MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2mulprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2mulprm 15866
Description: A multiple of two is prime iff the multiplier is one. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
2mulprm (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 = 1))

Proof of Theorem 2mulprm
StepHypRef Expression
1 zre 11833 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 0red 10490 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
31, 2leloed 10630 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0)))
4 prmnn 15847 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝐴) ∈ ℙ → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
5 nnnn0 11752 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → (2 · 𝐴) ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 11770 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (2 · 𝐴))
7 2pos 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 0 < 2)
98anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 2 ∧ 𝐴 < 0))
109olcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → ((2 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 2 ∧ 𝐴 < 0)))
11 2re 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → 2 ∈ ℝ)
131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13mul2lt0bi 12345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → ((2 · 𝐴) < 0 ↔ ((2 < 0 ∧ 0 < 𝐴) ∨ (0 < 2 ∧ 𝐴 < 0))))
1510, 14mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → (2 · 𝐴) < 0)
1612, 13remulcld 10517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
17 0red 10490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
1816, 17ltnled 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → ((2 · 𝐴) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
1915, 18mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 0 ≤ (2 · 𝐴))
2019ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 < 0 → ¬ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
2120con2d 136 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (0 ≤ (2 · 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0))
2221com12 32 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ (2 · 𝐴) → (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 0))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 0))
244, 5, 233syl 18 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝐴) ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 0))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) ∈ ℙ → ¬ 𝐴 < 0))
2625con2d 136 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 < 0 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ))
2726a1dd 50 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 < 0 → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)))
28 oveq2 7024 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → (2 · 𝐴) = (2 · 0))
29 2t0e0 11654 . . . . . . . . 9 (2 · 0) = 0
3028, 29syl6eq 2847 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (2 · 𝐴) = 0)
31 0nprm 15851 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℙ
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → ¬ 0 ∈ ℙ)
3330, 32eqneltrd 2902 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)
3433a1i13 27 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 = 0 → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)))
3527, 34jaod 854 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0) → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)))
363, 35sylbid 241 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)))
37 2z 11863 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
38 uzid 12108 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
4037a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 2 ∈ ℤ)
41 simp1 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
42 df-ne 2985 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ 1 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
43 1red 10488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
4443, 1ltlend 10632 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 1)))
45 1zzd 11862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
46 zltp1le 11881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
4745, 46mpancom 684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴))
4847biimpd 230 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → (1 + 1) ≤ 𝐴))
49 df-2 11548 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
5049breq1i 4969 . . . . . . . . . . . 12 (2 ≤ 𝐴 ↔ (1 + 1) ≤ 𝐴)
5148, 50syl6ibr 253 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℤ → (1 < 𝐴 → 2 ≤ 𝐴))
5244, 51sylbird 261 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 1) → 2 ≤ 𝐴))
5352expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≠ 1 → 2 ≤ 𝐴))
5442, 53syl5bir 244 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (¬ 𝐴 = 1 → 2 ≤ 𝐴))
55543impia 1110 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 2 ≤ 𝐴)
56 eluz2 12099 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐴))
5740, 41, 55, 56syl3anbrc 1336 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
58 nprm 15861 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)
5939, 57, 58sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)
60593exp 1112 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (1 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ)))
61 zle0orge1 11846 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 0 ∨ 1 ≤ 𝐴))
6236, 60, 61mpjaod 855 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 𝐴 = 1 → ¬ (2 · 𝐴) ∈ ℙ))
6362con4d 115 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) ∈ ℙ → 𝐴 = 1))
64 oveq2 7024 . . . 4 (𝐴 = 1 → (2 · 𝐴) = (2 · 1))
65 2t1e2 11648 . . . 4 (2 · 1) = 2
6664, 65syl6eq 2847 . . 3 (𝐴 = 1 → (2 · 𝐴) = 2)
67 2prm 15865 . . 3 2 ∈ ℙ
6866, 67syl6eqel 2891 . 2 (𝐴 = 1 → (2 · 𝐴) ∈ ℙ)
6963, 68impbid1 226 1 (𝐴 ∈ ℤ → ((2 · 𝐴) ∈ ℙ ↔ 𝐴 = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  cprime 15844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441  df-prm 15845
This theorem is referenced by:  2sqreultlem  25705  2sqreunnltlem  25708
  Copyright terms: Public domain W3C validator