Theorem mulge0d 11714

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11655	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  supmul1  12111  mul2lt0bi  13013  faclbnd6  14222  sqrtmul  15182  sqreulem  15283  climcnds  15774  efcllem  16000  lcmgcdlem  16533  nmoi  24672  nmoleub2lem3  25071  ipcau2  25190  trirn  25356  itg1ge0  25643  itg1ge0a  25668  itgmulc2lem1  25789  bddmulibl  25796  dvlip  25954  dvfsumlem4  25992  dvfsum2  25997  plyeq0lem  26171  radcnvlem1  26378  dvradcnv  26386  cxpsqrtlem  26667  abscxpbnd  26719  heron  26804  asinlem3  26837  vmadivsum  27449  rpvmasumlem  27454  dchrisumlem2  27457  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0re  27480  mulog2sumlem2  27502  vmalogdivsum2  27505  2vmadivsumlem  27507  selbergb  27516  selberg2lem  27517  selberg2b  27519  chpdifbndlem1  27520  selberg3lem2  27525  selberg4lem1  27527  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem6  27550  pntrlog2bnd  27551  pntlemn  27567  ostth2lem3  27602  ttgcontlem1  28957  brbtwn2  28978  colinearalglem4  28982  ax5seglem3  29004  branmfn  32180  wrdt2ind  33035  cos9thpiminplylem1  33939  eulerpartlemgc  34519  hgt750lemf  34810  hgt750lemb  34813  hgt750lema  34814  iblmulc2nc  37882  itgmulc2nclem1  37883  geomcau  37956  rrnequiv  38032  aks4d1p1p7  42324  posbezout  42350  aks6d1c6lem4  42423  aks6d1c7lem1  42430  aks6d1c7lem2  42431  pellexlem2  43068  pellexlem6  43072  pell1qrge1  43108  rmxypos  43185  ltrmxnn0  43187  nzprmdif  44556  xralrple3  45614  fmul01  45822  dvbdfbdioolem2  46169  stoweidlem1  46241  stoweidlem16  46256  stoweidlem26  46266  stoweidlem38  46278  wallispilem4  46308  wallispi  46310  wallispi2lem1  46311  stirlinglem1  46314  stirlinglem5  46318  stirlinglem6  46319  stirlinglem7  46320  stirlinglem10  46323  stirlinglem11  46324  stirlinglem15  46328  stirlingr  46330  fourierdlem42  46389  rrndistlt  46530  itsclc0yqsollem2  49005  2itscp  49023