Theorem mulge0d 11691

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11632	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  0cc0 11003   · cmul 11008   ≤ cle 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149

This theorem is referenced by:  supmul1  12088  mul2lt0bi  12995  faclbnd6  14203  sqrtmul  15163  sqreulem  15264  climcnds  15755  efcllem  15981  lcmgcdlem  16514  nmoi  24641  nmoleub2lem3  25040  ipcau2  25159  trirn  25325  itg1ge0  25612  itg1ge0a  25637  itgmulc2lem1  25758  bddmulibl  25765  dvlip  25923  dvfsumlem4  25961  dvfsum2  25966  plyeq0lem  26140  radcnvlem1  26347  dvradcnv  26355  cxpsqrtlem  26636  abscxpbnd  26688  heron  26773  asinlem3  26806  vmadivsum  27418  rpvmasumlem  27423  dchrisumlem2  27426  dchrisum0flblem2  27445  dchrisum0re  27449  mulog2sumlem2  27471  vmalogdivsum2  27474  2vmadivsumlem  27476  selbergb  27485  selberg2lem  27486  selberg2b  27488  chpdifbndlem1  27489  selberg3lem2  27494  selberg4lem1  27496  pntrlog2bndlem1  27513  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem6  27519  pntrlog2bnd  27520  pntlemn  27536  ostth2lem3  27571  ttgcontlem1  28861  brbtwn2  28881  colinearalglem4  28885  ax5seglem3  28907  branmfn  32080  wrdt2ind  32929  cos9thpiminplylem1  33790  eulerpartlemgc  34370  hgt750lemf  34661  hgt750lemb  34664  hgt750lema  34665  iblmulc2nc  37724  itgmulc2nclem1  37725  geomcau  37798  rrnequiv  37874  aks4d1p1p7  42106  posbezout  42132  aks6d1c6lem4  42205  aks6d1c7lem1  42212  aks6d1c7lem2  42213  pellexlem2  42862  pellexlem6  42866  pell1qrge1  42902  rmxypos  42979  ltrmxnn0  42981  nzprmdif  44351  xralrple3  45411  fmul01  45619  dvbdfbdioolem2  45966  stoweidlem1  46038  stoweidlem16  46053  stoweidlem26  46063  stoweidlem38  46075  wallispilem4  46105  wallispi  46107  wallispi2lem1  46108  stirlinglem1  46111  stirlinglem5  46115  stirlinglem6  46116  stirlinglem7  46117  stirlinglem10  46120  stirlinglem11  46121  stirlinglem15  46125  stirlingr  46127  fourierdlem42  46186  rrndistlt  46327  itsclc0yqsollem2  48794  2itscp  48812