Theorem mulge0d 11762

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11703	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  supmul1  12159  mul2lt0bi  13066  faclbnd6  14271  sqrtmul  15232  sqreulem  15333  climcnds  15824  efcllem  16050  lcmgcdlem  16583  nmoi  24623  nmoleub2lem3  25022  ipcau2  25141  trirn  25307  itg1ge0  25594  itg1ge0a  25619  itgmulc2lem1  25740  bddmulibl  25747  dvlip  25905  dvfsumlem4  25943  dvfsum2  25948  plyeq0lem  26122  radcnvlem1  26329  dvradcnv  26337  cxpsqrtlem  26618  abscxpbnd  26670  heron  26755  asinlem3  26788  vmadivsum  27400  rpvmasumlem  27405  dchrisumlem2  27408  dchrisum0flblem2  27427  dchrisum0re  27431  mulog2sumlem2  27453  vmalogdivsum2  27456  2vmadivsumlem  27458  selbergb  27467  selberg2lem  27468  selberg2b  27470  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem2  27476  selberg4lem1  27478  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem6  27501  pntrlog2bnd  27502  pntlemn  27518  ostth2lem3  27553  ttgcontlem1  28819  brbtwn2  28839  colinearalglem4  28843  ax5seglem3  28865  branmfn  32041  wrdt2ind  32882  cos9thpiminplylem1  33779  eulerpartlemgc  34360  hgt750lemf  34651  hgt750lemb  34654  hgt750lema  34655  iblmulc2nc  37686  itgmulc2nclem1  37687  geomcau  37760  rrnequiv  37836  aks4d1p1p7  42069  posbezout  42095  aks6d1c6lem4  42168  aks6d1c7lem1  42175  aks6d1c7lem2  42176  pellexlem2  42825  pellexlem6  42829  pell1qrge1  42865  rmxypos  42943  ltrmxnn0  42945  nzprmdif  44315  xralrple3  45377  fmul01  45585  dvbdfbdioolem2  45934  stoweidlem1  46006  stoweidlem16  46021  stoweidlem26  46031  stoweidlem38  46043  wallispilem4  46073  wallispi  46075  wallispi2lem1  46076  stirlinglem1  46079  stirlinglem5  46083  stirlinglem6  46084  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  stirlinglem15  46093  stirlingr  46095  fourierdlem42  46154  rrndistlt  46295  itsclc0yqsollem2  48756  2itscp  48774