Theorem nnexpcl 13438

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11630	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 11649	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11636	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13436	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  digit1  13594  nnexpcld  13602  faclbnd4lem3  13651  faclbnd5  13654  climcndslem1  15196  climcndslem2  15197  climcnds  15198  harmonic  15206  geo2sum  15221  geo2lim  15223  ege2le3  15435  eftlub  15454  ef01bndlem  15529  phiprmpw  16103  pcdvdsb  16195  pcmptcl  16217  pcfac  16225  pockthi  16233  prmreclem3  16244  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  modxai  16394  1259lem5  16460  2503lem3  16464  4001lem4  16469  ovollb2lem  24092  ovoliunlem1  24106  ovoliunlem3  24108  dyadf  24195  dyadovol  24197  dyadss  24198  dyaddisjlem  24199  dyadmaxlem  24201  opnmbllem  24205  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  mbfi1fseqlem6  24324  aalioulem1  24928  aaliou2b  24937  aaliou3lem9  24946  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  log2ublem1  25532  log2ublem2  25533  log2ub  25535  zetacvg  25600  vmappw  25701  sgmnncl  25732  dvdsppwf1o  25771  0sgmppw  25782  1sgm2ppw  25784  vmasum  25800  mersenne  25811  perfect1  25812  perfectlem1  25813  perfectlem2  25814  perfect  25815  pcbcctr  25860  bclbnd  25864  bposlem2  25869  bposlem6  25873  bposlem8  25875  chebbnd1lem1  26053  rplogsumlem2  26069  ostth2lem3  26219  ostth3  26222  oddpwdc  31722  tgoldbachgt  32044  faclim2  33093  opnmbllem0  35093  heiborlem3  35251  heiborlem5  35253  heiborlem6  35254  heiborlem7  35255  heiborlem8  35256  heibor  35259  expgcd  39491  hoicvrrex  43195  ovnsubaddlem2  43210  ovolval5lem1  43291  fmtnoprmfac2lem1  44083  fmtno4prm  44092  perfectALTVlem1  44239  perfectALTVlem2  44240  perfectALTV  44241  bgoldbachlt  44331  tgblthelfgott  44333  tgoldbachlt  44334  blenpw2  44992  nnpw2pb  45001  nnolog2flm1  45004