Theorem ltmul1dd 13219

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
ltdiv1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltmul1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem ltmul1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdiv1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltmul1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltmul1d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltmul1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	ltmul1d 13205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   · cmul 11205   < clt 11343  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-rp 13121

This theorem is used by:  mul2lt0bi  13228  o1rlimmul  15786  2expltfac  17270  lhop1lem  26333  ftalem5  27404  chtppilimlem1  27800  pntibndlem2  27918  pntlemb  27924  pntlemr  27929  ostth2lem1  27945  ostth2lem3  27962  tgoldbachgtde  35289  aks6d1c7lem1  43230  fltnltalem  43673  ioodvbdlimc1lem1  46940  stoweidlem11  47020  stoweidlem13  47022  stoweidlem26  47035  wallispi  47079  stirlinglem1  47083  dirkercncflem4  47115  fourierdlem4  47120  gpg3kgrtriexlem1  49180