Theorem mulge0d 11874

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11815	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   · cmul 11186   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  supmul1  12267  mul2lt0bi  13209  faclbnd6  14423  sqrtmul  15406  sqreulem  15507  climcnds  16000  efcllem  16223  lcmgcdlem  16761  nmoi  25027  nmoleub2lem3  25416  ipcau2  25535  trirn  25701  itg1ge0  25987  itg1ge0a  26012  itgmulc2lem1  26132  bddmulibl  26139  dvlip  26293  dvfsumlem4  26329  dvfsum2  26334  plyeq0lem  26509  radcnvlem1  26722  dvradcnv  26730  cxpsqrtlem  27012  abscxpbnd  27063  heron  27148  asinlem3  27181  vmadivsum  27791  rpvmasumlem  27796  dchrisumlem2  27799  dchrisum0flblem2  27818  dchrisum0re  27822  mulog2sumlem2  27844  vmalogdivsum2  27847  2vmadivsumlem  27849  selbergb  27858  selberg2lem  27859  selberg2b  27861  chpdifbndlem1  27862  selberg3lem2  27867  selberg4lem1  27869  pntrlog2bndlem1  27886  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem6  27892  pntrlog2bnd  27893  pntlemn  27909  ostth2lem3  27944  ttgcontlem1  29444  brbtwn2  29465  colinearalglem4  29469  ax5seglem3  29491  branmfn  32689  wrdt2ind  33498  cos9thpiminplylem1  34396  eulerpartlemgc  34977  hgt750lemf  35265  hgt750lemb  35268  hgt750lema  35269  iblmulc2nc  38571  itgmulc2nclem1  38572  geomcau  38661  rrnequiv  38737  aks4d1p1p7  43092  posbezout  43118  aks6d1c6lem4  43191  aks6d1c7lem1  43198  aks6d1c7lem2  43199  pellexlem2  43790  pellexlem6  43794  pell1qrge1  43830  rmxypos  43907  ltrmxnn0  43909  nzprmdif  45262  xralrple3  46329  fmul01  46536  dvbdfbdioolem2  46883  stoweidlem1  46955  stoweidlem16  46970  stoweidlem26  46980  stoweidlem38  46992  wallispilem4  47022  wallispi  47024  wallispi2lem1  47025  stirlinglem1  47028  stirlinglem5  47032  stirlinglem6  47033  stirlinglem7  47034  stirlinglem10  47037  stirlinglem11  47038  stirlinglem15  47042  stirlingr  47044  fourierdlem42  47103  rrndistlt  47244  itsclc0yqsollem2  49819  2itscp  49837