MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsf 24871
Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsf ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝑋)
3 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑆𝑋)
43sselda 3982 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑋)
5 xmetcl 24342 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
61, 2, 4, 5syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))
86, 7fmptd 7133 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
98frnd 6743 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
10 infxrcl 13376 . . . 4 (ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12 xmetge0 24355 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
131, 2, 4, 12syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑦𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
1413ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
15 ovex 7465 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
1615rgenw 3064 . . . . . 6 𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
17 breq2 5146 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐷𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
187, 17ralrnmptw 7113 . . . . . 6 (∀𝑦𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
1916, 18ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
2014, 19sylibr 234 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧)
21 0xr 11309 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
22 infxrgelb 13378 . . . . 5 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
239, 21, 22sylancl 586 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
2420, 23mpbird 257 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
25 elxrge0 13498 . . 3 (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
2611, 24, 25sylanbrc 583 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
27 metdscn.f . 2 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2826, 27fmptd 7133 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  infcinf 9482  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  [,]cicc 13391  ∞Metcxmet 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-2 12330  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-xmet 21358
This theorem is referenced by:  metds0  24873  metdstri  24874  metdsre  24876  metdseq0  24877  metdscnlem  24878  metdscn  24879  metnrmlem1a  24881  metnrmlem1  24882  lebnumlem1  24994
  Copyright terms: Public domain W3C validator