Theorem mulge0d 11482

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11423	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 835	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946

This theorem is referenced by:  supmul1  11874  mul2lt0bi  12765  faclbnd6  13941  sqrtmul  14899  sqreulem  14999  climcnds  15491  efcllem  15715  lcmgcdlem  16239  nmoi  23798  nmoleub2lem3  24184  ipcau2  24303  trirn  24469  itg1ge0  24755  itg1ge0a  24781  itgmulc2lem1  24901  bddmulibl  24908  dvlip  25062  dvfsumlem4  25098  dvfsum2  25103  plyeq0lem  25276  radcnvlem1  25477  dvradcnv  25485  cxpsqrtlem  25762  abscxpbnd  25811  heron  25893  asinlem3  25926  vmadivsum  26535  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem2  26543  dchrisum0flblem2  26562  dchrisum0re  26566  mulog2sumlem2  26588  vmalogdivsum2  26591  2vmadivsumlem  26593  selbergb  26602  selberg2lem  26603  selberg2b  26605  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem2  26611  selberg4lem1  26613  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntlemn  26653  ostth2lem3  26688  ttgcontlem1  27155  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  ax5seglem3  27202  branmfn  30368  wrdt2ind  31127  eulerpartlemgc  32229  hgt750lemf  32533  hgt750lemb  32536  hgt750lema  32537  iblmulc2nc  35769  itgmulc2nclem1  35770  geomcau  35844  rrnequiv  35920  aks4d1p1p7  40010  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  pell1qrge1  40608  rmxypos  40685  ltrmxnn0  40687  nzprmdif  41826  xralrple3  42803  fmul01  43011  dvbdfbdioolem2  43360  stoweidlem1  43432  stoweidlem16  43447  stoweidlem26  43457  stoweidlem38  43469  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  stirlinglem1  43505  stirlinglem5  43509  stirlinglem6  43510  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  fourierdlem42  43580  rrndistlt  43721  itsclc0yqsollem2  45997  2itscp  46015