Theorem fallrisefac 16058

Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallrisefac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		nn0z 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		m1expeven 14147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7		neg1cn 12378	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		expadd 14142	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9	7, 8	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
10	9	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
11	3, 6, 10	3eqtr3rd 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
13		negneg 11557	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 = 𝑋)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
15	14	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
16	12, 15	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17		expcl 14117	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
18	7, 17	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
20		negcl 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	negcld 11605	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 ∈ ℂ)
22		fallfaccl 16049	. . . . 5 ⊢ ((--𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
24	19, 19, 23	mulassd 11282	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
25		fallfaccl 16049	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11277	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
27	16, 24, 26	3eqtr3rd 2784	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
28		risefallfac 16057	. . . 4 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
29	20, 28	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
30	29	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
31	27, 30	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ↑cexp 14099   FallFac cfallfac 16037   RiseFac crisefac 16038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-risefac 16039  df-fallfac 16040

This theorem is referenced by:  fallfac0  16061