MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallrisefac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallrisefac 15965
Description: A relationship between falling and rising factorials. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallrisefac ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)))

Proof of Theorem fallrisefac
StepHypRef Expression
1 nn0cn 12478 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
212timesd 12451 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
32oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)))
4 nn0z 12579 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 m1expeven 14071 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘)) = 1)
7 neg1cn 12322 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„‚
8 expadd 14066 . . . . . . . 8 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
97, 8mp3an1 1448 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
109anidms 567 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(๐‘ + ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)))
113, 6, 103eqtr3rd 2781 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
1211adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) = 1)
13 negneg 11506 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
1413adantr 481 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ --๐‘‹ = ๐‘‹)
1514oveq1d 7420 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) = (๐‘‹ FallFac ๐‘))
1612, 15oveq12d 7423 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (1 ยท (๐‘‹ FallFac ๐‘)))
17 expcl 14041 . . . . . 6 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
187, 17mpan 688 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
20 negcl 11456 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
2120negcld 11554 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ --๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
22 fallfaccl 15956 . . . . 5 ((--๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2321, 22sylan 580 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (--๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2419, 19, 23mulassd 11233 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((-1โ†‘๐‘) ยท (-1โ†‘๐‘)) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
25 fallfaccl 15956 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625mullidd 11228 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (๐‘‹ FallFac ๐‘))
2716, 24, 263eqtr3rd 2781 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
28 risefallfac 15964 . . . 4 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)))
2920, 28sylan 580 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘)))
3029oveq2d 7421 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท ((-1โ†‘๐‘) ยท (--๐‘‹ FallFac ๐‘))))
3127, 30eqtr4d 2775 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ FallFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ RiseFac ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  -cneg 11441  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ†‘cexp 14023   FallFac cfallfac 15944   RiseFac crisefac 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-risefac 15946  df-fallfac 15947
This theorem is referenced by:  fallfac0  15968
  Copyright terms: Public domain W3C validator