Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnf 45677
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnf.j 𝑗𝐹
limsupmnf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnf (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupmnf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 limsupmnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3 eqid 2735 . . 3 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)), ℝ*, < ))
41, 2, 3limsupmnflem 45676 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)))
5 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
76ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
87rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
9 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑙𝑘𝑙))
109imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
1110ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
12 nfv 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑙
13 limsupmnf.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐹
14 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑙
1513, 14nffv 6917 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐹𝑙)
16 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑗
17 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑥
1815, 16, 17nfbr 5195 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
1912, 18nfim 1894 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
20 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
21 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → (𝑘𝑙𝑘𝑗))
22 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
2322breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2421, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2519, 20, 24cbvralw 3304 . . . . . . . . 9 (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2711, 26bitrd 279 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2827cbvrexvw 3236 . . . . . 6 (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
308, 29bitrd 279 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3130cbvralvw 3235 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3231a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
334, 32bitrd 279 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wnfc 2888  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  [,)cico 13386  lim supclsp 15503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ico 13390  df-limsup 15504
This theorem is referenced by:  limsupre2lem  45680  limsupmnfuzlem  45682
  Copyright terms: Public domain W3C validator