Theorem limsupequzmptf 45587

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptf.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptf.o	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
limsupequzmptf.p	⊢ Ⅎ𝑗𝐵
limsupequzmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptf.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptf	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupequzmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequzmptf.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		limsupequzmptf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
5		limsupequzmptf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
6		limsupequzmptf.j	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		limsupequzmptf.o	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
8	7	nfcri 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐴
9	6, 8	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3940	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
11		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑉
12	10, 11	nfel 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉
13	9, 12	nfim 1895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
14		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
16		csbeq1a 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
17	16	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)))
19		limsupequzmptf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	13, 18, 19	chvarfv 2236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
21		limsupequzmptf.p	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
22	21	nfcri 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐵
23	6, 22	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
24		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑊
25	10, 24	nfel 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊
26	23, 25	nfim 1895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
27		eleq1w 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
28	27	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	16	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)))
31		limsupequzmptf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
32	26, 30, 31	chvarfv 2236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
33	1, 2, 3, 4, 5, 20, 32	limsupequzmpt 45585	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
34		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
35		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
36	7, 34, 35, 10, 16	cbvmptf 5278	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
37	36	fveq2i 6922	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
39		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
40	21, 39, 35, 10, 16	cbvmptf 5278	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
41	40	fveq2i 6922	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
42	41	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
43	33, 38, 42	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2103  Ⅎwnfc 2888  ⦋csb 3915   ↦ cmpt 5252  ‘cfv 6572  ℤcz 12635  ℤ_≥cuz 12899  lim supclsp 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-ico 13409  df-limsup 15513

This theorem is referenced by: (None)