Theorem mulge0d 11838

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  supmul1  12235  mul2lt0bi  13139  faclbnd6  14335  sqrtmul  15295  sqreulem  15395  climcnds  15884  efcllem  16110  lcmgcdlem  16640  nmoi  24765  nmoleub2lem3  25162  ipcau2  25282  trirn  25448  itg1ge0  25735  itg1ge0a  25761  itgmulc2lem1  25882  bddmulibl  25889  dvlip  26047  dvfsumlem4  26085  dvfsum2  26090  plyeq0lem  26264  radcnvlem1  26471  dvradcnv  26479  cxpsqrtlem  26759  abscxpbnd  26811  heron  26896  asinlem3  26929  vmadivsum  27541  rpvmasumlem  27546  dchrisumlem2  27549  dchrisum0flblem2  27568  dchrisum0re  27572  mulog2sumlem2  27594  vmalogdivsum2  27597  2vmadivsumlem  27599  selbergb  27608  selberg2lem  27609  selberg2b  27611  chpdifbndlem1  27612  selberg3lem2  27617  selberg4lem1  27619  pntrlog2bndlem1  27636  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem6  27642  pntrlog2bnd  27643  pntlemn  27659  ostth2lem3  27694  ttgcontlem1  28914  brbtwn2  28935  colinearalglem4  28939  ax5seglem3  28961  branmfn  32134  wrdt2ind  32923  eulerpartlemgc  34344  hgt750lemf  34647  hgt750lemb  34650  hgt750lema  34651  iblmulc2nc  37672  itgmulc2nclem1  37673  geomcau  37746  rrnequiv  37822  aks4d1p1p7  42056  posbezout  42082  aks6d1c6lem4  42155  aks6d1c7lem1  42162  aks6d1c7lem2  42163  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell1qrge1  42858  rmxypos  42936  ltrmxnn0  42938  nzprmdif  44315  xralrple3  45324  fmul01  45536  dvbdfbdioolem2  45885  stoweidlem1  45957  stoweidlem16  45972  stoweidlem26  45982  stoweidlem38  45994  wallispilem4  46024  wallispi  46026  wallispi2lem1  46027  stirlinglem1  46030  stirlinglem5  46034  stirlinglem6  46035  stirlinglem7  46036  stirlinglem10  46039  stirlinglem11  46040  stirlinglem15  46044  stirlingr  46046  fourierdlem42  46105  rrndistlt  46246  itsclc0yqsollem2  48613  2itscp  48631