Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfaclim 35029
Description: The subfactorial converges rapidly to 𝑁! / e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfaclim (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12525 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14295 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
43nncnd 12274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5 ere 16086 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
65recni 11269 . . . . . 6 e ∈ ℂ
7 epos 16204 . . . . . . 7 0 < e
85, 7gt0ne0ii 11791 . . . . . 6 e ≠ 0
9 divcl 11920 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
106, 8, 9mp3an23 1450 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
12 derang.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
13 subfac.n . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
1412, 13subfacf 35016 . . . . . . 7 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
1514ffvelcdmi 7089 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
161, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 12580 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
1811, 17subcld 11612 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
1918abscld 15436 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
20 peano2nn 12270 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2120peano2nnd 12275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
2221nnred 12273 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
2320, 20nnmulcld 12311 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2422, 23nndivred 12312 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
25 nnrecre 12300 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
26 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
27 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛)))
29 neg1cn 12372 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 11207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3231absnegi 15400 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
33 abs1 15297 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
3432, 33eqtri 2754 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
35 1le1 11883 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
3634, 35eqbrtri 5166 . . . . . . 7 (abs‘-1) ≤ 1
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘-1) ≤ 1)
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 16106 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
3920nnnn0d 12578 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
40 eluznn0 12947 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4139, 40sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4226eftval 16073 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4443sumeq2dv 15702 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4544fveq2d 6897 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4634oveq1i 7426 . . . . . . . 8 ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = (1↑(𝑁 + 1))
4720nnzd 12631 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
48 1exp 14105 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
5046, 49eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = 1)
5150oveq1d 7431 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
52 faccl 14295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5453, 20nnmulcld 12311 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5522, 54nndivred 12312 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
5655recnd 11283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
5756mullidd 11273 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5851, 57eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5938, 45, 583brtr3d 5176 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
60 eqid 2726 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
61 eftcl 16070 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6229, 61mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6341, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6426eftlcvg 16103 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6529, 39, 64sylancr 585 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 15760 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6766abscld 15436 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ)
683nnred 12273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
693nngt0d 12307 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (!‘𝑁))
70 lemul2 12112 . . . . 5 (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑁))) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1371 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7259, 71mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
7312, 13subfacval2 35028 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
741, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
75 nncn 12266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
76 pncan 11507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7775, 31, 76sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7877oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
7978sumeq1d 15700 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8079oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8174, 80eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8281oveq1d 7431 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
83 divrec 11930 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
846, 8, 83mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
854, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
86 df-e 16065 . . . . . . . . . . . 12 e = (exp‘1)
8786oveq2i 7427 . . . . . . . . . . 11 (1 / e) = (1 / (exp‘1))
88 efneg 16095 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = (1 / (exp‘1)))
8931, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = (1 / (exp‘1))
90 efval 16076 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9129, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
9287, 89, 913eqtr2i 2760 . . . . . . . . . 10 (1 / e) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
93 nn0uz 12910 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
9442adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9562adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
96 0nn0 12533 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
9726eftlcvg 16103 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
9829, 96, 97mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 15839 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
10192, 100eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
102101oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (1 / e)) = ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
103 fzfid 13987 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) ∈ Fin)
104 elfznn0 13642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
105104adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10629, 105, 61sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
107103, 106fsumcl 15732 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1084, 107, 66adddid 11279 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
10985, 102, 1083eqtrd 2770 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
11082, 109eqtr4d 2769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e))
1114, 66mulcld 11275 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
11211, 17, 111subaddd 11630 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e)))
113110, 112mpbird 256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
114113fveq2d 6897 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1154, 66absmuld 15454 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1163nnnn0d 12578 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
117116nn0ge0d 12581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
11868, 117absidd 15422 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
119118oveq1d 7431 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120114, 115, 1193eqtrd 2770 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
121 facp1 14290 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1221, 121syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
123122oveq1d 7431 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
12420nncnd 12274 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1254, 124, 124mulassd 11278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
126123, 125eqtr2d 2767 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
127126oveq2d 7432 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
12821nncnd 12274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℂ)
12923nncnd 12274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13023nnne0d 12308 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1313nnne0d 12308 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 12061 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
13354nncnd 12274 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13454nnne0d 12308 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1354, 128, 133, 134divassd 12070 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
136127, 132, 1353eqtr3d 2774 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
13772, 120, 1363brtr4d 5177 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
138 nnmulcl 12282 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
13921, 138mpancom 686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
140139nnred 12273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
141140ltp1d 12190 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
142129mullidd 11273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
14331a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14475, 143, 124adddird 11280 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))))
14575, 124mulcomd 11276 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
146124mullidd 11273 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
147145, 146oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
148124, 143, 75adddird 11280 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
149148oveq1d 7431 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1))
15075mullidd 11273 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
151150oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁))
152151oveq1d 7431 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1))
153124, 75mulcld 11275 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
154153, 75, 143addassd 11277 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
155149, 152, 1543eqtrd 2770 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
156147, 155eqtr4d 2769 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
157142, 144, 1563eqtrd 2770 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
158141, 157breqtrrd 5173 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
159 nnre 12265 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
160 nngt0 12289 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
161159, 160jca 510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
162 1red 11256 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
163 nnre 12265 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
164 nngt0 12289 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
165163, 164jca 510 . . . . 5 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
16623, 165syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
167 lt2mul2div 12138 . . . 4 (((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))) → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
16822, 161, 162, 166, 167syl22anc 837 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
169158, 168mpbid 231 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁))
17019, 24, 25, 137, 169lelttrd 11413 1 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2703  wne 2930  wral 3051   class class class wbr 5145  cmpt 5228  dom cdm 5674  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485  -cneg 11486   / cdiv 11912  cn 12258  0cn0 12518  cz 12604  cuz 12868  ...cfz 13532  seqcseq 14015  cexp 14075  !cfa 14285  chash 14342  abscabs 15234  cli 15481  Σcsu 15685  expce 16058  eceu 16059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-ico 13378  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-e 16065
This theorem is referenced by:  subfacval3  35030
  Copyright terms: Public domain W3C validator