Theorem ishashinf 14456

Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9283. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ishashinf	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13970	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		ficardom 9984	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4		isinf 9283	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎))
5		breq2 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥 ≈ 𝑎 ↔ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
7	6	exbidv 1916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
8	7	rspcva 3599	. . . . 5 ⊢ (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎)) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
9	3, 4, 8	syl2anr 595	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10		velpw 4603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13		hasheni 14339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
14	13	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15		hashcard 14346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17		nnnn0 12509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18		hashfz1 14337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
20	16, 19	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
22	14, 21	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
23	22	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
24	12, 23	anim12d 607	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
25	24	eximdv 1912	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
26	9, 25	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27		df-rex 3061	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
28	26, 27	sylibr 233	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
29	28	ralrimiva 3136	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ωcom 7868   ≈ cen 8959  Fincfn 8962  cardccrd 9958  1c1 11139  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  ...cfz 13516  ♯chash 14321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322

This theorem is referenced by:  esumcst  33739  sge0rpcpnf  45872