Theorem mulge0d 11867

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  supmul1  12264  mul2lt0bi  13163  faclbnd6  14348  sqrtmul  15308  sqreulem  15408  climcnds  15899  efcllem  16125  lcmgcdlem  16653  nmoi  24770  nmoleub2lem3  25167  ipcau2  25287  trirn  25453  itg1ge0  25740  itg1ge0a  25766  itgmulc2lem1  25887  bddmulibl  25894  dvlip  26052  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  plyeq0lem  26269  radcnvlem1  26474  dvradcnv  26482  cxpsqrtlem  26762  abscxpbnd  26814  heron  26899  asinlem3  26932  vmadivsum  27544  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem2  27552  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0re  27575  mulog2sumlem2  27597  vmalogdivsum2  27600  2vmadivsumlem  27602  selbergb  27611  selberg2lem  27612  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem2  27620  selberg4lem1  27622  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntlemn  27662  ostth2lem3  27697  ttgcontlem1  28917  brbtwn2  28938  colinearalglem4  28942  ax5seglem3  28964  branmfn  32137  wrdt2ind  32920  eulerpartlemgc  34327  hgt750lemf  34630  hgt750lemb  34633  hgt750lema  34634  iblmulc2nc  37645  itgmulc2nclem1  37646  geomcau  37719  rrnequiv  37795  aks4d1p1p7  42031  posbezout  42057  aks6d1c6lem4  42130  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  pell1qrge1  42826  rmxypos  42904  ltrmxnn0  42906  nzprmdif  44288  xralrple3  45289  fmul01  45501  dvbdfbdioolem2  45850  stoweidlem1  45922  stoweidlem16  45937  stoweidlem26  45947  stoweidlem38  45959  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  stirlinglem1  45995  stirlinglem5  45999  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  fourierdlem42  46070  rrndistlt  46211  itsclc0yqsollem2  48497  2itscp  48515