MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishashinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishashinf 14369
Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9211. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ishashinf (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
2 ficardom 9904 . . . . . 6 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰)
4 isinf 9211 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž))
5 breq2 5114 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (π‘₯ β‰ˆ π‘Ž ↔ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
65anbi2d 630 . . . . . . 7 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)))))
76exbidv 1925 . . . . . 6 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)))))
87rspcva 3582 . . . . 5 (((cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
93, 4, 8syl2anr 598 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
10 velpw 4570 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐴)
1110biimpri 227 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴))
13 hasheni 14255 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))))
1413adantl 483 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))))
15 hashcard 14262 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = (β™―β€˜(1...𝑛)))
161, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = (β™―β€˜(1...𝑛)))
17 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
18 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑛)) = 𝑛)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑛)) = 𝑛)
2016, 19eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = 𝑛)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = 𝑛)
2214, 21eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
2322ex 414 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
2412, 23anim12d 610 . . . . 5 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)))
2524eximdv 1921 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)))
269, 25mpd 15 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
27 df-rex 3075 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛 ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
2826, 27sylibr 233 . 2 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
2928ralrimiva 3144 1 (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887  Fincfn 8890  cardccrd 9878  1c1 11059  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β™―chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  esumcst  32702  sge0rpcpnf  44736
  Copyright terms: Public domain W3C validator