Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfaclim 34179
Description: The subfactorial converges rapidly to 𝑁! / e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfaclim (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 faccl 14243 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
43nncnd 12228 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„‚)
5 ere 16032 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
65recni 11228 . . . . . 6 e ∈ β„‚
7 epos 16150 . . . . . . 7 0 < e
85, 7gt0ne0ii 11750 . . . . . 6 e β‰  0
9 divcl 11878 . . . . . 6 (((!β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ e ∈ β„‚ ∧ e β‰  0) β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ β„‚)
106, 8, 9mp3an23 1454 . . . . 5 ((!β€˜π‘) ∈ β„‚ β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ β„‚)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) ∈ β„‚)
12 derang.d . . . . . . . 8 𝐷 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (β™―β€˜{𝑓 ∣ (𝑓:π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ (π‘“β€˜π‘¦) β‰  𝑦)}))
13 subfac.n . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (π·β€˜(1...𝑛)))
1412, 13subfacf 34166 . . . . . . 7 𝑆:β„•0βŸΆβ„•0
1514ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
161, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„•0)
1716nn0cnd 12534 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) ∈ β„‚)
1811, 17subcld 11571 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) ∈ β„‚)
1918abscld 15383 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) ∈ ℝ)
20 peano2nn 12224 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
2120peano2nnd 12229 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„•)
2221nnred 12227 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
2320, 20nnmulcld 12265 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„•)
2422, 23nndivred 12266 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
25 nnrecre 12254 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
26 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
27 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜-1)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜-1)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
28 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) / (!β€˜(𝑁 + 1))) Β· ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) / (!β€˜(𝑁 + 1))) Β· ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛)))
29 neg1cn 12326 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ -1 ∈ β„‚)
31 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
3231absnegi 15347 . . . . . . . . 9 (absβ€˜-1) = (absβ€˜1)
33 abs1 15244 . . . . . . . . 9 (absβ€˜1) = 1
3432, 33eqtri 2761 . . . . . . . 8 (absβ€˜-1) = 1
35 1le1 11842 . . . . . . . 8 1 ≀ 1
3634, 35eqbrtri 5170 . . . . . . 7 (absβ€˜-1) ≀ 1
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜-1) ≀ 1)
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 16052 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ≀ (((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))))
3920nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
40 eluznn0 12901 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4139, 40sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
4226eftval 16020 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4443sumeq2dv 15649 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
4544fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
4634oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) = (1↑(𝑁 + 1))
4720nnzd 12585 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
48 1exp 14057 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ β„€ β†’ (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
5046, 49eqtrid 2785 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) = 1)
5150oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))) = (1 Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))))
52 faccl 14243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 + 1)) ∈ β„•)
5453, 20nnmulcld 12265 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„•)
5522, 54nndivred 12266 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
5655recnd 11242 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) ∈ β„‚)
5756mullidd 11232 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))
5851, 57eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((absβ€˜-1)↑(𝑁 + 1)) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))
5938, 45, 583brtr3d 5180 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ≀ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))
60 eqid 2733 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
61 eftcl 16017 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
6229, 61mpan 689 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
6341, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
6426eftlcvg 16049 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ β„‚ ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„•0) β†’ seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ dom ⇝ )
6529, 39, 64sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ dom ⇝ )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 15707 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
6766abscld 15383 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
683nnred 12227 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ ℝ)
693nngt0d 12261 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < (!β€˜π‘))
70 lemul2 12067 . . . . 5 (((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((!β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!β€˜π‘))) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ≀ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) ↔ ((!β€˜π‘) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) ≀ ((!β€˜π‘) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))))
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1375 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ≀ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) ↔ ((!β€˜π‘) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) ≀ ((!β€˜π‘) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))))
7259, 71mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) ≀ ((!β€˜π‘) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))))
7312, 13subfacval2 34178 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (π‘†β€˜π‘) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
741, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
75 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
76 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
7775, 31, 76sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
7877oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (0...𝑁))
7978sumeq1d 15647 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
8079oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
8174, 80eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘†β€˜π‘) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
8281oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = (((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
83 divrec 11888 . . . . . . . . . 10 (((!β€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ e ∈ β„‚ ∧ e β‰  0) β†’ ((!β€˜π‘) / e) = ((!β€˜π‘) Β· (1 / e)))
846, 8, 83mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 ((!β€˜π‘) ∈ β„‚ β†’ ((!β€˜π‘) / e) = ((!β€˜π‘) Β· (1 / e)))
854, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) = ((!β€˜π‘) Β· (1 / e)))
86 df-e 16012 . . . . . . . . . . . 12 e = (expβ€˜1)
8786oveq2i 7420 . . . . . . . . . . 11 (1 / e) = (1 / (expβ€˜1))
88 efneg 16041 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-1) = (1 / (expβ€˜1)))
8931, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (expβ€˜-1) = (1 / (expβ€˜1))
90 efval 16023 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜-1) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
9129, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (expβ€˜-1) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))
9287, 89, 913eqtr2i 2767 . . . . . . . . . 10 (1 / e) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))
93 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
9442adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))
9562adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
96 0nn0 12487 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ β„•0
9726eftlcvg 16049 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ dom ⇝ )
9829, 96, 97mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ dom ⇝
