Theorem mulge0d 11219

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11160	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683

This theorem is referenced by:  supmul1  11612  mul2lt0bi  12498  faclbnd6  13662  sqrtmul  14621  sqreulem  14721  climcnds  15208  efcllem  15433  lcmgcdlem  15952  nmoi  23339  nmoleub2lem3  23721  ipcau2  23839  trirn  24005  itg1ge0  24289  itg1ge0a  24314  itgmulc2lem1  24434  bddmulibl  24441  dvlip  24592  dvfsumlem4  24628  dvfsum2  24633  plyeq0lem  24802  radcnvlem1  25003  dvradcnv  25011  cxpsqrtlem  25287  abscxpbnd  25336  heron  25418  asinlem3  25451  vmadivsum  26060  rpvmasumlem  26065  dchrisumlem2  26068  dchrisum0flblem2  26087  dchrisum0re  26091  mulog2sumlem2  26113  vmalogdivsum2  26116  2vmadivsumlem  26118  selbergb  26127  selberg2lem  26128  selberg2b  26130  chpdifbndlem1  26131  selberg3lem2  26136  selberg4lem1  26138  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem6  26161  pntrlog2bnd  26162  pntlemn  26178  ostth2lem3  26213  ttgcontlem1  26673  brbtwn2  26693  colinearalglem4  26697  ax5seglem3  26719  branmfn  29884  wrdt2ind  30629  eulerpartlemgc  31622  hgt750lemf  31926  hgt750lemb  31929  hgt750lema  31930  iblmulc2nc  34959  itgmulc2nclem1  34960  geomcau  35036  rrnequiv  35115  pellexlem2  39434  pellexlem6  39438  pell1qrge1  39474  rmxypos  39551  ltrmxnn0  39553  nzprmdif  40658  xralrple3  41649  fmul01  41868  dvbdfbdioolem2  42221  stoweidlem1  42293  stoweidlem16  42308  stoweidlem26  42318  stoweidlem38  42330  wallispilem4  42360  wallispi  42362  wallispi2lem1  42363  stirlinglem1  42366  stirlinglem5  42370  stirlinglem6  42371  stirlinglem7  42372  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  stirlinglem15  42380  stirlingr  42382  fourierdlem42  42441  rrndistlt  42582  itsclc0yqsollem2  44757  2itscp  44775