Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupmnf 45736
Description: The superior limit of a function is -∞ if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to an upper interval of real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupmnf.j 𝑗𝐹
limsupmnf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupmnf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupmnf (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupmnf
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupmnf.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 limsupmnf.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3 eqid 2737 . . 3 (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑖 ∈ ℝ ↦ sup((𝐹 “ (𝑖[,)+∞)), ℝ*, < ))
41, 2, 3limsupmnflem 45735 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦)))
5 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) ≤ 𝑥))
65imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
76ralbidv 3178 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
87rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
9 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑙𝑘𝑙))
109imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
1110ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)))
12 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑗 𝑘𝑙
13 limsupmnf.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝐹
14 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑙
1513, 14nffv 6916 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐹𝑙)
16 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑗
17 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑥
1815, 16, 17nfbr 5190 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝐹𝑙) ≤ 𝑥
1912, 18nfim 1896 . . . . . . . . . 10 𝑗(𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥)
20 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑙(𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
21 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → (𝑘𝑙𝑘𝑗))
22 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
2322breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2421, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2519, 20, 24cbvralw 3306 . . . . . . . . 9 (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2711, 26bitrd 279 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
2827cbvrexvw 3238 . . . . . 6 (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2928a1i 11 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
308, 29bitrd 279 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
3130cbvralvw 3237 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3231a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
334, 32bitrd 279 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  [,)cico 13389  lim supclsp 15506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ico 13393  df-limsup 15507
This theorem is referenced by:  limsupre2lem  45739  limsupmnfuzlem  45741
  Copyright terms: Public domain W3C validator