MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsf 24133
Description: The distance from a point to a set is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsf ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metdsf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
3 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
43sselda 3942 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
5 xmetcl 23606 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
61, 2, 4, 5syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))
86, 7fmptd 7056 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)):π‘†βŸΆβ„*)
98frnd 6671 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ*)
10 infxrcl 13180 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
119, 10syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12 xmetge0 23619 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
131, 2, 4, 12syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
1413ralrimiva 3141 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
15 ovex 7382 . . . . . . 7 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V
1615rgenw 3066 . . . . . 6 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V
17 breq2 5107 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯𝐷𝑦) β†’ (0 ≀ 𝑧 ↔ 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
187, 17ralrnmptw 7038 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯𝐷𝑦) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦)))
1916, 18ax-mp 5 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 0 ≀ (π‘₯𝐷𝑦))
2014, 19sylibr 233 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧)
21 0xr 11135 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
22 infxrgelb 13182 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)) βŠ† ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧))
239, 21, 22sylancl 586 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦))0 ≀ 𝑧))
2420, 23mpbird 256 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
25 elxrge0 13302 . . 3 (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞) ↔ (inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
2611, 24, 25sylanbrc 583 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
27 metdscn.f . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2826, 27fmptd 7056 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5631  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  infcinf 9310  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-2 12149  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-xmet 20712
This theorem is referenced by:  metds0  24135  metdstri  24136  metdsre  24138  metdseq0  24139  metdscnlem  24140  metdscn  24141  metnrmlem1a  24143  metnrmlem1  24144  lebnumlem1  24246
  Copyright terms: Public domain W3C validator