Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfaclim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfaclim 35193
Description: The subfactorial converges rapidly to 𝑁! / e. This is part of Metamath 100 proof #88. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfaclim (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝑁   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14322 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
43nncnd 12282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
5 ere 16125 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
65recni 11275 . . . . . 6 e ∈ ℂ
7 epos 16243 . . . . . . 7 0 < e
85, 7gt0ne0ii 11799 . . . . . 6 e ≠ 0
9 divcl 11928 . . . . . 6 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
106, 8, 9mp3an23 1455 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) ∈ ℂ)
12 derang.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
13 subfac.n . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
1412, 13subfacf 35180 . . . . . . 7 𝑆:ℕ0⟶ℕ0
1514ffvelcdmi 7103 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
161, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℕ0)
1716nn0cnd 12589 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
1811, 17subcld 11620 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) ∈ ℂ)
1918abscld 15475 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ∈ ℝ)
20 peano2nn 12278 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2120peano2nnd 12283 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
2221nnred 12281 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ)
2320, 20nnmulcld 12319 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
2422, 23nndivred 12320 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
25 nnrecre 12308 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
26 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
27 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘-1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) / (!‘(𝑁 + 1))) · ((1 / ((𝑁 + 1) + 1))↑𝑛)))
29 neg1cn 12380 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → -1 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
3231absnegi 15439 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
33 abs1 15336 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
3432, 33eqtri 2765 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
35 1le1 11891 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
3634, 35eqbrtri 5164 . . . . . . 7 (abs‘-1) ≤ 1
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘-1) ≤ 1)
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 16145 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
3920nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
40 eluznn0 12959 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4139, 40sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4226eftval 16112 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4443sumeq2dv 15738 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4544fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
4634oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = (1↑(𝑁 + 1))
4720nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
48 1exp 14132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1↑(𝑁 + 1)) = 1)
5046, 49eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) = 1)
5150oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
52 faccl 14322 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5453, 20nnmulcld 12319 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5522, 54nndivred 12320 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
5655recnd 11289 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
5756mullidd 11279 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5851, 57eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((abs‘-1)↑(𝑁 + 1)) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
5938, 45, 583brtr3d 5174 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
60 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
61 eftcl 16109 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6229, 61mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6341, 62syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6426eftlcvg 16142 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6529, 39, 64sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → seq(𝑁 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 15797 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
6766abscld 15475 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ)
683nnred 12281 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
693nngt0d 12315 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (!‘𝑁))
70 lemul2 12120 . . . . 5 (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑁))) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1376 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) ↔ ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))))
7259, 71mpbid 232 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) ≤ ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
7312, 13subfacval2 35192 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
741, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
75 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
76 pncan 11514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7775, 31, 76sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
7978sumeq1d 15736 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8079oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8174, 80eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆𝑁) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
8281oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
83 divrec 11938 . . . . . . . . . 10 (((!‘𝑁) ∈ ℂ ∧ e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0) → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
846, 8, 83mp3an23 1455 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑁) ∈ ℂ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
854, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = ((!‘𝑁) · (1 / e)))
86 df-e 16104 . . . . . . . . . . . 12 e = (exp‘1)
8786oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1 / e) = (1 / (exp‘1))
88 efneg 16134 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = (1 / (exp‘1)))
8931, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = (1 / (exp‘1))
90 efval 16115 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℂ → (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9129, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (exp‘-1) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
9287, 89, 913eqtr2i 2771 . . . . . . . . . 10 (1 / e) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))
93 nn0uz 12920 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
9442adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9562adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
96 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
9726eftlcvg 16142 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
9829, 96, 97mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 15876 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
10192, 100eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / e) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
102101oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (1 / e)) = ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
103 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 1) − 1)) ∈ Fin)
104 elfznn0 13660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
105104adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10629, 105, 61sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))) → ((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
107103, 106fsumcl 15769 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1084, 107, 66adddid 11285 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
10985, 102, 1083eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / e) = (((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
11082, 109eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e))
1114, 66mulcld 11281 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ∈ ℂ)
11211, 17, 111subaddd 11638 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))) ↔ ((𝑆𝑁) + ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) / e)))
113110, 112mpbird 257 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁)) = ((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘))))
114113fveq2d 6910 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1154, 66absmuld 15493 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘((!‘𝑁) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
1163nnnn0d 12587 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
117116nn0ge0d 12590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
11868, 117absidd 15461 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
119118oveq1d 7446 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((abs‘(!‘𝑁)) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
120114, 115, 1193eqtrd 2781 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) = ((!‘𝑁) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))((-1↑𝑘) / (!‘𝑘)))))
121 facp1 14317 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
1221, 121syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
123122oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
12420nncnd 12282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1254, 124, 124mulassd 11284 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
126123, 125eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))
127126oveq2d 7447 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))))
12821nncnd 12282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℂ)
12923nncnd 12282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13023nnne0d 12316 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1313nnne0d 12316 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ≠ 0)
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 12069 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))) = (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
13354nncnd 12282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
13454nnne0d 12316 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)) ≠ 0)
1354, 128, 133, 134divassd 12078 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1) + 1)) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
136127, 132, 1353eqtr3d 2785 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1) + 1) / ((!‘(𝑁 + 1)) · (𝑁 + 1)))))
13772, 120, 1363brtr4d 5175 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) ≤ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
138 nnmulcl 12290 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
13921, 138mpancom 688 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℕ)
140139nnred 12281 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) ∈ ℝ)
141140ltp1d 12198 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
142129mullidd 11279 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
14331a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14475, 143, 124adddird 11286 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))))
14575, 124mulcomd 11282 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · 𝑁))
146124mullidd 11279 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · (𝑁 + 1)) = (𝑁 + 1))
147145, 146oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
148124, 143, 75adddird 11286 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
149148oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1))
15075mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
151150oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁))
152151oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + (1 · 𝑁)) + 1) = ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1))
153124, 75mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
154153, 75, 143addassd 11283 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) · 𝑁) + 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
155149, 152, 1543eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) + (𝑁 + 1)))
156147, 155eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · (𝑁 + 1)) + (1 · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
157142, 144, 1563eqtrd 2781 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) = ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) + 1))
158141, 157breqtrrd 5171 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
159 nnre 12273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
160 nngt0 12297 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
161159, 160jca 511 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
162 1red 11262 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
163 nnre 12273 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
164 nngt0 12297 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
165163, 164jca 511 . . . . 5 (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
16623, 165syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))
167 lt2mul2div 12146 . . . 4 (((((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))))) → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
16822, 161, 162, 166, 167syl22anc 839 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) + 1) · 𝑁) < (1 · ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) ↔ (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁)))
169158, 168mpbid 232 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) + 1) / ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1))) < (1 / 𝑁))
17019, 24, 25, 137, 169lelttrd 11419 1 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘(((!‘𝑁) / e) − (𝑆𝑁))) < (1 / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  !cfa 14312  chash 14369  abscabs 15273  cli 15520  Σcsu 15722  expce 16097  eceu 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104
This theorem is referenced by:  subfacval3  35194
  Copyright terms: Public domain W3C validator