Theorem mulge0d 11814

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11755	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129   · cmul 11134   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  supmul1  12211  mul2lt0bi  13115  faclbnd6  14317  sqrtmul  15278  sqreulem  15378  climcnds  15867  efcllem  16093  lcmgcdlem  16625  nmoi  24667  nmoleub2lem3  25066  ipcau2  25186  trirn  25352  itg1ge0  25639  itg1ge0a  25664  itgmulc2lem1  25785  bddmulibl  25792  dvlip  25950  dvfsumlem4  25988  dvfsum2  25993  plyeq0lem  26167  radcnvlem1  26374  dvradcnv  26382  cxpsqrtlem  26663  abscxpbnd  26715  heron  26800  asinlem3  26833  vmadivsum  27445  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem2  27453  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0re  27476  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selbergb  27512  selberg2lem  27513  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem2  27521  selberg4lem1  27523  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntlemn  27563  ostth2lem3  27598  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28884  colinearalglem4  28888  ax5seglem3  28910  branmfn  32086  wrdt2ind  32929  cos9thpiminplylem1  33816  eulerpartlemgc  34394  hgt750lemf  34685  hgt750lemb  34688  hgt750lema  34689  iblmulc2nc  37709  itgmulc2nclem1  37710  geomcau  37783  rrnequiv  37859  aks4d1p1p7  42087  posbezout  42113  aks6d1c6lem4  42186  aks6d1c7lem1  42193  aks6d1c7lem2  42194  pellexlem2  42853  pellexlem6  42857  pell1qrge1  42893  rmxypos  42971  ltrmxnn0  42973  nzprmdif  44343  xralrple3  45401  fmul01  45609  dvbdfbdioolem2  45958  stoweidlem1  46030  stoweidlem16  46045  stoweidlem26  46055  stoweidlem38  46067  wallispilem4  46097  wallispi  46099  wallispi2lem1  46100  stirlinglem1  46103  stirlinglem5  46107  stirlinglem6  46108  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  stirlinglem11  46113  stirlinglem15  46117  stirlingr  46119  fourierdlem42  46178  rrndistlt  46319  itsclc0yqsollem2  48743  2itscp  48761