Theorem limsupequzmptf 46505

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptf.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptf.o	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
limsupequzmptf.p	⊢ Ⅎ𝑗𝐵
limsupequzmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptf.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptf	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupequzmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequzmptf.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		limsupequzmptf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
5		limsupequzmptf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
6		limsupequzmptf.j	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		limsupequzmptf.o	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
8	7	nfcri 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐴
9	6, 8	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
11		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑉
12	10, 11	nfel 2941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉
13	9, 12	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
14		eleq1w 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
16		csbeq1a 3868	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
17	16	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉))
18	15, 17	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)))
19		limsupequzmptf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	13, 18, 19	chvarfv 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
21		limsupequzmptf.p	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
22	21	nfcri 2919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐵
23	6, 22	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
24		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑊
25	10, 24	nfel 2941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊
26	23, 25	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
27		eleq1w 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
28	27	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	16	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊))
30	28, 29	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)))
31		limsupequzmptf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
32	26, 30, 31	chvarfv 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
33	1, 2, 3, 4, 5, 20, 32	limsupequzmpt 46503	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
34		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
35		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
36	7, 34, 35, 10, 16	cbvmptf 5213	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
37	36	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
39		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
40	21, 39, 35, 10, 16	cbvmptf 5213	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
41	40	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
42	41	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
43	33, 38, 42	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ⦋csb 3854   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  lim supclsp 15547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-ico 13396  df-limsup 15548

This theorem is used by: (None)