MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltdivmul2 12040
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltdivmul2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ltdivmul2
StepHypRef Expression
1 ltdivmul 12038 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
2 recn 11149 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 recn 11149 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 mulcom 11145 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
52, 3, 4syl2an 597 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
65adantrr 716 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
763adant1 1131 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
87breq2d 5121 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
91, 8bitr4d 282 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  lemuldiv  12043  gtndiv  12588  ltdivmul2d  13017  hashdvds  16655  dyaddisjlem  24982  tangtx  25885  ang180lem2  26183  bposlem6  26660  lgsquadlem1  26751  chto1ub  26847  hgt750lem  33328  unbdqndv2lem1  35025  pellfundex  41256  stoweidlem14  44345  stoweidlem60  44391
  Copyright terms: Public domain W3C validator