Theorem fallrisefac 15936

Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallrisefac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	2timesd 12373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
3	2	oveq2d 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4		nn0z 12501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
5		m1expeven 14020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7		neg1cn 12119	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
8		expadd 14015	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
9	7, 8	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
10	9	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
11	3, 6, 10	3eqtr3rd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
13		negneg 11420	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 = 𝑋)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
15	14	oveq1d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
16	12, 15	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17		expcl 13990	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
18	7, 17	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
20		negcl 11369	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
21	20	negcld 11468	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 ∈ ℂ)
22		fallfaccl 15927	. . . . 5 ⊢ ((--𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
23	21, 22	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
24	19, 19, 23	mulassd 11144	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
25		fallfaccl 15927	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11139	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
27	16, 24, 26	3eqtr3rd 2777	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
28		risefallfac 15935	. . . 4 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
29	20, 28	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
30	29	oveq2d 7370	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
31	27, 30	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  -cneg 11354  2c2 12189  ℕ₀cn0 12390  ℤcz 12477  ↑cexp 13972   FallFac cfallfac 15915   RiseFac crisefac 15916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-prod 15815  df-risefac 15917  df-fallfac 15918

This theorem is referenced by:  fallfac0  15939