.q . . 3 โจฃ = (+gโ€˜๐‘†)
13 ringgrp 19970 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
146, 13syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
15 ringgrp 19970 . . . 4 (๐‘† โˆˆ Ring โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
167, 15syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Grp)
17 isrhmd.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโŸถ๐ถ)
18 isrhmd.hp . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โจฃ (๐นโ€˜๐‘ฆ)))
191, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18isghmd 19018 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘†))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19isrhm2d 20161 1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… RingHom ๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  .rcmulr 17135  Grpcgrp 18749  1rcur 19914  Ringcrg 19965   RingHom crh 20144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-mhm 18602  df-ghm 19007  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-rnghom 20147
This theorem is referenced by:  issrngd  20323  evlslem1  21495  frobrhm  32071  evls1maprhm  32371  qqhrhm  32573  rhmmpl  40744
  Copyright terms: Public domain W3C validator