Theorem mulge0d 10954

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 10895	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 829	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274   · cmul 10279   ≤ cle 10414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419

This theorem is referenced by:  supmul1  11350  mul2lt0bi  12249  faclbnd6  13408  sqrtmul  14411  sqreulem  14510  climcnds  14991  efcllem  15214  lcmgcdlem  15729  nmoi  22944  nmoleub2lem3  23326  ipcau2  23444  trirn  23610  itg1ge0  23894  itg1ge0a  23919  itgmulc2lem1  24039  bddmulibl  24046  dvlip  24197  dvfsumlem4  24233  dvfsum2  24238  plyeq0lem  24407  radcnvlem1  24608  dvradcnv  24616  cxpsqrtlem  24889  abscxpbnd  24938  heron  25020  asinlem3  25053  vmadivsum  25627  rpvmasumlem  25632  dchrisumlem2  25635  dchrisum0flblem2  25654  dchrisum0re  25658  mulog2sumlem2  25680  vmalogdivsum2  25683  2vmadivsumlem  25685  selbergb  25694  selberg2lem  25695  selberg2b  25697  chpdifbndlem1  25698  selberg3lem2  25703  selberg4lem1  25705  pntrlog2bndlem1  25722  pntrlog2bndlem2  25723  pntrlog2bndlem4  25725  pntrlog2bndlem6  25728  pntrlog2bnd  25729  pntlemn  25745  ostth2lem3  25780  ttgcontlem1  26238  brbtwn2  26258  colinearalglem4  26262  ax5seglem3  26284  branmfn  29540  eulerpartlemgc  31026  hgt750lemf  31337  hgt750lemb  31340  hgt750lema  31341  iblmulc2nc  34105  itgmulc2nclem1  34106  geomcau  34184  rrnequiv  34263  pellexlem2  38364  pellexlem6  38368  pell1qrge1  38404  rmxypos  38483  ltrmxnn0  38485  nzprmdif  39484  xralrple3  40508  fmul01  40730  dvbdfbdioolem2  41082  stoweidlem1  41155  stoweidlem16  41170  stoweidlem26  41180  stoweidlem38  41192  wallispilem4  41222  wallispi  41224  wallispi2lem1  41225  stirlinglem1  41228  stirlinglem5  41232  stirlinglem6  41233  stirlinglem7  41234  stirlinglem10  41237  stirlinglem11  41238  stirlinglem15  41242  stirlingr  41244  fourierdlem42  41303  rrndistlt  41444  itsclc0yqsollem2  43509  2itscp  43527