Theorem mulge0d 11725

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11666	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 844	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  supmul1  12123  mul2lt0bi  13048  faclbnd6  14259  sqrtmul  15219  sqreulem  15320  climcnds  15814  efcllem  16040  lcmgcdlem  16573  nmoi  24718  nmoleub2lem3  25107  ipcau2  25226  trirn  25392  itg1ge0  25678  itg1ge0a  25703  itgmulc2lem1  25824  bddmulibl  25831  dvlip  25985  dvfsumlem4  26021  dvfsum2  26026  plyeq0lem  26200  radcnvlem1  26403  dvradcnv  26411  cxpsqrtlem  26691  abscxpbnd  26742  heron  26827  asinlem3  26860  vmadivsum  27470  rpvmasumlem  27475  dchrisumlem2  27478  dchrisum0flblem2  27497  dchrisum0re  27501  mulog2sumlem2  27523  vmalogdivsum2  27526  2vmadivsumlem  27528  selbergb  27537  selberg2lem  27538  selberg2b  27540  chpdifbndlem1  27541  selberg3lem2  27546  selberg4lem1  27548  pntrlog2bndlem1  27565  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem6  27571  pntrlog2bnd  27572  pntlemn  27588  ostth2lem3  27623  ttgcontlem1  28978  brbtwn2  28999  colinearalglem4  29003  ax5seglem3  29025  branmfn  32201  wrdt2ind  33039  cos9thpiminplylem1  33973  eulerpartlemgc  34553  hgt750lemf  34844  hgt750lemb  34847  hgt750lema  34848  iblmulc2nc  38059  itgmulc2nclem1  38060  geomcau  38133  rrnequiv  38209  aks4d1p1p7  42566  posbezout  42592  aks6d1c6lem4  42665  aks6d1c7lem1  42672  aks6d1c7lem2  42673  pellexlem2  43282  pellexlem6  43286  pell1qrge1  43322  rmxypos  43399  ltrmxnn0  43401  nzprmdif  44770  xralrple3  45825  fmul01  46032  dvbdfbdioolem2  46379  stoweidlem1  46451  stoweidlem16  46466  stoweidlem26  46476  stoweidlem38  46488  wallispilem4  46518  wallispi  46520  wallispi2lem1  46521  stirlinglem1  46524  stirlinglem5  46528  stirlinglem6  46529  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  stirlinglem11  46534  stirlinglem15  46538  stirlingr  46540  fourierdlem42  46599  rrndistlt  46740  itsclc0yqsollem2  49261  2itscp  49279