Theorem mulge0d 11840

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  supmul1  12237  mul2lt0bi  13141  faclbnd6  14338  sqrtmul  15298  sqreulem  15398  climcnds  15887  efcllem  16113  lcmgcdlem  16643  nmoi  24749  nmoleub2lem3  25148  ipcau2  25268  trirn  25434  itg1ge0  25721  itg1ge0a  25746  itgmulc2lem1  25867  bddmulibl  25874  dvlip  26032  dvfsumlem4  26070  dvfsum2  26075  plyeq0lem  26249  radcnvlem1  26456  dvradcnv  26464  cxpsqrtlem  26744  abscxpbnd  26796  heron  26881  asinlem3  26914  vmadivsum  27526  rpvmasumlem  27531  dchrisumlem2  27534  dchrisum0flblem2  27553  dchrisum0re  27557  mulog2sumlem2  27579  vmalogdivsum2  27582  2vmadivsumlem  27584  selbergb  27593  selberg2lem  27594  selberg2b  27596  chpdifbndlem1  27597  selberg3lem2  27602  selberg4lem1  27604  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem6  27627  pntrlog2bnd  27628  pntlemn  27644  ostth2lem3  27679  ttgcontlem1  28899  brbtwn2  28920  colinearalglem4  28924  ax5seglem3  28946  branmfn  32124  wrdt2ind  32938  eulerpartlemgc  34364  hgt750lemf  34668  hgt750lemb  34671  hgt750lema  34672  iblmulc2nc  37692  itgmulc2nclem1  37693  geomcau  37766  rrnequiv  37842  aks4d1p1p7  42075  posbezout  42101  aks6d1c6lem4  42174  aks6d1c7lem1  42181  aks6d1c7lem2  42182  pellexlem2  42841  pellexlem6  42845  pell1qrge1  42881  rmxypos  42959  ltrmxnn0  42961  nzprmdif  44338  xralrple3  45385  fmul01  45595  dvbdfbdioolem2  45944  stoweidlem1  46016  stoweidlem16  46031  stoweidlem26  46041  stoweidlem38  46053  wallispilem4  46083  wallispi  46085  wallispi2lem1  46086  stirlinglem1  46089  stirlinglem5  46093  stirlinglem6  46094  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  stirlinglem15  46103  stirlingr  46105  fourierdlem42  46164  rrndistlt  46305  itsclc0yqsollem2  48684  2itscp  48702