Theorem mulge0d 11701

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11642	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   · cmul 11018   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159

This theorem is referenced by:  supmul1  12098  mul2lt0bi  13000  faclbnd6  14208  sqrtmul  15168  sqreulem  15269  climcnds  15760  efcllem  15986  lcmgcdlem  16519  nmoi  24644  nmoleub2lem3  25043  ipcau2  25162  trirn  25328  itg1ge0  25615  itg1ge0a  25640  itgmulc2lem1  25761  bddmulibl  25768  dvlip  25926  dvfsumlem4  25964  dvfsum2  25969  plyeq0lem  26143  radcnvlem1  26350  dvradcnv  26358  cxpsqrtlem  26639  abscxpbnd  26691  heron  26776  asinlem3  26809  vmadivsum  27421  rpvmasumlem  27426  dchrisumlem2  27429  dchrisum0flblem2  27448  dchrisum0re  27452  mulog2sumlem2  27474  vmalogdivsum2  27477  2vmadivsumlem  27479  selbergb  27488  selberg2lem  27489  selberg2b  27491  chpdifbndlem1  27492  selberg3lem2  27497  selberg4lem1  27499  pntrlog2bndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem6  27522  pntrlog2bnd  27523  pntlemn  27539  ostth2lem3  27574  ttgcontlem1  28864  brbtwn2  28885  colinearalglem4  28889  ax5seglem3  28911  branmfn  32087  wrdt2ind  32941  cos9thpiminplylem1  33816  eulerpartlemgc  34396  hgt750lemf  34687  hgt750lemb  34690  hgt750lema  34691  iblmulc2nc  37745  itgmulc2nclem1  37746  geomcau  37819  rrnequiv  37895  aks4d1p1p7  42187  posbezout  42213  aks6d1c6lem4  42286  aks6d1c7lem1  42293  aks6d1c7lem2  42294  pellexlem2  42947  pellexlem6  42951  pell1qrge1  42987  rmxypos  43064  ltrmxnn0  43066  nzprmdif  44436  xralrple3  45496  fmul01  45704  dvbdfbdioolem2  46051  stoweidlem1  46123  stoweidlem16  46138  stoweidlem26  46148  stoweidlem38  46160  wallispilem4  46190  wallispi  46192  wallispi2lem1  46193  stirlinglem1  46196  stirlinglem5  46200  stirlinglem6  46201  stirlinglem7  46202  stirlinglem10  46205  stirlinglem11  46206  stirlinglem15  46210  stirlingr  46212  fourierdlem42  46271  rrndistlt  46412  itsclc0yqsollem2  48888  2itscp  48906