MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsf 24133
Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsf ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
43sselda 3943 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 xmetcl 23606 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
61, 2, 4, 5syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))
86, 7fmptd 7057 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)):π‘†βŸΆβ„*)
98frnd 6672 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ*)
10 infxrcl 13181 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12 xmetge0 23619 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
131, 2, 4, 12syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
1413ralrimiva 3142 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
15 ovex 7383 . . . . . . 7 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V
1615rgenw 3067 . . . . . 6 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V
17 breq2 5108 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (0 ≀ 𝑧 ↔ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
187, 17ralrnmptw 7039 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
1916, 18ax-mp 5 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
2014, 19sylibr 233 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧)
21 0xr 11136 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
22 infxrgelb 13183 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧))
239, 21, 22sylancl 587 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧))
2420, 23mpbird 257 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
25 elxrge0 13303 . . 3 (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
2611, 24, 25sylanbrc 584 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
27 metdscn.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2826, 27fmptd 7057 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  metds0  24135  metdstri  24136  metdsre  24138  metdseq0  24139  metdscnlem  24140  metdscn  24141  metnrmlem1a  24143  metnrmlem1  24144  lebnumlem1  24246
  Copyright terms: Public domain W3C validator