Theorem mulge0d 11779

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11720	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 851	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   · cmul 11093   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  supmul1  12175  mul2lt0bi  13115  faclbnd6  14326  sqrtmul  15300  sqreulem  15401  climcnds  15895  efcllem  16121  lcmgcdlem  16654  nmoi  24846  nmoleub2lem3  25235  ipcau2  25354  trirn  25520  itg1ge0  25806  itg1ge0a  25831  itgmulc2lem1  25952  bddmulibl  25959  dvlip  26113  dvfsumlem4  26149  dvfsum2  26154  plyeq0lem  26328  radcnvlem1  26534  dvradcnv  26542  cxpsqrtlem  26825  abscxpbnd  26876  heron  26961  asinlem3  26994  vmadivsum  27604  rpvmasumlem  27609  dchrisumlem2  27612  dchrisum0flblem2  27631  dchrisum0re  27635  mulog2sumlem2  27657  vmalogdivsum2  27660  2vmadivsumlem  27662  selbergb  27671  selberg2lem  27672  selberg2b  27674  chpdifbndlem1  27675  selberg3lem2  27680  selberg4lem1  27682  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem6  27705  pntrlog2bnd  27706  pntlemn  27722  ostth2lem3  27757  ttgcontlem1  29143  brbtwn2  29164  colinearalglem4  29168  ax5seglem3  29190  branmfn  32366  wrdt2ind  33186  cos9thpiminplylem1  34089  eulerpartlemgc  34669  hgt750lemf  34957  hgt750lemb  34960  hgt750lema  34961  iblmulc2nc  38196  itgmulc2nclem1  38197  geomcau  38270  rrnequiv  38346  aks4d1p1p7  42703  posbezout  42729  aks6d1c6lem4  42802  aks6d1c7lem1  42809  aks6d1c7lem2  42810  pellexlem2  43419  pellexlem6  43423  pell1qrge1  43459  rmxypos  43536  ltrmxnn0  43538  nzprmdif  44893  xralrple3  45947  fmul01  46154  dvbdfbdioolem2  46501  stoweidlem1  46573  stoweidlem16  46588  stoweidlem26  46598  stoweidlem38  46610  wallispilem4  46640  wallispi  46642  wallispi2lem1  46643  stirlinglem1  46646  stirlinglem5  46650  stirlinglem6  46651  stirlinglem7  46652  stirlinglem10  46655  stirlinglem11  46656  stirlinglem15  46660  stirlingr  46662  fourierdlem42  46721  rrndistlt  46862  itsclc0yqsollem2  49394  2itscp  49412