Theorem mulge0d 11580

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11521	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 835	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  ℝcr 10898  0cc0 10899   · cmul 10904   ≤ cle 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043

This theorem is referenced by:  supmul1  11972  mul2lt0bi  12864  faclbnd6  14041  sqrtmul  14999  sqreulem  15099  climcnds  15591  efcllem  15815  lcmgcdlem  16339  nmoi  23920  nmoleub2lem3  24306  ipcau2  24426  trirn  24592  itg1ge0  24878  itg1ge0a  24904  itgmulc2lem1  25024  bddmulibl  25031  dvlip  25185  dvfsumlem4  25221  dvfsum2  25226  plyeq0lem  25399  radcnvlem1  25600  dvradcnv  25608  cxpsqrtlem  25885  abscxpbnd  25934  heron  26016  asinlem3  26049  vmadivsum  26658  rpvmasumlem  26663  dchrisumlem2  26666  dchrisum0flblem2  26685  dchrisum0re  26689  mulog2sumlem2  26711  vmalogdivsum2  26714  2vmadivsumlem  26716  selbergb  26725  selberg2lem  26726  selberg2b  26728  chpdifbndlem1  26729  selberg3lem2  26734  selberg4lem1  26736  pntrlog2bndlem1  26753  pntrlog2bndlem2  26754  pntrlog2bndlem4  26756  pntrlog2bndlem6  26759  pntrlog2bnd  26760  pntlemn  26776  ostth2lem3  26811  ttgcontlem1  27280  brbtwn2  27301  colinearalglem4  27305  ax5seglem3  27327  branmfn  30495  wrdt2ind  31253  eulerpartlemgc  32357  hgt750lemf  32661  hgt750lemb  32664  hgt750lema  32665  iblmulc2nc  35870  itgmulc2nclem1  35871  geomcau  35945  rrnequiv  36021  aks4d1p1p7  40108  pellexlem2  40675  pellexlem6  40679  pell1qrge1  40715  rmxypos  40793  ltrmxnn0  40795  nzprmdif  41961  xralrple3  42947  fmul01  43156  dvbdfbdioolem2  43505  stoweidlem1  43577  stoweidlem16  43592  stoweidlem26  43602  stoweidlem38  43614  wallispilem4  43644  wallispi  43646  wallispi2lem1  43647  stirlinglem1  43650  stirlinglem5  43654  stirlinglem6  43655  stirlinglem7  43656  stirlinglem10  43659  stirlinglem11  43660  stirlinglem15  43664  stirlingr  43666  fourierdlem42  43725  rrndistlt  43866  itsclc0yqsollem2  46149  2itscp  46167