Theorem limsupequzmpt 44955

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmpt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmpt.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmpt.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmpt.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmpt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑗)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupequzmpt.j	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		limsupequzmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequzmpt.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		limsupequzmpt.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
5		limsupequzmpt.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
6		limsupequzmpt.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		limsupequzmpt.d	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
8		eqid 2724	. 2 ⊢ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	limsupequzmptlem 44954	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  ifcif 4521   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534   ≤ cle 11247  ℤcz 12556  ℤ_≥cuz 12820  lim supclsp 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-ico 13328  df-limsup 15413

This theorem is referenced by:  limsupequzmptf  44957  smflimsuplem4  46049  smflimsuplem5  46050  smflimsuplem8  46053  smflimsupmpt  46055