MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallrisefac 15913
Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallrisefac ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)))

Proof of Theorem fallrisefac
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12428 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
212timesd 12401 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
32oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)))
4 nn0z 12529 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 m1expeven 14021 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
7 neg1cn 12272 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
8 expadd 14016 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
97, 8mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
109anidms 568 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
113, 6, 103eqtr3rd 2782 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
1211adantl 483 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
13 negneg 11456 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
1413adantr 482 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
1514oveq1d 7373 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) = (๐‘‹ FallFac ๐‘))
1612, 15oveq12d 7376 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (1 ยท (๐‘‹ FallFac ๐‘)))
17 expcl 13991 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
187, 17mpan 689 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
20 negcl 11406 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2120negcld 11504 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
22 fallfaccl 15904 . . . . 5 ((--๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2321, 22sylan 581 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2419, 19, 23mulassd 11183 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
25 fallfaccl 15904 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625mulid2d 11178 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (๐‘‹ FallFac ๐‘))
2716, 24, 263eqtr3rd 2782 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
28 risefallfac 15912 . . . 4 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)))
2920, 28sylan 581 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)))
3029oveq2d 7374 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
3127, 30eqtr4d 2776 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  -cneg 11391  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ†‘cexp 13973   FallFac cfallfac 15892   RiseFac crisefac 15893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-risefac 15894  df-fallfac 15895
This theorem is referenced by:  fallfac0  15916
  Copyright terms: Public domain W3C validator