Theorem ltmul1dd 13092

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltmul1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem ltmul1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	ltmul1d 13078	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   · cmul 11078   < clt 11216  ℝ⁺crp 12993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417  df-rp 12994

This theorem is referenced by:  mul2lt0bi  13101  o1rlimmul  15646  2expltfac  17128  lhop1lem  26075  ftalem5  27141  chtppilimlem1  27537  pntibndlem2  27655  pntlemb  27661  pntlemr  27666  ostth2lem1  27682  ostth2lem3  27699  tgoldbachgtde  34954  aks6d1c7lem1  42797  fltnltalem  43244  ioodvbdlimc1lem1  46505  stoweidlem11  46585  stoweidlem13  46587  stoweidlem26  46600  wallispi  46644  stirlinglem1  46648  dirkercncflem4  46680  fourierdlem4  46685  gpg3kgrtriexlem1  48705