Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2 42158
 Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2.1 𝑗𝐹
limsupre2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2974 . . 3 𝑙𝐹
2 limsupre2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre2.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41, 2, 3limsupre2lem 42157 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦))))
5 breq1 5042 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 < (𝐹𝑙)))
65anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
76rexbidv 3283 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
87ralbidv 3185 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
9 breq1 5042 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑙𝑘𝑙))
109anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
1110rexbidv 3283 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
12 nfv 1916 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑘𝑙
13 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑥
14 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 <
15 limsupre2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
16 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑙
1715, 16nffv 6653 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝐹𝑙)
1813, 14, 17nfbr 5086 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑥 < (𝐹𝑙)
1912, 18nfan 1901 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))
20 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))
21 breq2 5043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝑘𝑙𝑘𝑗))
22 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
2322breq2d 5051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝑥 < (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
2421, 23anbi12d 633 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2519, 20, 24cbvrexw 3419 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2711, 26bitrd 282 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2827cbvralvw 3426 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
308, 29bitrd 282 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3130cbvrexvw 3427 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
33 breq2 5043 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) < 𝑥))
3433imbi2d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3534ralbidv 3185 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3635rexbidv 3283 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
379imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3837ralbidv 3185 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3917, 14, 13nfbr 5086 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐹𝑙) < 𝑥
4012, 39nfim 1898 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)
41 nfv 1916 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)
4222breq1d 5049 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) < 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) < 𝑥))
4321, 42imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4440, 41, 43cbvralw 3418 . . . . . . . . . 10 (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4638, 45bitrd 282 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4746cbvrexvw 3427 . . . . . . 7 (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4936, 48bitrd 282 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5049cbvrexvw 3427 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
5150a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5232, 51anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
534, 52bitrd 282 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Ⅎwnfc 2958  ∀wral 3126  ∃wrex 3127   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  ℝcr 10513  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653  lim supclsp 14806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-ico 12722  df-limsup 14807 This theorem is referenced by:  limsupre2mpt  42163  limsupre3lem  42165
 Copyright terms: Public domain W3C validator