Theorem mulge0d 11920

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11861	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232   ≤ cle 11371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376

This theorem is used by:  supmul1  12313  mul2lt0bi  13255  faclbnd6  14470  sqrtmul  15455  sqreulem  15556  climcnds  16049  efcllem  16272  lcmgcdlem  16810  nmoi  25077  nmoleub2lem3  25466  ipcau2  25585  trirn  25751  itg1ge0  26037  itg1ge0a  26062  itgmulc2lem1  26182  bddmulibl  26189  dvlip  26343  dvfsumlem4  26379  dvfsum2  26384  plyeq0lem  26559  radcnvlem1  26770  dvradcnv  26778  cxpsqrtlem  27060  abscxpbnd  27111  heron  27196  asinlem3  27229  vmadivsum  27839  rpvmasumlem  27844  dchrisumlem2  27847  dchrisum0flblem2  27866  dchrisum0re  27870  mulog2sumlem2  27892  vmalogdivsum2  27895  2vmadivsumlem  27897  selbergb  27906  selberg2lem  27907  selberg2b  27909  chpdifbndlem1  27910  selberg3lem2  27915  selberg4lem1  27917  pntrlog2bndlem1  27934  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem6  27940  pntrlog2bnd  27941  pntlemn  27957  ostth2lem3  27992  ttgcontlem1  29492  brbtwn2  29513  colinearalglem4  29517  ax5seglem3  29539  branmfn  32737  wrdt2ind  33586  cos9thpiminplylem1  34484  eulerpartlemgc  35064  hgt750lemf  35352  hgt750lemb  35355  hgt750lema  35356  iblmulc2nc  38795  itgmulc2nclem1  38796  geomcau  38885  rrnequiv  38961  aks4d1p1p7  43316  posbezout  43342  aks6d1c6lem4  43415  aks6d1c7lem1  43422  aks6d1c7lem2  43423  pellexlem2  44030  pellexlem6  44034  pell1qrge1  44070  rmxypos  44147  ltrmxnn0  44149  nzprmdif  45495  xralrple3  46590  fmul01  46797  dvbdfbdioolem2  47144  stoweidlem1  47216  stoweidlem16  47231  stoweidlem26  47241  stoweidlem38  47253  wallispilem4  47283  wallispi  47285  wallispi2lem1  47286  stirlinglem1  47289  stirlinglem5  47293  stirlinglem6  47294  stirlinglem7  47295  stirlinglem10  47298  stirlinglem11  47299  stirlinglem15  47303  stirlingr  47305  fourierdlem42  47364  rrndistlt  47505  itsclc0yqsollem2  50080  2itscp  50098