Theorem limsupequzmptf 45729

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptf.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptf.o	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
limsupequzmptf.p	⊢ Ⅎ𝑗𝐵
limsupequzmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptf.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptf	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupequzmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequzmptf.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		limsupequzmptf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
5		limsupequzmptf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
6		limsupequzmptf.j	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		limsupequzmptf.o	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
8	7	nfcri 2883	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐴
9	6, 8	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
11		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑉
12	10, 11	nfel 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉
13	9, 12	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
14		eleq1w 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
16		csbeq1a 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
17	16	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)))
19		limsupequzmptf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	13, 18, 19	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
21		limsupequzmptf.p	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
22	21	nfcri 2883	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐵
23	6, 22	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
24		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑊
25	10, 24	nfel 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊
26	23, 25	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
27		eleq1w 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
28	27	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	16	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)))
31		limsupequzmptf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
32	26, 30, 31	chvarfv 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
33	1, 2, 3, 4, 5, 20, 32	limsupequzmpt 45727	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
34		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
35		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
36	7, 34, 35, 10, 16	cbvmptf 5207	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
37	36	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
39		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
40	21, 39, 35, 10, 16	cbvmptf 5207	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
41	40	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
42	41	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
43	33, 38, 42	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ⦋csb 3862   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  lim supclsp 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-ico 13312  df-limsup 15437

This theorem is referenced by: (None)