MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0d 11733
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
ltnegd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
addge0d.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
addge0d.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mulge0d (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 addge0d.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
3 ltnegd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
4 addge0d.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
5 mulge0 11674 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 838 1 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   โ‰ค cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  supmul1  12125  mul2lt0bi  13022  faclbnd6  14200  sqrtmul  15145  sqreulem  15245  climcnds  15737  efcllem  15961  lcmgcdlem  16483  nmoi  24095  nmoleub2lem3  24481  ipcau2  24601  trirn  24767  itg1ge0  25053  itg1ge0a  25079  itgmulc2lem1  25199  bddmulibl  25206  dvlip  25360  dvfsumlem4  25396  dvfsum2  25401  plyeq0lem  25574  radcnvlem1  25775  dvradcnv  25783  cxpsqrtlem  26060  abscxpbnd  26109  heron  26191  asinlem3  26224  vmadivsum  26833  rpvmasumlem  26838  dchrisumlem2  26841  dchrisum0flblem2  26860  dchrisum0re  26864  mulog2sumlem2  26886  vmalogdivsum2  26889  2vmadivsumlem  26891  selbergb  26900  selberg2lem  26901  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  selberg3lem2  26909  selberg4lem1  26911  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntlemn  26951  ostth2lem3  26986  ttgcontlem1  27836  brbtwn2  27857  colinearalglem4  27861  ax5seglem3  27883  branmfn  31050  wrdt2ind  31810  eulerpartlemgc  32965  hgt750lemf  33269  hgt750lemb  33272  hgt750lema  33273  iblmulc2nc  36146  itgmulc2nclem1  36147  geomcau  36221  rrnequiv  36297  aks4d1p1p7  40534  pellexlem2  41156  pellexlem6  41160  pell1qrge1  41196  rmxypos  41274  ltrmxnn0  41276  nzprmdif  42606  xralrple3  43615  fmul01  43828  dvbdfbdioolem2  44177  stoweidlem1  44249  stoweidlem16  44264  stoweidlem26  44274  stoweidlem38  44286  wallispilem4  44316  wallispi  44318  wallispi2lem1  44319  stirlinglem1  44322  stirlinglem5  44326  stirlinglem6  44327  stirlinglem7  44328  stirlinglem10  44331  stirlinglem11  44332  stirlinglem15  44336  stirlingr  44338  fourierdlem42  44397  rrndistlt  44538  itsclc0yqsollem2  46856  2itscp  46874
  Copyright terms: Public domain W3C validator