Theorem metdsf 24896

Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metdsf	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 784	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simplr 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
4	3	sselda 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
5		xmetcl 24378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))
8	6, 7	fmptd 7089	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
9	8	frnd 6694	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
10		infxrcl 13330	. . . 4 ⊢ (ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12		xmetge0 24391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
13	1, 2, 4, 12	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
14	13	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
15		ovex 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
16	15	rgenw 3079	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V
17		breq2 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥𝐷𝑦) → (0 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
18	7, 17	ralrnmptw 7069	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐷𝑦) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦)))
19	16, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
20	14, 19	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧)
21		0xr 11222	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
22		infxrgelb 13332	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
23	9, 21, 22	sylancl 595	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦))0 ≤ 𝑧))
24	20, 23	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
25		elxrge0 13454	. . 3 ⊢ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
26	11, 24, 25	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
27		metdscn.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
28	26, 27	fmptd 7089	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ran crn 5644  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  infcinf 9380  0cc0 11066  +∞cpnf 11206  ℝ^*cxr 11208   < clt 11209   ≤ cle 11210  [,]cicc 13345  ∞Metcxmet 21396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-icc 13349  df-xmet 21404

This theorem is referenced by:  metds0  24898  metdstri  24899  metdsre  24901  metdseq0  24902  metdscnlem  24903  metdscn  24904  metnrmlem1a  24906  metnrmlem1  24907  lebnumlem1  25010