Theorem mulge0d 11206

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  supmul1  11597  mul2lt0bi  12483  faclbnd6  13655  sqrtmul  14611  sqreulem  14711  climcnds  15198  efcllem  15423  lcmgcdlem  15940  nmoi  23334  nmoleub2lem3  23720  ipcau2  23838  trirn  24004  itg1ge0  24290  itg1ge0a  24315  itgmulc2lem1  24435  bddmulibl  24442  dvlip  24596  dvfsumlem4  24632  dvfsum2  24637  plyeq0lem  24807  radcnvlem1  25008  dvradcnv  25016  cxpsqrtlem  25293  abscxpbnd  25342  heron  25424  asinlem3  25457  vmadivsum  26066  rpvmasumlem  26071  dchrisumlem2  26074  dchrisum0flblem2  26093  dchrisum0re  26097  mulog2sumlem2  26119  vmalogdivsum2  26122  2vmadivsumlem  26124  selbergb  26133  selberg2lem  26134  selberg2b  26136  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem2  26142  selberg4lem1  26144  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem6  26167  pntrlog2bnd  26168  pntlemn  26184  ostth2lem3  26219  ttgcontlem1  26679  brbtwn2  26699  colinearalglem4  26703  ax5seglem3  26725  branmfn  29888  wrdt2ind  30653  eulerpartlemgc  31730  hgt750lemf  32034  hgt750lemb  32037  hgt750lema  32038  iblmulc2nc  35122  itgmulc2nclem1  35123  geomcau  35197  rrnequiv  35273  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  pell1qrge1  39811  rmxypos  39888  ltrmxnn0  39890  nzprmdif  41023  xralrple3  42006  fmul01  42222  dvbdfbdioolem2  42571  stoweidlem1  42643  stoweidlem16  42658  stoweidlem26  42668  stoweidlem38  42680  wallispilem4  42710  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  stirlinglem1  42716  stirlinglem5  42720  stirlinglem6  42721  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  stirlinglem15  42730  stirlingr  42732  fourierdlem42  42791  rrndistlt  42932  itsclc0yqsollem2  45177  2itscp  45195