Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishashinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishashinf 13821
 Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 8719. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
ishashinf 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13340 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2 ficardom 9378 . . . . . 6 ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4 isinf 8719 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑎))
5 breq2 5037 . . . . . . . 8 (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥𝑎𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
65anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥𝐴𝑥𝑎) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
76exbidv 1922 . . . . . 6 (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
87rspcva 3572 . . . . 5 (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑎)) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
93, 4, 8syl2anr 599 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10 velpw 4505 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1110biimpri 231 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1211a1i 11 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13 hasheni 13708 . . . . . . . . 9 (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
1413adantl 485 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15 hashcard 13716 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
161, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 13706 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
2016, 19eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
2214, 21eqtrd 2836 . . . . . . 7 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
2322ex 416 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
2412, 23anim12d 611 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
2524eximdv 1918 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
269, 25mpd 15 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27 df-rex 3115 . . 3 (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
2826, 27sylibr 237 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
2928ralrimiva 3152 1 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ωcom 7564   ≈ cen 8493  Fincfn 8496  cardccrd 9352  1c1 10531  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  ♯chash 13690 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691 This theorem is referenced by:  esumcst  31430  sge0rpcpnf  43047
 Copyright terms: Public domain W3C validator