MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul1dd 12176
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv1dd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ltmul1dd (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem ltmul1dd
StepHypRef Expression
1 ltdiv1dd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 ltmul1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
52, 3, 4ltmul1d 12162 . 2 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
61, 5mpbid 224 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157   class class class wbr 4847  (class class class)co 6882  cr 10227   · cmul 10233   < clt 10367  +crp 12078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-op 4379  df-uni 4633  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-id 5224  df-po 5237  df-so 5238  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-ltxr 10372  df-sub 10562  df-neg 10563  df-rp 12079
This theorem is referenced by:  mul2lt0bi  12185  o1rlimmul  14694  2expltfac  16131  lhop1lem  24121  ftalem5  25159  chtppilimlem1  25518  pntibndlem2  25636  pntlemb  25642  pntlemr  25647  ostth2lem1  25663  ostth2lem3  25680  tgoldbachgtde  31262  ioodvbdlimc1lem1  40894  stoweidlem11  40975  stoweidlem13  40977  stoweidlem26  40990  wallispi  41034  stirlinglem1  41038  dirkercncflem4  41070  fourierdlem4  41075
  Copyright terms: Public domain W3C validator