MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2mulprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2mulprm 16576
Description: A multiple of two is prime iff the multiplier is one. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2mulprm (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐ด = 1))

Proof of Theorem 2mulprm
StepHypRef Expression
1 zre 12510 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 0red 11165 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
31, 2leloed 11305 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” (๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0)))
4 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
5 nnnn0 12427 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0)
6 nn0ge0 12445 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด))
7 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 0 < 2)
98anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 < 2 โˆง ๐ด < 0))
109olcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((2 < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < 2 โˆง ๐ด < 0)))
11 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
131adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1412, 13mul2lt0bi 13028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((2 ยท ๐ด) < 0 โ†” ((2 < 0 โˆง 0 < ๐ด) โˆจ (0 < 2 โˆง ๐ด < 0))))
1510, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ๐ด) < 0)
1612, 13remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
17 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1816, 17ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((2 ยท ๐ด) < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด)))
1915, 18mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด < 0) โ†’ ยฌ 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด))
2019ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ยฌ 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด)))
2120con2d 134 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โ‰ค (2 ยท ๐ด) โ†’ ยฌ ๐ด < 0))
2221com12 32 . . . . . . . . . . 11 (0 โ‰ค (2 ยท ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ๐ด < 0))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ๐ด < 0))
244, 5, 233syl 18 . . . . . . . . 9 ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ๐ด < 0))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ๐ด < 0))
2625con2d 134 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด < 0 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™))
2726a1dd 50 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด < 0 โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)))
28 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (๐ด = 0 โ†’ (2 ยท ๐ด) = (2 ยท 0))
29 2t0e0 12329 . . . . . . . . 9 (2 ยท 0) = 0
3028, 29eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ (2 ยท ๐ด) = 0)
31 0nprm 16561 . . . . . . . . 9 ยฌ 0 โˆˆ โ„™
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (๐ด = 0 โ†’ ยฌ 0 โˆˆ โ„™)
3330, 32eqneltrd 2858 . . . . . . 7 (๐ด = 0 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
3433a1i13 27 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด = 0 โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)))
3527, 34jaod 858 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด < 0 โˆจ ๐ด = 0) โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)))
363, 35sylbid 239 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)))
37 2z 12542 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
38 uzid 12785 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
4037a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ ๐ด = 1) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
41 simp1 1137 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ ๐ด = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
42 df-ne 2945 . . . . . . . . 9 (๐ด โ‰  1 โ†” ยฌ ๐ด = 1)
43 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4443, 1ltlend 11307 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰  1)))
45 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
46 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
4745, 46mpancom 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
4847biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ (1 + 1) โ‰ค ๐ด))
49 df-2 12223 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
5049breq1i 5117 . . . . . . . . . . . 12 (2 โ‰ค ๐ด โ†” (1 + 1) โ‰ค ๐ด)
5148, 50syl6ibr 252 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 < ๐ด โ†’ 2 โ‰ค ๐ด))
5244, 51sylbird 260 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰  1) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด))
5352expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โ‰  1 โ†’ 2 โ‰ค ๐ด))
5442, 53biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ 2 โ‰ค ๐ด))
55543impia 1118 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ ๐ด = 1) โ†’ 2 โ‰ค ๐ด)
56 eluz2 12776 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐ด))
5740, 41, 55, 56syl3anbrc 1344 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ ๐ด = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
58 nprm 16571 . . . . . 6 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
5939, 57, 58sylancr 588 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ๐ด โˆง ยฌ ๐ด = 1) โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
60593exp 1120 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)))
61 zle0orge1 12523 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โˆจ 1 โ‰ค ๐ด))
6236, 60, 61mpjaod 859 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ ๐ด = 1 โ†’ ยฌ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™))
6362con4d 115 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ด = 1))
64 oveq2 7370 . . . 4 (๐ด = 1 โ†’ (2 ยท ๐ด) = (2 ยท 1))
65 2t1e2 12323 . . . 4 (2 ยท 1) = 2
6664, 65eqtrdi 2793 . . 3 (๐ด = 1 โ†’ (2 ยท ๐ด) = 2)
67 2prm 16575 . . 3 2 โˆˆ โ„™
6866, 67eqeltrdi 2846 . 2 (๐ด = 1 โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™)
6963, 68impbid1 224 1 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„™ โ†” ๐ด = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  2sqreultlem  26811  2sqreunnltlem  26814
  Copyright terms: Public domain W3C validator