Theorem lognegb 26900

Description: If a number has imaginary part equal to π, then it is on the negative real axis and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lognegb	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))

Proof of Theorem lognegb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logneg 26898	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
2	1	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘--𝐴)) = (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))))
3		relogcl 26885	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4		pire 26765	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		crim 15262	. . . . 5 ⊢ (((log‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))) = π)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))) = π)
7	2, 6	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘--𝐴)) = π)
8		negneg 11589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
10	9	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
11	10	fveqeq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘--𝐴)) = π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
12	7, 11	imbitrid 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
13		logcl 26878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	replimd 15344	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) = ((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
15	14	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
16		eflog 26886	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	13	recld 15341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
19		ax-icn 11240	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
20	13	imcld 15342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
22		mulcl 11265	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24		efadd 16240	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
25	18, 23, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
26	15, 16, 25	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
27		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) = (i · π))
28	27	fveq2d 6881	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘(i · π)))
29		efipi 26784	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
30	28, 29	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = -1)
31	30	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1))
32	31	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) ↔ 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1)))
33	26, 32	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1)))
34	17	rpefcld 16253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
35	34	rpcnd 13147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
36		neg1cn 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
37		mulcom 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
38	35, 36, 37	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
39	35	mulm1d 11749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))) = -(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
40	38, 39	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = -(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
41	40	negeqd 11532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = --(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
42	35	negnegd 11641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → --(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
43	41, 42	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
44	43, 34	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) ∈ ℝ+)
45		negeq 11530	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → -𝐴 = -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1))
46	45	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) ∈ ℝ+))
47	44, 46	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → -𝐴 ∈ ℝ+))
48	33, 47	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
49	12, 48	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182  ici 11183   + caddc 11184   · cmul 11186  -cneg 11523  ℝ⁺crp 13101  ℜcre 15244  ℑcim 15245  expce 16207  πcpi 16212  logclog 26864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866

This theorem is used by:  logcj  26916  argimgt0  26922  dvloglem  26958  logf1o2  26960  logrec  27073  ang180lem2  27120  angpieqvdlem2  27139  asinneg  27196  arginv  33321