Theorem mulge0d 11792

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11733	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 851	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  supmul1  12185  mul2lt0bi  13125  faclbnd6  14337  sqrtmul  15312  sqreulem  15413  climcnds  15907  efcllem  16132  lcmgcdlem  16665  nmoi  24866  nmoleub2lem3  25255  ipcau2  25374  trirn  25540  itg1ge0  25826  itg1ge0a  25851  itgmulc2lem1  25972  bddmulibl  25979  dvlip  26133  dvfsumlem4  26169  dvfsum2  26174  plyeq0lem  26348  radcnvlem1  26554  dvradcnv  26562  cxpsqrtlem  26845  abscxpbnd  26896  heron  26981  asinlem3  27014  vmadivsum  27624  rpvmasumlem  27629  dchrisumlem2  27632  dchrisum0flblem2  27651  dchrisum0re  27655  mulog2sumlem2  27677  vmalogdivsum2  27680  2vmadivsumlem  27682  selbergb  27691  selberg2lem  27692  selberg2b  27694  chpdifbndlem1  27695  selberg3lem2  27700  selberg4lem1  27702  pntrlog2bndlem1  27719  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem6  27725  pntrlog2bnd  27726  pntlemn  27742  ostth2lem3  27777  ttgcontlem1  29212  brbtwn2  29233  colinearalglem4  29237  ax5seglem3  29259  branmfn  32435  wrdt2ind  33251  cos9thpiminplylem1  34150  eulerpartlemgc  34730  hgt750lemf  35018  hgt750lemb  35021  hgt750lema  35022  iblmulc2nc  38314  itgmulc2nclem1  38315  geomcau  38388  rrnequiv  38464  aks4d1p1p7  42819  posbezout  42845  aks6d1c6lem4  42918  aks6d1c7lem1  42925  aks6d1c7lem2  42926  pellexlem2  43537  pellexlem6  43541  pell1qrge1  43577  rmxypos  43654  ltrmxnn0  43656  nzprmdif  45009  xralrple3  46069  fmul01  46276  dvbdfbdioolem2  46623  stoweidlem1  46695  stoweidlem16  46710  stoweidlem26  46720  stoweidlem38  46732  wallispilem4  46762  wallispi  46764  wallispi2lem1  46765  stirlinglem1  46768  stirlinglem5  46772  stirlinglem6  46773  stirlinglem7  46774  stirlinglem10  46777  stirlinglem11  46778  stirlinglem15  46782  stirlingr  46784  fourierdlem42  46843  rrndistlt  46984  itsclc0yqsollem2  49520  2itscp  49538