Theorem mulge0d 11727

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11668	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  supmul1  12125  mul2lt0bi  13050  faclbnd6  14261  sqrtmul  15221  sqreulem  15322  climcnds  15816  efcllem  16042  lcmgcdlem  16575  nmoi  24693  nmoleub2lem3  25082  ipcau2  25201  trirn  25367  itg1ge0  25653  itg1ge0a  25678  itgmulc2lem1  25799  bddmulibl  25806  dvlip  25960  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  plyeq0lem  26175  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  cxpsqrtlem  26666  abscxpbnd  26717  heron  26802  asinlem3  26835  vmadivsum  27445  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem2  27453  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0re  27476  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  2vmadivsumlem  27503  selbergb  27512  selberg2lem  27513  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem2  27521  selberg4lem1  27523  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntlemn  27563  ostth2lem3  27598  ttgcontlem1  28953  brbtwn2  28974  colinearalglem4  28978  ax5seglem3  29000  branmfn  32176  wrdt2ind  33013  cos9thpiminplylem1  33926  eulerpartlemgc  34506  hgt750lemf  34797  hgt750lemb  34800  hgt750lema  34801  iblmulc2nc  38006  itgmulc2nclem1  38007  geomcau  38080  rrnequiv  38156  aks4d1p1p7  42513  posbezout  42539  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  pell1qrge1  43298  rmxypos  43375  ltrmxnn0  43377  nzprmdif  44746  xralrple3  45803  fmul01  46010  dvbdfbdioolem2  46357  stoweidlem1  46429  stoweidlem16  46444  stoweidlem26  46454  stoweidlem38  46466  wallispilem4  46496  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  stirlinglem1  46502  stirlinglem5  46506  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem15  46516  stirlingr  46518  fourierdlem42  46577  rrndistlt  46718  itsclc0yqsollem2  49239  2itscp  49257