Theorem limsupequzmptf 45917

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupequzmptf.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupequzmptf.o	⊢ Ⅎ𝑗𝐴
limsupequzmptf.p	⊢ Ⅎ𝑗𝐵
limsupequzmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
limsupequzmptf.a	⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupequzmptf.b	⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
limsupequzmptf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
limsupequzmptf.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
limsupequzmptf	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑉   𝑗,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmptf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1915	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupequzmptf.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		limsupequzmptf.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		limsupequzmptf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (ℤ≥‘𝑀)
5		limsupequzmptf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (ℤ≥‘𝑁)
6		limsupequzmptf.j	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
7		limsupequzmptf.o	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
8	7	nfcri 2888	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐴
9	6, 8	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)
10		nfcsb1v 3871	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶
11		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑉
12	10, 11	nfel 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉
13	9, 12	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
14		eleq1w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↔ 𝑘 ∈ 𝐴))
15	14	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴)))
16		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
17	16	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)))
19		limsupequzmptf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
20	13, 18, 19	chvarfv 2245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑉)
21		limsupequzmptf.p	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
22	21	nfcri 2888	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝐵
23	6, 22	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)
24		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝑊
25	10, 24	nfel 2911	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊
26	23, 25	nfim 1897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
27		eleq1w 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 ∈ 𝐵 ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
28	27	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
29	16	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊))
30	28, 29	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)))
31		limsupequzmptf.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑊)
32	26, 30, 31	chvarfv 2245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶 ∈ 𝑊)
33	1, 2, 3, 4, 5, 20, 32	limsupequzmpt 45915	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
34		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
35		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
36	7, 34, 35, 10, 16	cbvmptf 5196	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
37	36	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
38	37	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
39		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
40	21, 39, 35, 10, 16	cbvmptf 5196	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)
41	40	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶))
42	41	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝐵 ↦ ⦋𝑘 / 𝑗⦌𝐶)))
43	33, 38, 42	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  lim supclsp 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-q 12860  df-ico 13265  df-limsup 15392

This theorem is referenced by: (None)