Theorem mulge0d 11718

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11659	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 839	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  supmul1  12116  mul2lt0bi  13041  faclbnd6  14252  sqrtmul  15212  sqreulem  15313  climcnds  15807  efcllem  16033  lcmgcdlem  16566  nmoi  24703  nmoleub2lem3  25092  ipcau2  25211  trirn  25377  itg1ge0  25663  itg1ge0a  25688  itgmulc2lem1  25809  bddmulibl  25816  dvlip  25970  dvfsumlem4  26006  dvfsum2  26011  plyeq0lem  26185  radcnvlem1  26391  dvradcnv  26399  cxpsqrtlem  26679  abscxpbnd  26730  heron  26815  asinlem3  26848  vmadivsum  27459  rpvmasumlem  27464  dchrisumlem2  27467  dchrisum0flblem2  27486  dchrisum0re  27490  mulog2sumlem2  27512  vmalogdivsum2  27515  2vmadivsumlem  27517  selbergb  27526  selberg2lem  27527  selberg2b  27529  chpdifbndlem1  27530  selberg3lem2  27535  selberg4lem1  27537  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6  27560  pntrlog2bnd  27561  pntlemn  27577  ostth2lem3  27612  ttgcontlem1  28967  brbtwn2  28988  colinearalglem4  28992  ax5seglem3  29014  branmfn  32191  wrdt2ind  33028  cos9thpiminplylem1  33942  eulerpartlemgc  34522  hgt750lemf  34813  hgt750lemb  34816  hgt750lema  34817  iblmulc2nc  38020  itgmulc2nclem1  38021  geomcau  38094  rrnequiv  38170  aks4d1p1p7  42527  posbezout  42553  aks6d1c6lem4  42626  aks6d1c7lem1  42633  aks6d1c7lem2  42634  pellexlem2  43276  pellexlem6  43280  pell1qrge1  43316  rmxypos  43393  ltrmxnn0  43395  nzprmdif  44764  xralrple3  45821  fmul01  46028  dvbdfbdioolem2  46375  stoweidlem1  46447  stoweidlem16  46462  stoweidlem26  46472  stoweidlem38  46484  wallispilem4  46514  wallispi  46516  wallispi2lem1  46517  stirlinglem1  46520  stirlinglem5  46524  stirlinglem6  46525  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  stirlinglem11  46530  stirlinglem15  46534  stirlingr  46536  fourierdlem42  46595  rrndistlt  46736  itsclc0yqsollem2  49251  2itscp  49269