Theorem lognegb 26733

Description: If a number has imaginary part equal to π, then it is on the negative real axis and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lognegb	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))

Proof of Theorem lognegb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logneg 26731	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
2	1	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘--𝐴)) = (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))))
3		relogcl 26718	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4		pire 26597	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
5		crim 15168	. . . . 5 ⊢ (((log‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))) = π)
6	3, 4, 5	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘-𝐴) + (i · π))) = π)
7	2, 6	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘--𝐴)) = π)
8		negneg 11509	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
9	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
10	9	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
11	10	fveqeq2d 6891	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘--𝐴)) = π ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
12	7, 11	imbitrid 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
13		logcl 26711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	replimd 15250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) = ((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
15	14	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
16		eflog 26719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
17	13	recld 15247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
19		ax-icn 11160	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
20	13	imcld 15248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
22		mulcl 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
24		efadd 16149	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
25	18, 23, 24	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
26	15, 16, 25	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))))
27		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) = (i · π))
28	27	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘(i · π)))
29		efipi 26616	. . . . . . 7 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
30	28, 29	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = -1)
31	30	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1))
32	31	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴))))) ↔ 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1)))
33	26, 32	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → 𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1)))
34	17	rpefcld 16162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
35	34	rpcnd 13063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
36		neg1cn 12204	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
37		mulcom 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
38	35, 36, 37	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
39	35	mulm1d 11667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-1 · (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))) = -(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
40	38, 39	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = -(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
41	40	negeqd 11452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = --(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
42	35	negnegd 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → --(exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
43	41, 42	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) = (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))))
44	43, 34	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) ∈ ℝ+)
45		negeq 11450	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → -𝐴 = -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1))
46	45	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ -((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) ∈ ℝ+))
47	44, 46	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 = ((exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) · -1) → -𝐴 ∈ ℝ+))
48	33, 47	syld 48	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → -𝐴 ∈ ℝ+))
49	12, 48	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106  -cneg 11443  ℝ⁺crp 13017  ℜcre 15150  ℑcim 15151  expce 16116  πcpi 16121  logclog 26697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699

This theorem is referenced by:  logcj  26749  argimgt0  26755  dvloglem  26791  logf1o2  26793  logrec  26906  ang180lem2  26953  angpieqvdlem2  26972  asinneg  27029  arginv  33070