Theorem mulge0d 11761

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11702	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 849	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   · cmul 11075   ≤ cle 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219

This theorem is referenced by:  supmul1  12158  mul2lt0bi  13098  faclbnd6  14309  sqrtmul  15269  sqreulem  15370  climcnds  15864  efcllem  16090  lcmgcdlem  16623  nmoi  24768  nmoleub2lem3  25157  ipcau2  25276  trirn  25442  itg1ge0  25728  itg1ge0a  25753  itgmulc2lem1  25874  bddmulibl  25881  dvlip  26035  dvfsumlem4  26071  dvfsum2  26076  plyeq0lem  26250  radcnvlem1  26453  dvradcnv  26461  cxpsqrtlem  26744  abscxpbnd  26795  heron  26880  asinlem3  26913  vmadivsum  27523  rpvmasumlem  27528  dchrisumlem2  27531  dchrisum0flblem2  27550  dchrisum0re  27554  mulog2sumlem2  27576  vmalogdivsum2  27579  2vmadivsumlem  27581  selbergb  27590  selberg2lem  27591  selberg2b  27593  chpdifbndlem1  27594  selberg3lem2  27599  selberg4lem1  27601  pntrlog2bndlem1  27618  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem6  27624  pntrlog2bnd  27625  pntlemn  27641  ostth2lem3  27676  ttgcontlem1  29031  brbtwn2  29052  colinearalglem4  29056  ax5seglem3  29078  branmfn  32254  wrdt2ind  33092  cos9thpiminplylem1  34040  eulerpartlemgc  34620  hgt750lemf  34911  hgt750lemb  34914  hgt750lema  34915  iblmulc2nc  38148  itgmulc2nclem1  38149  geomcau  38222  rrnequiv  38298  aks4d1p1p7  42655  posbezout  42681  aks6d1c6lem4  42754  aks6d1c7lem1  42761  aks6d1c7lem2  42762  pellexlem2  43371  pellexlem6  43375  pell1qrge1  43411  rmxypos  43488  ltrmxnn0  43490  nzprmdif  44859  xralrple3  45913  fmul01  46120  dvbdfbdioolem2  46467  stoweidlem1  46539  stoweidlem16  46554  stoweidlem26  46564  stoweidlem38  46576  wallispilem4  46606  wallispi  46608  wallispi2lem1  46609  stirlinglem1  46612  stirlinglem5  46616  stirlinglem6  46617  stirlinglem7  46618  stirlinglem10  46621  stirlinglem11  46622  stirlinglem15  46626  stirlingr  46628  fourierdlem42  46687  rrndistlt  46828  itsclc0yqsollem2  49349  2itscp  49367