Theorem mulge0d 11755

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11696	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  supmul1  12152  mul2lt0bi  13059  faclbnd6  14264  sqrtmul  15225  sqreulem  15326  climcnds  15817  efcllem  16043  lcmgcdlem  16576  nmoi  24616  nmoleub2lem3  25015  ipcau2  25134  trirn  25300  itg1ge0  25587  itg1ge0a  25612  itgmulc2lem1  25733  bddmulibl  25740  dvlip  25898  dvfsumlem4  25936  dvfsum2  25941  plyeq0lem  26115  radcnvlem1  26322  dvradcnv  26330  cxpsqrtlem  26611  abscxpbnd  26663  heron  26748  asinlem3  26781  vmadivsum  27393  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem2  27401  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0re  27424  mulog2sumlem2  27446  vmalogdivsum2  27449  2vmadivsumlem  27451  selbergb  27460  selberg2lem  27461  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem2  27469  selberg4lem1  27471  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntlemn  27511  ostth2lem3  27546  ttgcontlem1  28812  brbtwn2  28832  colinearalglem4  28836  ax5seglem3  28858  branmfn  32034  wrdt2ind  32875  cos9thpiminplylem1  33772  eulerpartlemgc  34353  hgt750lemf  34644  hgt750lemb  34647  hgt750lema  34648  iblmulc2nc  37679  itgmulc2nclem1  37680  geomcau  37753  rrnequiv  37829  aks4d1p1p7  42062  posbezout  42088  aks6d1c6lem4  42161  aks6d1c7lem1  42168  aks6d1c7lem2  42169  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell1qrge1  42858  rmxypos  42936  ltrmxnn0  42938  nzprmdif  44308  xralrple3  45370  fmul01  45578  dvbdfbdioolem2  45927  stoweidlem1  45999  stoweidlem16  46014  stoweidlem26  46024  stoweidlem38  46036  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  stirlinglem1  46072  stirlinglem5  46076  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  fourierdlem42  46147  rrndistlt  46288  itsclc0yqsollem2  48752  2itscp  48770