MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallrisefac 15900
Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallrisefac ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))

Proof of Theorem fallrisefac
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12419 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
212timesd 12392 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
32oveq2d 7369 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
4 nn0z 12520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5 m1expeven 14007 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(2 · 𝑁)) = 1)
7 neg1cn 12263 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
8 expadd 14002 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
97, 8mp3an1 1448 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
109anidms 567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
113, 6, 103eqtr3rd 2785 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
1211adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
13 negneg 11447 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 = 𝑋)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → --𝑋 = 𝑋)
1514oveq1d 7368 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) = (𝑋 FallFac 𝑁))
1612, 15oveq12d 7371 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)))
17 expcl 13977 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
187, 17mpan 688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
1918adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
20 negcl 11397 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2120negcld 11495 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → --𝑋 ∈ ℂ)
22 fallfaccl 15891 . . . . 5 ((--𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
2321, 22sylan 580 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (--𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
2419, 19, 23mulassd 11174 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (--𝑋 FallFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
25 fallfaccl 15891 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) ∈ ℂ)
2625mulid2d 11169 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (𝑋 FallFac 𝑁)) = (𝑋 FallFac 𝑁))
2716, 24, 263eqtr3rd 2785 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
28 risefallfac 15899 . . . 4 ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
2920, 28sylan 580 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁)))
3029oveq2d 7369 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (--𝑋 FallFac 𝑁))))
3127, 30eqtr4d 2779 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 FallFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 RiseFac 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7353  cc 11045  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  -cneg 11382  2c2 12204  0cn0 12409  cz 12495  cexp 13959   FallFac cfallfac 15879   RiseFac crisefac 15880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-prod 15781  df-risefac 15881  df-fallfac 15882
This theorem is referenced by:  fallfac0  15903
  Copyright terms: Public domain W3C validator