Theorem mulge0d 11788

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 11729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107   · cmul 11112   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  supmul1  12180  mul2lt0bi  13077  faclbnd6  14256  sqrtmul  15203  sqreulem  15303  climcnds  15794  efcllem  16018  lcmgcdlem  16540  nmoi  24237  nmoleub2lem3  24623  ipcau2  24743  trirn  24909  itg1ge0  25195  itg1ge0a  25221  itgmulc2lem1  25341  bddmulibl  25348  dvlip  25502  dvfsumlem4  25538  dvfsum2  25543  plyeq0lem  25716  radcnvlem1  25917  dvradcnv  25925  cxpsqrtlem  26202  abscxpbnd  26251  heron  26333  asinlem3  26366  vmadivsum  26975  rpvmasumlem  26980  dchrisumlem2  26983  dchrisum0flblem2  27002  dchrisum0re  27006  mulog2sumlem2  27028  vmalogdivsum2  27031  2vmadivsumlem  27033  selbergb  27042  selberg2lem  27043  selberg2b  27045  chpdifbndlem1  27046  selberg3lem2  27051  selberg4lem1  27053  pntrlog2bndlem1  27070  pntrlog2bndlem2  27071  pntrlog2bndlem4  27073  pntrlog2bndlem6  27076  pntrlog2bnd  27077  pntlemn  27093  ostth2lem3  27128  ttgcontlem1  28132  brbtwn2  28153  colinearalglem4  28157  ax5seglem3  28179  branmfn  31346  wrdt2ind  32105  eulerpartlemgc  33350  hgt750lemf  33654  hgt750lemb  33657  hgt750lema  33658  iblmulc2nc  36542  itgmulc2nclem1  36543  geomcau  36616  rrnequiv  36692  aks4d1p1p7  40928  pellexlem2  41554  pellexlem6  41558  pell1qrge1  41594  rmxypos  41672  ltrmxnn0  41674  nzprmdif  43064  xralrple3  44071  fmul01  44283  dvbdfbdioolem2  44632  stoweidlem1  44704  stoweidlem16  44719  stoweidlem26  44729  stoweidlem38  44741  wallispilem4  44771  wallispi  44773  wallispi2lem1  44774  stirlinglem1  44777  stirlinglem5  44781  stirlinglem6  44782  stirlinglem7  44783  stirlinglem10  44786  stirlinglem11  44787  stirlinglem15  44791  stirlingr  44793  fourierdlem42  44852  rrndistlt  44993  itsclc0yqsollem2  47403  2itscp  47421