Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzmptf 44745
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzmptf.j 𝑗𝜑
limsupequzmptf.o 𝑗𝐴
limsupequzmptf.p 𝑗𝐵
limsupequzmptf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.a 𝐴 = (ℤ𝑀)
limsupequzmptf.b 𝐵 = (ℤ𝑁)
limsupequzmptf.c ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
limsupequzmptf.d ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
Assertion
Ref Expression
limsupequzmptf (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptf
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 𝑘𝜑
2 limsupequzmptf.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 limsupequzmptf.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 limsupequzmptf.a . . 3 𝐴 = (ℤ𝑀)
5 limsupequzmptf.b . . 3 𝐵 = (ℤ𝑁)
6 limsupequzmptf.j . . . . . 6 𝑗𝜑
7 limsupequzmptf.o . . . . . . 7 𝑗𝐴
87nfcri 2888 . . . . . 6 𝑗 𝑘𝐴
96, 8nfan 1900 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑘𝐴)
10 nfcsb1v 3917 . . . . . 6 𝑗𝑘 / 𝑗𝐶
11 nfcv 2901 . . . . . 6 𝑗𝑉
1210, 11nfel 2915 . . . . 5 𝑗𝑘 / 𝑗𝐶𝑉
139, 12nfim 1897 . . . 4 𝑗((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑉)
14 eleq1w 2814 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
1514anbi2d 627 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝐴) ↔ (𝜑𝑘𝐴)))
16 csbeq1a 3906 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝐶)
1716eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶𝑉𝑘 / 𝑗𝐶𝑉))
1815, 17imbi12d 343 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉) ↔ ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑉)))
19 limsupequzmptf.c . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑉)
2013, 18, 19chvarfv 2231 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑉)
21 limsupequzmptf.p . . . . . . 7 𝑗𝐵
2221nfcri 2888 . . . . . 6 𝑗 𝑘𝐵
236, 22nfan 1900 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑘𝐵)
24 nfcv 2901 . . . . . 6 𝑗𝑊
2510, 24nfel 2915 . . . . 5 𝑗𝑘 / 𝑗𝐶𝑊
2623, 25nfim 1897 . . . 4 𝑗((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑊)
27 eleq1w 2814 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐵𝑘𝐵))
2827anbi2d 627 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑𝑗𝐵) ↔ (𝜑𝑘𝐵)))
2916eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐶𝑊𝑘 / 𝑗𝐶𝑊))
3028, 29imbi12d 343 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊) ↔ ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑊)))
31 limsupequzmptf.d . . . 4 ((𝜑𝑗𝐵) → 𝐶𝑊)
3226, 30, 31chvarfv 2231 . . 3 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘 / 𝑗𝐶𝑊)
331, 2, 3, 4, 5, 20, 32limsupequzmpt 44743 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑘𝐴𝑘 / 𝑗𝐶)) = (lim sup‘(𝑘𝐵𝑘 / 𝑗𝐶)))
34 nfcv 2901 . . . . 5 𝑘𝐴
35 nfcv 2901 . . . . 5 𝑘𝐶
367, 34, 35, 10, 16cbvmptf 5256 . . . 4 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝑘 / 𝑗𝐶)
3736fveq2i 6893 . . 3 (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑘𝐴𝑘 / 𝑗𝐶))
3837a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑘𝐴𝑘 / 𝑗𝐶)))
39 nfcv 2901 . . . . 5 𝑘𝐵
4021, 39, 35, 10, 16cbvmptf 5256 . . . 4 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝑘 / 𝑗𝐶)
4140fveq2i 6893 . . 3 (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim sup‘(𝑘𝐵𝑘 / 𝑗𝐶))
4241a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim sup‘(𝑘𝐵𝑘 / 𝑗𝐶)))
4333, 38, 423eqtr4d 2780 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wnf 1783  wcel 2104  wnfc 2881  csb 3892  cmpt 5230  cfv 6542  cz 12562  cuz 12826  lim supclsp 15418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ico 13334  df-limsup 15419
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator