subfaclim - Mathbox for Mario Carneiro

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Theorem subfaclim 35173

Description: The subfactorial converges rapidly to 𝑁! / e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
subfaclim	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))

Distinct variable groups: 𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁 𝐷,𝑛 𝑆,𝑛,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑥,𝑦,𝑓) 𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfaclim Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
2		faccl 14319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5		ere 16122	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
6	5	recni 11273	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
7		epos 16240	. . . . . . 7 ⊢ 0 < e
8	5, 7	gt0ne0ii 11797	. . . . . 6 ⊢ e ≠ 0
9		divcl 11926	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	mp3an23 1452	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
11	4, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
12		derang.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
13		subfac.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
14	12, 13	subfacf 35160	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆:ℕ₀⟶ℕ₀
15	14	ffvelcdmi 7103	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ₀)
16	1, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℕ₀)
17	16	nn0cnd 12587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) ∈ ℂ)
18	11, 17	subcld 11618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) ∈ ℂ)
19	18	abscld 15472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ∈ ℝ)
20		peano2nn 12276	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21	20	peano2nnd 12281	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
22	21	nnred 12279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
23	20, 20	nnmulcld 12317	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
24	22, 23	nndivred 12318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
25		nnrecre 12306	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
26		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
27		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛)))
29		neg1cn 12378	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
31		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
32	31	absnegi 15436	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
33		abs1 15333	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
34	32, 33	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
35		1le1 11889	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
36	34, 35	eqbrtri 5169	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘-1) ≤ 1
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘-1) ≤ 1)
38	26, 27, 28, 20, 30, 37	eftlub 16142	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
39	20	nnnn0d 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
40		eluznn0 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
41	39, 40	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
42	26	eftval 16109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
44	43	sumeq2dv 15735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
45	44	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
46	34	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = (1↑(𝑁 + 1))
47	20	nnzd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
48		1exp 14129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
50	46, 49	eqtrid 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = 1)
51	50	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
52		faccl 14319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
53	39, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
54	53, 20	nnmulcld 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
55	22, 54	nndivred 12318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
56	55	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
57	56	mullidd 11277	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
58	51, 57	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
59	38, 45, 58	3brtr3d 5179	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
60		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))
61		eftcl 16106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
62	29, 61	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
63	41, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
64	26	eftlcvg 16139	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
65	29, 39, 64	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
66	60, 47, 43, 63, 65	isumcl 15794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
67	66	abscld 15472	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ)
68	3	nnred 12279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
69	3	nngt0d 12313	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (!‘𝑁))
70		lemul2 12118	. . . . 5 ⊢ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑁))) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
71	67, 55, 68, 69, 70	syl112anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
72	59, 71	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
73	12, 13	subfacval2 35172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑆‘𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
74	1, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
75		nncn 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
76		pncan 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
77	75, 31, 76	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
78	77	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
79	78	sumeq1d 15733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
80	79	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
81	74, 80	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆‘𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
82	81	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
83		divrec 11936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
84	6, 8, 83	mp3an23 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
85	4, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
86		df-e 16101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e = (exp‘1)
87	86	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / e) = (1 / (exp‘1))
88		efneg 16131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = (1 / (exp‘1)))
89	31, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘-1) = (1 / (exp‘1))
90		efval 16112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
91	29, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
92	87, 89, 91	3eqtr2i 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / e) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
93		nn0uz 12918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
94	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
95	62	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
96		0nn0 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
97	26	eftlcvg 16139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
98	29, 96, 97	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
100	93, 60, 39, 94, 95, 99	isumsplit 15873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
101	92, 100	eqtrid 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
102	101	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (1 / e)) = ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
103		fzfid 14011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) ∈ Fin)
104		elfznn0 13657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
105	104	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
106	29, 105, 61	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
107	103, 106	fsumcl 15766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
108	4, 107, 66	adddid 11283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
109	85, 102, 108	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
110	82, 109	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆‘𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e))
111	4, 66	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
112	11, 17, 111	subaddd 11636	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑆‘𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e)))
113	110, 112	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
114	113	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
115	4, 66	absmuld 15490	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
116	3	nnnn0d 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ₀)
117	116	nn0ge0d 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
118	68, 117	absidd 15458	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
119	118	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120	114, 115, 119	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
121		facp1 14314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
122	1, 121	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
123	122	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
124	20	nncnd 12280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
125	4, 124, 124	mulassd 11282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
126	123, 125	eqtr2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
127	126	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
128	21	nncnd 12280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℂ)
129	23	nncnd 12280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
130	23	nnne0d 12314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
131	3	nnne0d 12314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132	128, 129, 4, 130, 131	divcan5d 12067	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
133	54	nncnd 12280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
134	54	nnne0d 12314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
135	4, 128, 133, 134	divassd 12076	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
136	127, 132, 135	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
137	72, 120, 136	3brtr4d 5180	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
138		nnmulcl 12288	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
139	21, 138	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
140	139	nnred 12279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
141	140	ltp1d 12196	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
142	129	mullidd 11277	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
143	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
144	75, 143, 124	adddird 11284	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))))
145	75, 124	mulcomd 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
146	124	mullidd 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
147	145, 146	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
148	124, 143, 75	adddird 11284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
149	148	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1))
150	75	mullidd 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
151	150	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁))
152	151	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1))
153	124, 75	mulcld 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
154	153, 75, 143	addassd 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
155	149, 152, 154	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
156	147, 155	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
157	142, 144, 156	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
158	141, 157	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
159		nnre 12271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
160		nngt0 12295	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
161	159, 160	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
162		1red 11260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
163		nnre 12271	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
164		nngt0 12295	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
165	163, 164	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
166	23, 165	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
167		lt2mul2div 12144	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))) → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
168	22, 161, 162, 166, 167	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
169	158, 168	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁))
170	19, 24, 25, 137, 169	lelttrd 11417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆‘𝑁))) < (1 / 𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 {cab 2712 ≠ wne 2938 ∀wral 3059 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 dom cdm 5689 –1-1-onto→wf1o 6562 ‘cfv 6563 (class class class)co 7431 Fincfn 8984 ℂcc 11151 ℝcr 11152 0cc0 11153 1c1 11154 + caddc 11156 · cmul 11158 < clt 11293 ≤ cle 11294 − cmin 11490 -cneg 11491 / cdiv 11918 ℕcn 12264 ℕ₀cn0 12524 ℤcz 12611 ℤ_≥cuz 12876 ...cfz 13544 seqcseq 14039 ↑cexp 14099 !cfa 14309 ♯chash 14366 abscabs 15270 ⇝ cli 15517 Σcsu 15719 expce 16094 eceu 16095

