Theorem fallrisefac 15991

Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallrisefac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		m1expeven 14074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7		neg1cn 12171	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		expadd 14069	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9	7, 8	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
10	9	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
11	3, 6, 10	3eqtr3rd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
13		negneg 11472	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 = 𝑋)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
15	14	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
16	12, 15	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17		expcl 14044	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
18	7, 17	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
20		negcl 11421	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	negcld 11520	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 ∈ ℂ)
22		fallfaccl 15982	. . . . 5 ⊢ ((--𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
24	19, 19, 23	mulassd 11197	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
25		fallfaccl 15982	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11192	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
27	16, 24, 26	3eqtr3rd 2773	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
28		risefallfac 15990	. . . 4 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
29	20, 28	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
30	29	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
31	27, 30	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  -cneg 11406  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026   FallFac cfallfac 15970   RiseFac crisefac 15971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-prod 15870  df-risefac 15972  df-fallfac 15973

This theorem is referenced by:  fallfac0  15994