Theorem ishashinf 14430

Description: Any set that is not finite contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. Cf. isinf 9262. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ishashinf	⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Proof of Theorem ishashinf

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13944	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
2		ficardom 9958	. . . . . 6 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (card‘(1...𝑛)) ∈ ω)
4		isinf 9262	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎))
5		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (𝑥 ≈ 𝑎 ↔ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
6	5	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
7	6	exbidv 1916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (card‘(1...𝑛)) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)))))
8	7	rspcva 3604	. . . . 5 ⊢ (((card‘(1...𝑛)) ∈ ω ∧ ∀𝑎 ∈ ω ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ 𝑎)) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
9	3, 4, 8	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))))
10		velpw 4602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
11	10	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13		hasheni 14313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = (♯‘(card‘(1...𝑛))))
15		hashcard 14320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = (♯‘(1...𝑛)))
17		nnnn0 12483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
18		hashfz1 14311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
20	16, 19	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
21	20	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘(card‘(1...𝑛))) = 𝑛)
22	14, 21	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (♯‘𝑥) = 𝑛)
23	22	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛)) → (♯‘𝑥) = 𝑛))
24	12, 23	anim12d 608	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
25	24	eximdv 1912	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≈ (card‘(1...𝑛))) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛)))
26	9, 25	mpd 15	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
27		df-rex 3065	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 𝑛))
28	26, 27	sylibr 233	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)
29	28	ralrimiva 3140	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(♯‘𝑥) = 𝑛)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ωcom 7852   ≈ cen 8938  Fincfn 8941  cardccrd 9932  1c1 11113  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  ...cfz 13490  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  esumcst  33591  sge0rpcpnf  45709