Theorem fallrisefac 15663

Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallrisefac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		m1expeven 13758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7		neg1cn 12017	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		expadd 13753	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9	7, 8	mp3an1 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
10	9	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
11	3, 6, 10	3eqtr3rd 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
13		negneg 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 = 𝑋)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
15	14	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
16	12, 15	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17		expcl 13728	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
18	7, 17	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
20		negcl 11151	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	negcld 11249	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 ∈ ℂ)
22		fallfaccl 15654	. . . . 5 ⊢ ((--𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
24	19, 19, 23	mulassd 10929	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
25		fallfaccl 15654	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 10924	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
27	16, 24, 26	3eqtr3rd 2787	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
28		risefallfac 15662	. . . 4 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
29	20, 28	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
30	29	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
31	27, 30	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710   FallFac cfallfac 15642   RiseFac crisefac 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-risefac 15644  df-fallfac 15645

This theorem is referenced by:  fallfac0  15666