MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  n0ons Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem n0ons 28339
Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)
Assertion
Ref Expression
n0ons (𝐴 ∈ ℕ0s𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0ons
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0sno 28328 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0s𝐴 No )
2 1sno 27872 . . . . 5 1s No
3 subscl 28092 . . . . 5 ((𝐴 No ∧ 1s No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5 ovex 7464 . . . . 5 (𝐴 -s 1s ) ∈ V
65snelpw 5450 . . . 4 ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
74, 6sylib 218 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8 n0scut 28338 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0s𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
9 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
109eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
1110rspcev 3622 . . 3 (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
127, 8, 11syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13 elons2 28281 . 2 (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
1412, 13sylibr 234 1 (𝐴 ∈ ℕ0s𝐴 ∈ Ons)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  (class class class)co 7431   No csur 27684   |s cscut 27827   1s c1s 27868   -s csubs 28052  Onscons 28274  0scnn0s 28318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-ons 28275  df-n0s 28320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator