Theorem fallrisefac 16199

Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallrisefac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑(2 · 𝑁)) = ( -1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		nn0z 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		m1expeven 14257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7		neg1cn 12310	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		expadd 14252	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
9	7, 8	mp3an1 1477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
10	9	anidms 577	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑(𝑁 + 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)))
11	3, 6, 10	3eqtr3rd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) = 1)
13		negneg 11613	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → - -𝑋 = 𝑋)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → - -𝑋 = 𝑋)
15	14	oveq1d 7437	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( - -𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
16	12, 15	oveq12d 7440	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17		expcl 14227	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑁) ∈ ℂ)
18	7, 17	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑁) ∈ ℂ)
20		negcl 11562	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	negcld 11661	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → - -𝑋 ∈ ℂ)
22		fallfaccl 16190	. . . . 5 ⊢ (( - -𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( - -𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( - -𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
24	19, 19, 23	mulassd 11337	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((( -1↑𝑁) · ( -1↑𝑁)) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · (( -1↑𝑁) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁))))
25		fallfaccl 16190	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11332	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
27	16, 24, 26	3eqtr3rd 2804	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · (( -1↑𝑁) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁))))
28		risefallfac 16198	. . . 4 ⊢ (( -𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑋 RiseFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁)))
29	20, 28	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑋 RiseFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁)))
30	29	oveq2d 7438	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 RiseFac 𝑁)) = (( -1↑𝑁) · (( -1↑𝑁) · ( - -𝑋 FallFac 𝑁))))
31	27, 30	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 RiseFac 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   -cneg 11547  2c2 12402  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698  ↑cexp 14209   FallFac cfallfac 16178   RiseFac crisefac 16179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-prod 16080  df-risefac 16180  df-fallfac 16181

This theorem is used by:  fallfac0  16201