MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishashinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishashinf 14456
Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9283. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ishashinf (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13970 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1...𝑛) ∈ Fin)
2 ficardom 9984 . . . . . 6 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰)
4 isinf 9283 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž))
5 breq2 5147 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (π‘₯ β‰ˆ π‘Ž ↔ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
65anbi2d 628 . . . . . . 7 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)))))
76exbidv 1916 . . . . . 6 (π‘Ž = (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)))))
87rspcva 3599 . . . . 5 (((cardβ€˜(1...𝑛)) ∈ Ο‰ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ Ο‰ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
93, 4, 8syl2anr 595 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))))
10 velpw 4603 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐴)
1110biimpri 227 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴))
13 hasheni 14339 . . . . . . . . 9 (π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))))
1413adantl 480 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))))
15 hashcard 14346 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = (β™―β€˜(1...𝑛)))
161, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = (β™―β€˜(1...𝑛)))
17 nnnn0 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
18 hashfz1 14337 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑛)) = 𝑛)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(1...𝑛)) = 𝑛)
2016, 19eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = 𝑛)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜(1...𝑛))) = 𝑛)
2214, 21eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
2322ex 411 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛)) β†’ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
2412, 23anim12d 607 . . . . 5 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)))
2524eximdv 1912 . . . 4 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ (cardβ€˜(1...𝑛))) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)))
269, 25mpd 15 . . 3 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
27 df-rex 3061 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛 ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β™―β€˜π‘₯) = 𝑛))
2826, 27sylibr 233 . 2 ((Β¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
2928ralrimiva 3136 1 (Β¬ 𝐴 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝒫 𝐴(β™―β€˜π‘₯) = 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Ο‰com 7868   β‰ˆ cen 8959  Fincfn 8962  cardccrd 9958  1c1 11139  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  β™―chash 14321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322
This theorem is referenced by:  esumcst  33739  sge0rpcpnf  45872
  Copyright terms: Public domain W3C validator