MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  n0mulscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem n0mulscl 28204
Description: The non-negative surreal integers are closed under multiplication. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
n0mulscl ((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ โ„•0s)

Proof of Theorem n0mulscl
Dummy variables ๐‘› ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘› = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) = (๐ด ยทs 0s ))
21eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘› = 0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s โ†” (๐ด ยทs 0s ) โˆˆ โ„•0s))
32imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = 0s โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s) โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs 0s ) โˆˆ โ„•0s)))
4 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) = (๐ด ยทs ๐‘š))
54eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s โ†” (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s) โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s)))
7 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š +s 1s ) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) = (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )))
87eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘› = (๐‘š +s 1s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s โ†” (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s))
98imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = (๐‘š +s 1s ) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s) โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s)))
10 oveq2 7422 . . . . 5 (๐‘› = ๐ต โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) = (๐ด ยทs ๐ต))
1110eleq1d 2814 . . . 4 (๐‘› = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s โ†” (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ โ„•0s))
1211imbi2d 340 . . 3 (๐‘› = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘›) โˆˆ โ„•0s) โ†” (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ โ„•0s)))
13 n0sno 28188 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ ๐ด โˆˆ No )
14 muls01 28005 . . . . 5 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
1513, 14syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
16 0n0s 28192 . . . 4 0s โˆˆ โ„•0s
1715, 16eqeltrdi 2837 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs 0s ) โˆˆ โ„•0s)
1813ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
19 n0sno 28188 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„•0s โ†’ ๐‘š โˆˆ No )
2019ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ ๐‘š โˆˆ No )
21 1sno 27753 . . . . . . . . . 10 1s โˆˆ No
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ 1s โˆˆ No )
2318, 20, 22addsdid 28049 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) = ((๐ด ยทs ๐‘š) +s (๐ด ยทs 1s )))
2413mulsridd 28007 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs 1s ) = ๐ด)
2524oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) +s (๐ด ยทs 1s )) = ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด))
2625ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) +s (๐ด ยทs 1s )) = ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด))
2723, 26eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) = ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด))
28 n0addscl 28203 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0s) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด) โˆˆ โ„•0s)
2928ancoms 458 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด) โˆˆ โ„•0s)
3029adantlr 714 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) +s ๐ด) โˆˆ โ„•0s)
3127, 30eqeltrd 2829 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โˆง (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s)
3231ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0s) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s))
3332expcom 413 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s)))
3433a2d 29 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„•0s โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐‘š) โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs (๐‘š +s 1s )) โˆˆ โ„•0s)))
353, 6, 9, 12, 17, 34n0sind 28195 . 2 (๐ต โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด โˆˆ โ„•0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ โ„•0s))
3635impcom 407 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0s โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0s) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ โ„•0s)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7414   No csur 27566   0s c0s 27748   1s c1s 27749   +s cadds 27869   ยทs cmuls 27999  โ„•0scnn0s 28178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27569  df-slt 27570  df-bday 27571  df-sle 27671  df-sslt 27707  df-scut 27709  df-0s 27750  df-1s 27751  df-made 27767  df-old 27768  df-left 27770  df-right 27771  df-norec 27848  df-norec2 27859  df-adds 27870  df-negs 27927  df-subs 27928  df-muls 28000  df-n0s 28180
This theorem is referenced by:  nnmulscl  28206
  Copyright terms: Public domain W3C validator