Theorem mulge0d 11896

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11837	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203   · cmul 11208   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352

This theorem is used by:  supmul1  12289  mul2lt0bi  13231  faclbnd6  14446  sqrtmul  15431  sqreulem  15532  climcnds  16025  efcllem  16248  lcmgcdlem  16786  nmoi  25052  nmoleub2lem3  25441  ipcau2  25560  trirn  25726  itg1ge0  26012  itg1ge0a  26037  itgmulc2lem1  26157  bddmulibl  26164  dvlip  26318  dvfsumlem4  26354  dvfsum2  26359  plyeq0lem  26534  radcnvlem1  26745  dvradcnv  26753  cxpsqrtlem  27035  abscxpbnd  27086  heron  27171  asinlem3  27204  vmadivsum  27814  rpvmasumlem  27819  dchrisumlem2  27822  dchrisum0flblem2  27841  dchrisum0re  27845  mulog2sumlem2  27867  vmalogdivsum2  27870  2vmadivsumlem  27872  selbergb  27881  selberg2lem  27882  selberg2b  27884  chpdifbndlem1  27885  selberg3lem2  27890  selberg4lem1  27892  pntrlog2bndlem1  27909  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem6  27915  pntrlog2bnd  27916  pntlemn  27932  ostth2lem3  27967  ttgcontlem1  29467  brbtwn2  29488  colinearalglem4  29492  ax5seglem3  29514  branmfn  32712  wrdt2ind  33562  cos9thpiminplylem1  34460  eulerpartlemgc  35040  hgt750lemf  35328  hgt750lemb  35331  hgt750lema  35332  iblmulc2nc  38696  itgmulc2nclem1  38697  geomcau  38786  rrnequiv  38862  aks4d1p1p7  43217  posbezout  43243  aks6d1c6lem4  43316  aks6d1c7lem1  43323  aks6d1c7lem2  43324  pellexlem2  43930  pellexlem6  43934  pell1qrge1  43970  rmxypos  44047  ltrmxnn0  44049  nzprmdif  45396  xralrple3  46478  fmul01  46685  dvbdfbdioolem2  47032  stoweidlem1  47104  stoweidlem16  47119  stoweidlem26  47129  stoweidlem38  47141  wallispilem4  47171  wallispi  47173  wallispi2lem1  47174  stirlinglem1  47177  stirlinglem5  47181  stirlinglem6  47182  stirlinglem7  47183  stirlinglem10  47186  stirlinglem11  47187  stirlinglem15  47191  stirlingr  47193  fourierdlem42  47252  rrndistlt  47393  itsclc0yqsollem2  49968  2itscp  49986