Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfaclim 33782
Description: The subfactorial converges rapidly to 𝑁! / e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfaclim (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14183 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
43nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5 ere 15971 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
65recni 11169 . . . . . 6 e ∈ ℂ
7 epos 16089 . . . . . . 7 0 < e
85, 7gt0ne0ii 11691 . . . . . 6 e ≠ 0
9 divcl 11819 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
106, 8, 9mp3an23 1453 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
12 derang.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
13 subfac.n . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
1412, 13subfacf 33769 . . . . . . 7 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
1514ffvelcdmi 7034 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
161, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 12475 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
1811, 17subcld 11512 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
1918abscld 15321 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
20 peano2nn 12165 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2120peano2nnd 12170 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
2221nnred 12168 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
2320, 20nnmulcld 12206 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2422, 23nndivred 12207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
25 nnrecre 12195 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
26 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
27 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛)))
29 neg1cn 12267 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3231absnegi 15285 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
33 abs1 15182 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
3432, 33eqtri 2764 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
35 1le1 11783 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
3634, 35eqbrtri 5126 . . . . . . 7 (abs‘-1) ≤ 1
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘-1) ≤ 1)
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 15991 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
3920nnnn0d 12473 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
40 eluznn0 12842 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4139, 40sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4226eftval 15959 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4443sumeq2dv 15588 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4544fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4634oveq1i 7367 . . . . . . . 8 ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = (1↑(𝑁 + 1))
4720nnzd 12526 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
48 1exp 13997 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
5046, 49eqtrid 2788 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = 1)
5150oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
52 faccl 14183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5453, 20nnmulcld 12206 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5522, 54nndivred 12207 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
5655recnd 11183 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
5756mulid2d 11173 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5851, 57eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5938, 45, 583brtr3d 5136 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
60 eqid 2736 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
61 eftcl 15956 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6229, 61mpan 688 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6341, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6426eftlcvg 15988 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6529, 39, 64sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 15646 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6766abscld 15321 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ)
683nnred 12168 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
693nngt0d 12202 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (!‘𝑁))
70 lemul2 12008 . . . . 5 (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑁))) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1374 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7259, 71mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
7312, 13subfacval2 33781 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
741, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
75 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
76 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7775, 31, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7877oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
7978sumeq1d 15586 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8079oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8174, 80eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8281oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
83 divrec 11829 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
846, 8, 83mp3an23 1453 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
854, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
86 df-e 15951 . . . . . . . . . . . 12 e = (exp‘1)
8786oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 (1 / e) = (1 / (exp‘1))
88 efneg 15980 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = (1 / (exp‘1)))
8931, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = (1 / (exp‘1))
90 efval 15962 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9129, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
9287, 89, 913eqtr2i 2770 . . . . . . . . . 10 (1 / e) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
93 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
9442adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9562adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
96 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
9726eftlcvg 15988 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
9829, 96, 97mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 15725 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
10192, 100eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
102101oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (1 / e)) = ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
103 fzfid 13878 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) ∈ Fin)
104 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10629, 105, 61sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
107103, 106fsumcl 15618 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1084, 107, 66adddid 11179 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
10985, 102, 1083eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
11082, 109eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e))
1114, 66mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
11211, 17, 111subaddd 11530 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e)))
113110, 112mpbird 256 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
114113fveq2d 6846 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1154, 66absmuld 15339 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1163nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
117116nn0ge0d 12476 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
11868, 117absidd 15307 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
119118oveq1d 7372 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120114, 115, 1193eqtrd 2780 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
121 facp1 14178 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1221, 121syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
123122oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
12420nncnd 12169 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1254, 124, 124mulassd 11178 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
126123, 125eqtr2d 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
127126oveq2d 7373 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
12821nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℂ)
12923nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13023nnne0d 12203 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1313nnne0d 12203 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 11957 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
13354nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13454nnne0d 12203 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1354, 128, 133, 134divassd 11966 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
136127, 132, 1353eqtr3d 2784 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
13772, 120, 1363brtr4d 5137 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
138 nnmulcl 12177 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
13921, 138mpancom 686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
140139nnred 12168 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
141140ltp1d 12085 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
142129mulid2d 11173 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
14331a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14475, 143, 124adddird 11180 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))))
14575, 124mulcomd 11176 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
146124mulid2d 11173 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
147145, 146oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
148124, 143, 75adddird 11180 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
149148oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1))
15075mulid2d 11173 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
151150oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁))
152151oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1))
153124, 75mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
154153, 75, 143addassd 11177 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
155149, 152, 1543eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
156147, 155eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
157142, 144, 1563eqtrd 2780 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
158141, 157breqtrrd 5133 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
159 nnre 12160 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
160 nngt0 12184 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
161159, 160jca 512 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
162 1red 11156 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
163 nnre 12160 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
164 nngt0 12184 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
165163, 164jca 512 . . . . 5 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
16623, 165syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
167 lt2mul2div 12033 . . . 4 (((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))) → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
16822, 161, 162, 166, 167syl22anc 837 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
169158, 168mpbid 231 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁))
17019, 24, 25, 137, 169lelttrd 11313 1 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  !cfa 14173  chash 14230  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  expce 15944  eceu 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951
This theorem is referenced by:  subfacval3  33783
  Copyright terms: Public domain W3C validator