Theorem mulge0d 11726

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11667	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  supmul1  12123  mul2lt0bi  13025  faclbnd6  14234  sqrtmul  15194  sqreulem  15295  climcnds  15786  efcllem  16012  lcmgcdlem  16545  nmoi  24684  nmoleub2lem3  25083  ipcau2  25202  trirn  25368  itg1ge0  25655  itg1ge0a  25680  itgmulc2lem1  25801  bddmulibl  25808  dvlip  25966  dvfsumlem4  26004  dvfsum2  26009  plyeq0lem  26183  radcnvlem1  26390  dvradcnv  26398  cxpsqrtlem  26679  abscxpbnd  26731  heron  26816  asinlem3  26849  vmadivsum  27461  rpvmasumlem  27466  dchrisumlem2  27469  dchrisum0flblem2  27488  dchrisum0re  27492  mulog2sumlem2  27514  vmalogdivsum2  27517  2vmadivsumlem  27519  selbergb  27528  selberg2lem  27529  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem2  27537  selberg4lem1  27539  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntlemn  27579  ostth2lem3  27614  ttgcontlem1  28969  brbtwn2  28990  colinearalglem4  28994  ax5seglem3  29016  branmfn  32192  wrdt2ind  33045  cos9thpiminplylem1  33959  eulerpartlemgc  34539  hgt750lemf  34830  hgt750lemb  34833  hgt750lema  34834  iblmulc2nc  37930  itgmulc2nclem1  37931  geomcau  38004  rrnequiv  38080  aks4d1p1p7  42438  posbezout  42464  aks6d1c6lem4  42537  aks6d1c7lem1  42544  aks6d1c7lem2  42545  pellexlem2  43181  pellexlem6  43185  pell1qrge1  43221  rmxypos  43298  ltrmxnn0  43300  nzprmdif  44669  xralrple3  45726  fmul01  45934  dvbdfbdioolem2  46281  stoweidlem1  46353  stoweidlem16  46368  stoweidlem26  46378  stoweidlem38  46390  wallispilem4  46420  wallispi  46422  wallispi2lem1  46423  stirlinglem1  46426  stirlinglem5  46430  stirlinglem6  46431  stirlinglem7  46432  stirlinglem10  46435  stirlinglem11  46436  stirlinglem15  46440  stirlingr  46442  fourierdlem42  46501  rrndistlt  46642  itsclc0yqsollem2  49117  2itscp  49135