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-rep 5285 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-inf2 9679 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 ax-pre-mulgt0 11230 ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3378 df-reu 3379 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-pss 3983 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-int 4952 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5583 df-eprel 5589 df-po 5597 df-so 5598 df-fr 5641 df-se 5642 df-we 5643 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-pred 6323 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-isom 6572 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-frecs 8305 df-wrecs 8336 df-recs 8410 df-rdg 8449 df-1o 8505 df-2o 8506 df-oadd 8509 df-er 8744 df-map 8867 df-pm 8868 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-fin 8988 df-sup 9480 df-inf 9481 df-oi 9548 df-dju 9939 df-card 9977 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-le 11299 df-sub 11492 df-neg 11493 df-div 11919 df-nn 12265 df-2 12327 df-3 12328 df-4 12329 df-n0 12525 df-xnn0 12598 df-z 12612 df-uz 12877 df-q 12989 df-rp 13033 df-ico 13390 df-fz 13545 df-fzo 13692 df-fl 13829 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14310 df-bc 14339 df-hash 14367 df-shft 15103 df-cj 15135 df-re 15136 df-im 15137 df-sqrt 15271 df-abs 15272 df-limsup 15504 df-clim 15521 df-rlim 15522 df-sum 15720 df-ef 16100 df-e 16101

This theorem is referenced by: subfacval3 35174

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