Theorem ishashinf 13815

Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 8725. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ishashinf	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13335	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		ficardom 9384	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4		isinf 8725	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎))
5		breq2 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥 ≈ 𝑎 ↔ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
6	5	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
7	6	exbidv 1918	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
8	7	rspcva 3620	. . . . 5 ⊢ (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎)) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
9	3, 4, 8	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10		velpw 4546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	biimpri 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13		hasheni 13702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15		hashcard 13710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17		nnnn0 11898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18		hashfz1 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
20	16, 19	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
22	14, 21	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
23	22	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
24	12, 23	anim12d 610	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
25	24	eximdv 1914	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
26	9, 25	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27		df-rex 3144	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
28	26, 27	sylibr 236	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
29	28	ralrimiva 3182	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ωcom 7574   ≈ cen 8500  Fincfn 8503  cardccrd 9358  1c1 10532  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ...cfz 12886  ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685

This theorem is referenced by:  esumcst  31317  sge0rpcpnf  42697