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))) ∈ dom ⇝ )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 15786 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
10192, 100eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 / e) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
102101oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· (1 / e)) = ((!β€˜π‘) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
103 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∈ Fin)
104 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
105104adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
10629, 105, 61sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
107103, 106fsumcl 15679 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1084, 107, 66adddid 11238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· (Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = (((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
10985, 102, 1083eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) / e) = (((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...((𝑁 + 1) βˆ’ 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
11082, 109eqtr4d 2776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((π‘†β€˜π‘) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = ((!β€˜π‘) / e))
1114, 66mulcld 11234 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
11211, 17, 111subaddd 11589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))) ↔ ((π‘†β€˜π‘) + ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = ((!β€˜π‘) / e)))
113110, 112mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘)) = ((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜))))
114113fveq2d 6896 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = (absβ€˜((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
1154, 66absmuld 15401 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜((!β€˜π‘) Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = ((absβ€˜(!β€˜π‘)) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
1163nnnn0d 12532 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•0)
117116nn0ge0d 12535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 ≀ (!β€˜π‘))
11868, 117absidd 15369 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(!β€˜π‘)) = (!β€˜π‘))
119118oveq1d 7424 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((absβ€˜(!β€˜π‘)) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))) = ((!β€˜π‘) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
120114, 115, 1193eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) = ((!β€˜π‘) Β· (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))((-1β†‘π‘˜) / (!β€˜π‘˜)))))
121 facp1 14238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (!β€˜(𝑁 + 1)) = ((!β€˜π‘) Β· (𝑁 + 1)))
1221, 121syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑁 + 1)) = ((!β€˜π‘) Β· (𝑁 + 1)))
123122oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)) = (((!β€˜π‘) Β· (𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))
12420nncnd 12228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„‚)
1254, 124, 124mulassd 11237 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) Β· (𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)) = ((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
126123, 125eqtr2d 2774 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) = ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))
127126oveq2d 7425 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)))) = (((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))))
12821nncnd 12228 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„‚)
12923nncnd 12228 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
13023nnne0d 12262 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) β‰  0)
1313nnne0d 12262 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (!β€˜π‘) β‰  0)
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 12016 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
13354nncnd 12228 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
13454nnne0d 12262 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)) β‰  0)
1354, 128, 133, 134divassd 12025 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((!β€˜π‘) Β· ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1))) = ((!β€˜π‘) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))))
136127, 132, 1353eqtr3d 2781 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) = ((!β€˜π‘) Β· (((𝑁 + 1) + 1) / ((!β€˜(𝑁 + 1)) Β· (𝑁 + 1)))))
13772, 120, 1363brtr4d 5181 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) ≀ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
138 nnmulcl 12236 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) ∈ β„•)
13921, 138mpancom 687 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) ∈ β„•)
140139nnred 12227 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) ∈ ℝ)
141140ltp1d 12144 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) < ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) + 1))
142129mullidd 11232 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)))
14331a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
14475, 143, 124adddird 11239 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) = ((𝑁 Β· (𝑁 + 1)) + (1 Β· (𝑁 + 1))))
14575, 124mulcomd 11235 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 Β· (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) Β· 𝑁))
146124mullidd 11232 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 Β· (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
147145, 146oveq12d 7427 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (𝑁 + 1)) + (1 Β· (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (𝑁 + 1)))
148124, 143, 75adddird 11239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) = (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (1 Β· 𝑁)))
149148oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) + 1) = ((((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (1 Β· 𝑁)) + 1))
15075mullidd 11232 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 Β· 𝑁) = 𝑁)
151150oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (1 Β· 𝑁)) = (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + 𝑁))
152151oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (1 Β· 𝑁)) + 1) = ((((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + 𝑁) + 1))
153124, 75mulcld 11234 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· 𝑁) ∈ β„‚)
154153, 75, 143addassd 11236 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (𝑁 + 1)))
155149, 152, 1543eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) Β· 𝑁) + (𝑁 + 1)))
156147, 155eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 Β· (𝑁 + 1)) + (1 Β· (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) + 1))
157142, 144, 1563eqtrd 2777 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) + 1))
158141, 157breqtrrd 5177 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) < (1 Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
159 nnre 12219 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
160 nngt0 12243 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
161159, 160jca 513 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
162 1red 11215 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
163 nnre 12219 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
164 nngt0 12243 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„• β†’ 0 < ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)))
165163, 164jca 513 . . . . 5 (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
16623, 165syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))
167 lt2mul2div 12092 . . . 4 (((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))))) β†’ ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) < (1 Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
16822, 161, 162, 166, 167syl22anc 838 . . 3 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((((𝑁 + 1) + 1) Β· 𝑁) < (1 Β· ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
169158, 168mpbid 231 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) Β· (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁))
17019, 24, 25, 137, 169lelttrd 11372 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(((!β€˜π‘) / e) βˆ’ (π‘†β€˜π‘))) < (1 / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  β™―chash 14290  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  expce 16005  eceu 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012
This theorem is referenced by:  subfacval3  34180
  Copyright terms: Public domain W3C validator