Theorem ishashinf 14611

Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9259. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ishashinf	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14119	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		ficardom 10045	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4		isinf 9259	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎))
5		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥 ≈ 𝑎 ↔ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
6	5	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
7	6	exbidv 1953	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
8	7	rspcva 3574	. . . . 5 ⊢ (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎)) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
9	3, 4, 8	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10		velpw 4561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	biimpri 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13		hasheni 14495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15		hashcard 14502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
16	1, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17		nnnn0 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18		hashfz1 14493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
20	16, 19	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
21	20	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
22	14, 21	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
23	22	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
24	12, 23	anim12d 621	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
25	24	eximdv 1949	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
26	9, 25	mpd 16	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27		df-rex 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
28	26, 27	sylibr 237	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
29	28	ralrimiva 3154	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≈ cen 8973  Fincfn 8976  cardccrd 10019  1c1 11204  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ♯chash 14477

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478

This theorem is used by:  esumcst  34741  sge0rpcpnf  47524