Theorem n0ons 28264

Description: A surreal natural is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
n0ons	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Proof of Theorem n0ons

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0sno 28252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ No )
2		1sno 27771	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
3		subscl 28002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (𝐴 -s 1s ) ∈ No )
5		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 -s 1s ) ∈ V
6	5	snelpw 5384	. . . 4 ⊢ ((𝐴 -s 1s ) ∈ No ↔ {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
7	4, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → {(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No )
8		n0scut 28262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
9		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝑥 |s ∅) = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅))
10	9	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {(𝐴 -s 1s )} → (𝐴 = (𝑥 |s ∅) ↔ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)))
11	10	rspcev 3572	. . 3 ⊢ (({(𝐴 -s 1s )} ∈ 𝒫 No ∧ 𝐴 = ({(𝐴 -s 1s )} |s ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
13		elons2 28195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 No 𝐴 = (𝑥 |s ∅))
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  (class class class)co 7346   No csur 27578   |s cscut 27722   1_s c1s 27767   -_s csubs 27962  On_scons 28188  ℕ_0scnn0s 28242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sle 27684  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769  df-made 27788  df-old 27789  df-left 27791  df-right 27792  df-norec 27881  df-norec2 27892  df-adds 27903  df-negs 27963  df-subs 27964  df-ons 28189  df-n0s 28244

This theorem is referenced by:  onltn0s  28284  n0cutlt  28285  bdayn0p1  28294  bdayn0sf1o  28295