Theorem metdsf 25168

Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsf	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem metdsf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	3	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		xmetcl 24650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))
8	6, 7	fmptd 7114	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
9	8	frnd 6718	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
10		infxrcl 13464	. . . 4 ⊢ (ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		xmetge0 24663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
13	1, 2, 4, 12	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
14	13	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
15		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
16	15	rgenw 3081	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
17		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥𝐷𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
18	7, 17	ralrnmptw 7094	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
20	14, 19	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧)
21		0xr 11356	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
22		infxrgelb 13466	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
23	9, 21, 22	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
24	20, 23	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
25		elxrge0 13588	. . 3 ⊢ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
26	11, 24, 25	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
27		metdscn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	26, 27	fmptd 7114	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  infcinf 9433  0cc0 11200  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479  ∞Metcxmet 21663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-xmet 21671

This theorem is used by:  metds0  25170  metdstri  25171  metdsre  25173  metdseq0  25174  metdscnlem  25175  metdscn  25176  metnrmlem1a  25178  metnrmlem1  25179  lebnumlem1  25282