Theorem mulge0d 11715

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11656	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  supmul1  12112  mul2lt0bi  13019  faclbnd6  14224  sqrtmul  15184  sqreulem  15285  climcnds  15776  efcllem  16002  lcmgcdlem  16535  nmoi  24632  nmoleub2lem3  25031  ipcau2  25150  trirn  25316  itg1ge0  25603  itg1ge0a  25628  itgmulc2lem1  25749  bddmulibl  25756  dvlip  25914  dvfsumlem4  25952  dvfsum2  25957  plyeq0lem  26131  radcnvlem1  26338  dvradcnv  26346  cxpsqrtlem  26627  abscxpbnd  26679  heron  26764  asinlem3  26797  vmadivsum  27409  rpvmasumlem  27414  dchrisumlem2  27417  dchrisum0flblem2  27436  dchrisum0re  27440  mulog2sumlem2  27462  vmalogdivsum2  27465  2vmadivsumlem  27467  selbergb  27476  selberg2lem  27477  selberg2b  27479  chpdifbndlem1  27480  selberg3lem2  27485  selberg4lem1  27487  pntrlog2bndlem1  27504  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem6  27510  pntrlog2bnd  27511  pntlemn  27527  ostth2lem3  27562  ttgcontlem1  28848  brbtwn2  28868  colinearalglem4  28872  ax5seglem3  28894  branmfn  32067  wrdt2ind  32908  cos9thpiminplylem1  33748  eulerpartlemgc  34329  hgt750lemf  34620  hgt750lemb  34623  hgt750lema  34624  iblmulc2nc  37664  itgmulc2nclem1  37665  geomcau  37738  rrnequiv  37814  aks4d1p1p7  42047  posbezout  42073  aks6d1c6lem4  42146  aks6d1c7lem1  42153  aks6d1c7lem2  42154  pellexlem2  42803  pellexlem6  42807  pell1qrge1  42843  rmxypos  42920  ltrmxnn0  42922  nzprmdif  44292  xralrple3  45354  fmul01  45562  dvbdfbdioolem2  45911  stoweidlem1  45983  stoweidlem16  45998  stoweidlem26  46008  stoweidlem38  46020  wallispilem4  46050  wallispi  46052  wallispi2lem1  46053  stirlinglem1  46056  stirlinglem5  46060  stirlinglem6  46061  stirlinglem7  46062  stirlinglem10  46065  stirlinglem11  46066  stirlinglem15  46070  stirlingr  46072  fourierdlem42  46131  rrndistlt  46272  itsclc0yqsollem2  48749  2itscp  48767