Theorem ishashinf 14512

Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9323. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ishashinf	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14024	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		ficardom 10030	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4		isinf 9323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎))
5		breq2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥 ≈ 𝑎 ↔ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
6	5	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
7	6	exbidv 1920	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
8	7	rspcva 3633	. . . . 5 ⊢ (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎)) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
9	3, 4, 8	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10		velpw 4627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13		hasheni 14397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15		hashcard 14404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18		hashfz1 14395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
20	16, 19	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
21	20	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
22	14, 21	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
24	12, 23	anim12d 608	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
25	24	eximdv 1916	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
26	9, 25	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27		df-rex 3077	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
28	26, 27	sylibr 234	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
29	28	ralrimiva 3152	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  cardccrd 10004  1c1 11185  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  esumcst  34027  sge0rpcpnf  46342