MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqreu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqreu 15307
Description: Existence and uniqueness for the square root function in general. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqreu (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem sqreu
StepHypRef Expression
1 abscl 15225 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 11242 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 subneg 11509 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ -๐ด) = ((absโ€˜๐ด) + ๐ด))
42, 3mpancom 687 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆ’ -๐ด) = ((absโ€˜๐ด) + ๐ด))
54eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((absโ€˜๐ด) โˆ’ -๐ด) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) = 0))
6 negcl 11460 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
72, 6subeq0ad 11581 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((absโ€˜๐ด) โˆ’ -๐ด) = 0 โ†” (absโ€˜๐ด) = -๐ด))
85, 7bitr3d 281 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) = 0 โ†” (absโ€˜๐ด) = -๐ด))
9 ax-icn 11169 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
10 absge0 15234 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
111, 10jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)))
12 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†” -๐ด โˆˆ โ„))
13 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜๐ด) โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
1412, 13anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)) โ†” (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด)))
1511, 14imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด)))
1615impcom 409 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด))
17 resqrtcl 15200 . . . . . . . . 9 ((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) โˆˆ โ„)
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) โˆˆ โ„)
1918recnd 11242 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (โˆšโ€˜-๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 mulcl 11194 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆšโ€˜-๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โˆˆ โ„‚)
219, 19, 20sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โˆˆ โ„‚)
22 sqrtneglem 15213 . . . . . . . 8 ((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค -๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = --๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+))
2316, 22syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = --๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+))
24 negneg 11510 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐ด = ๐ด)
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ --๐ด = ๐ด)
2625eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = --๐ด โ†” ((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด))
27263anbi1d 1441 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ ((((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = --๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+) โ†” (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+)))
2823, 27mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+))
29 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = ((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2))
3029eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” ((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด))
31 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))))
3231breq2d 5161 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)))))
33 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))))
34 neleq1 3053 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+))
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+))
3630, 32, 353anbi123d 1437 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+)))
3736rspcev 3613 . . . . . 6 (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜(i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆง (i ยท (i ยท (โˆšโ€˜-๐ด))) โˆ‰ โ„+)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
3821, 28, 37syl2anc 585 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) = -๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
3938ex 414 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) = -๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
408, 39sylbid 239 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) = 0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
41 resqrtcl 15200 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด)) โ†’ (โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
421, 10, 41syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
4342recnd 11242 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4443adantr 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ (โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
45 addcl 11192 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
462, 45mpancom 687 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4746adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
48 abscl 15225 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โˆˆ โ„)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โˆˆ โ„)
5049recnd 11242 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5150adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5246abs00ad 15237 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) = 0 โ†” ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) = 0))
5352necon3bid 2986 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โ‰  0 โ†” ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0))
5453biimpar 479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)) โ‰  0)
5547, 51, 54divcld 11990 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
5644, 55mulcld 11234 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
57 eqid 2733 . . . . . 6 ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))
5857sqreulem 15306 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆง (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆ‰ โ„+))
59 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))โ†‘2))
6059eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โ†” (((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))โ†‘2) = ๐ด))
61 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ (โ„œโ€˜๐‘ฅ) = (โ„œโ€˜((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))))
6261breq2d 5161 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))))))
63 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ (i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))))
64 neleq1 3053 . . . . . . . 8 ((i ยท ๐‘ฅ) = (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆ‰ โ„+))
6563, 64syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ ((i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+ โ†” (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆ‰ โ„+))
6660, 62, 653anbi123d 1437 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โ†’ (((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” ((((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆง (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆ‰ โ„+)))
6766rspcev 3613 . . . . 5 ((((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด)))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))โ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆง (i ยท ((โˆšโ€˜(absโ€˜๐ด)) ยท (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) / (absโ€˜((absโ€˜๐ด) + ๐ด))))) โˆ‰ โ„+)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
6856, 58, 67syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
6968ex 414 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((absโ€˜๐ด) + ๐ด) โ‰  0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
7040, 69pm2.61dne 3029 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
71 sqrmo 15198 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
72 reu5 3379 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+) โˆง โˆƒ*๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+)))
7370, 71, 72sylanbrc 584 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐‘ฅโ†‘2) = ๐ด โˆง 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐‘ฅ) โˆง (i ยท ๐‘ฅ) โˆ‰ โ„+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ‰ wnel 3047  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  โˆƒ*wrmo 3376   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„+crp 12974  โ†‘cexp 14027  โ„œcre 15044  โˆšcsqrt 15180  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by:  sqrtcl  15308  sqrtthlem  15309  eqsqrtd  15314
  Copyright terms: Public domain W3C validator