Theorem mulge0d 11809

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11750	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  supmul1  12202  mul2lt0bi  13142  faclbnd6  14355  sqrtmul  15336  sqreulem  15437  climcnds  15931  efcllem  16156  lcmgcdlem  16689  nmoi  24922  nmoleub2lem3  25311  ipcau2  25430  trirn  25596  itg1ge0  25882  itg1ge0a  25907  itgmulc2lem1  26028  bddmulibl  26035  dvlip  26189  dvfsumlem4  26225  dvfsum2  26230  plyeq0lem  26404  radcnvlem1  26613  dvradcnv  26621  cxpsqrtlem  26904  abscxpbnd  26955  heron  27040  asinlem3  27073  vmadivsum  27683  rpvmasumlem  27688  dchrisumlem2  27691  dchrisum0flblem2  27710  dchrisum0re  27714  mulog2sumlem2  27736  vmalogdivsum2  27739  2vmadivsumlem  27741  selbergb  27750  selberg2lem  27751  selberg2b  27753  chpdifbndlem1  27754  selberg3lem2  27759  selberg4lem1  27761  pntrlog2bndlem1  27778  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem6  27784  pntrlog2bnd  27785  pntlemn  27801  ostth2lem3  27836  ttgcontlem1  29271  brbtwn2  29292  colinearalglem4  29296  ax5seglem3  29318  branmfn  32494  wrdt2ind  33306  cos9thpiminplylem1  34203  eulerpartlemgc  34784  hgt750lemf  35072  hgt750lemb  35075  hgt750lema  35076  iblmulc2nc  38377  itgmulc2nclem1  38378  geomcau  38451  rrnequiv  38527  aks4d1p1p7  42882  posbezout  42908  aks6d1c6lem4  42981  aks6d1c7lem1  42988  aks6d1c7lem2  42989  pellexlem2  43598  pellexlem6  43602  pell1qrge1  43638  rmxypos  43715  ltrmxnn0  43717  nzprmdif  45070  xralrple3  46130  fmul01  46337  dvbdfbdioolem2  46684  stoweidlem1  46756  stoweidlem16  46771  stoweidlem26  46781  stoweidlem38  46793  wallispilem4  46823  wallispi  46825  wallispi2lem1  46826  stirlinglem1  46829  stirlinglem5  46833  stirlinglem6  46834  stirlinglem7  46835  stirlinglem10  46838  stirlinglem11  46839  stirlinglem15  46843  stirlingr  46845  fourierdlem42  46904  rrndistlt  47045  itsclc0yqsollem2  49584  2itscp  49602