Theorem mulge0d 11819

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11760	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277

This theorem is used by:  supmul1  12212  mul2lt0bi  13154  faclbnd6  14367  sqrtmul  15350  sqreulem  15451  climcnds  15944  efcllem  16169  lcmgcdlem  16702  nmoi  24960  nmoleub2lem3  25349  ipcau2  25468  trirn  25634  itg1ge0  25920  itg1ge0a  25945  itgmulc2lem1  26066  bddmulibl  26073  dvlip  26227  dvfsumlem4  26263  dvfsum2  26268  plyeq0lem  26443  radcnvlem1  26656  dvradcnv  26664  cxpsqrtlem  26947  abscxpbnd  26998  heron  27083  asinlem3  27116  vmadivsum  27726  rpvmasumlem  27731  dchrisumlem2  27734  dchrisum0flblem2  27753  dchrisum0re  27757  mulog2sumlem2  27779  vmalogdivsum2  27782  2vmadivsumlem  27784  selbergb  27793  selberg2lem  27794  selberg2b  27796  chpdifbndlem1  27797  selberg3lem2  27802  selberg4lem1  27804  pntrlog2bndlem1  27821  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem6  27827  pntrlog2bnd  27828  pntlemn  27844  ostth2lem3  27879  ttgcontlem1  29349  brbtwn2  29370  colinearalglem4  29374  ax5seglem3  29396  branmfn  32594  wrdt2ind  33403  cos9thpiminplylem1  34300  eulerpartlemgc  34881  hgt750lemf  35169  hgt750lemb  35172  hgt750lema  35173  iblmulc2nc  38442  itgmulc2nclem1  38443  geomcau  38517  rrnequiv  38593  aks4d1p1p7  42948  posbezout  42974  aks6d1c6lem4  43047  aks6d1c7lem1  43054  aks6d1c7lem2  43055  pellexlem2  43679  pellexlem6  43683  pell1qrge1  43719  rmxypos  43796  ltrmxnn0  43798  nzprmdif  45151  xralrple3  46211  fmul01  46418  dvbdfbdioolem2  46765  stoweidlem1  46837  stoweidlem16  46852  stoweidlem26  46862  stoweidlem38  46874  wallispilem4  46904  wallispi  46906  wallispi2lem1  46907  stirlinglem1  46910  stirlinglem5  46914  stirlinglem6  46915  stirlinglem7  46916  stirlinglem10  46919  stirlinglem11  46920  stirlinglem15  46924  stirlingr  46926  fourierdlem42  46985  rrndistlt  47126  itsclc0yqsollem2  49701  2itscp  49719