Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupre2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupre2 40879
 Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupre2.1 𝑗𝐹
limsupre2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupre2.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
limsupre2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupre2
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2934 . . 3 𝑙𝐹
2 limsupre2.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 limsupre2.3 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41, 2, 3limsupre2lem 40878 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦))))
5 breq1 4891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 < (𝐹𝑙)))
65anbi2d 622 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
76rexbidv 3237 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
87ralbidv 3168 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
9 breq1 4891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖𝑙𝑘𝑙))
109anbi1d 623 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
1110rexbidv 3237 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))))
12 nfv 1957 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑘𝑙
13 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑥
14 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 <
15 limsupre2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝐹
16 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗𝑙
1715, 16nffv 6458 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝐹𝑙)
1813, 14, 17nfbr 4935 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑥 < (𝐹𝑙)
1912, 18nfan 1946 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙))
20 nfv 1957 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))
21 breq2 4892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝑘𝑙𝑘𝑗))
22 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
2322breq2d 4900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → (𝑥 < (𝐹𝑙) ↔ 𝑥 < (𝐹𝑗)))
2421, 23anbi12d 624 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2519, 20, 24cbvrex 3364 . . . . . . . . . 10 (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑘𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2711, 26bitrd 271 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
2827cbvralv 3367 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑥 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
308, 29bitrd 271 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
3130cbvrexv 3368 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)))
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗))))
33 breq2 4892 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑙) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑙) < 𝑥))
3433imbi2d 332 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3534ralbidv 3168 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3635rexbidv 3237 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
379imbi1d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3837ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)))
3917, 14, 13nfbr 4935 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝐹𝑙) < 𝑥
4012, 39nfim 1943 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥)
41 nfv 1957 . . . . . . . . . . 11 𝑙(𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)
4222breq1d 4898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙) < 𝑥 ↔ (𝐹𝑗) < 𝑥))
4321, 42imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4440, 41, 43cbvral 3363 . . . . . . . . . 10 (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑘𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4638, 45bitrd 271 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑘 → (∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4746cbvrexv 3368 . . . . . . 7 (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
4936, 48bitrd 271 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5049cbvrexv 3368 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))
5150a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥)))
5232, 51anbi12d 624 . 2 (𝜑 → ((∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ ℝ ∃𝑙𝐴 (𝑖𝑙𝑦 < (𝐹𝑙)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑖 ∈ ℝ ∀𝑙𝐴 (𝑖𝑙 → (𝐹𝑙) < 𝑦)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
534, 52bitrd 271 1 (𝜑 → ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℝ ∃𝑗𝐴 (𝑘𝑗𝑥 < (𝐹𝑗)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < 𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2919  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  ℝcr 10273  ℝ*cxr 10412   < clt 10413   ≤ cle 10414  lim supclsp 14618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-ico 12498  df-limsup 14619 This theorem is referenced by:  limsupre2mpt  40884  limsupre3lem  40886
 Copyright terms: Public domain W3C validator