MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0d 11211
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 mulge0 11152 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7146  cr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536  cle 10670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-po 5462  df-so 5463  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7149  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675
This theorem is referenced by:  supmul1  11604  mul2lt0bi  12490  faclbnd6  13662  sqrtmul  14617  sqreulem  14717  climcnds  15204  efcllem  15429  lcmgcdlem  15946  nmoi  23332  nmoleub2lem3  23718  ipcau2  23836  trirn  24002  itg1ge0  24288  itg1ge0a  24313  itgmulc2lem1  24433  bddmulibl  24440  dvlip  24594  dvfsumlem4  24630  dvfsum2  24635  plyeq0lem  24805  radcnvlem1  25006  dvradcnv  25014  cxpsqrtlem  25291  abscxpbnd  25340  heron  25422  asinlem3  25455  vmadivsum  26064  rpvmasumlem  26069  dchrisumlem2  26072  dchrisum0flblem2  26091  dchrisum0re  26095  mulog2sumlem2  26117  vmalogdivsum2  26120  2vmadivsumlem  26122  selbergb  26131  selberg2lem  26132  selberg2b  26134  chpdifbndlem1  26135  selberg3lem2  26140  selberg4lem1  26142  pntrlog2bndlem1  26159  pntrlog2bndlem2  26160  pntrlog2bndlem4  26162  pntrlog2bndlem6  26165  pntrlog2bnd  26166  pntlemn  26182  ostth2lem3  26217  ttgcontlem1  26677  brbtwn2  26697  colinearalglem4  26701  ax5seglem3  26723  branmfn  29886  wrdt2ind  30633  eulerpartlemgc  31647  hgt750lemf  31951  hgt750lemb  31954  hgt750lema  31955  iblmulc2nc  35034  itgmulc2nclem1  35035  geomcau  35109  rrnequiv  35185  pellexlem2  39627  pellexlem6  39631  pell1qrge1  39667  rmxypos  39744  ltrmxnn0  39746  nzprmdif  40883  xralrple3  41872  fmul01  42088  dvbdfbdioolem2  42437  stoweidlem1  42509  stoweidlem16  42524  stoweidlem26  42534  stoweidlem38  42546  wallispilem4  42576  wallispi  42578  wallispi2lem1  42579  stirlinglem1  42582  stirlinglem5  42586  stirlinglem6  42587  stirlinglem7  42588  stirlinglem10  42591  stirlinglem11  42592  stirlinglem15  42596  stirlingr  42598  fourierdlem42  42657  rrndistlt  42798  itsclc0yqsollem2  45031  2itscp  45049
  Copyright terms: Public domain W3C validator