Theorem n0ons 27959

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ons	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0ons

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0ssno 27951	. . . . . 6 ⊢ ℕ0s ⊆ No
2	1	sseli 3978	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
3		1sno 27580	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4		subscl 27788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
6		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 -s 1s ) ∈ V
7	6	snelpw 5445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8	5, 7	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
9		n0scut 27958	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
10		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
11	10	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
12	11	rspcev 3612	. . 3 ⊢ (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13	8, 9, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14		elons2 27939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
15	13, 14	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  (class class class)co 7412   No csur 27394   |s cscut 27535   1_s c1s 27576   -_s csubs 27749  On_scons 27932  ℕ_0scnn0s 27944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-nadd 8671  df-no 27397  df-slt 27398  df-bday 27399  df-sle 27499  df-sslt 27534  df-scut 27536  df-0s 27577  df-1s 27578  df-made 27594  df-old 27595  df-left 27597  df-right 27598  df-norec 27675  df-norec2 27686  df-adds 27697  df-negs 27750  df-subs 27751  df-ons 27933  df-n0s 27946

This theorem is referenced by: (None)