Theorem nnexpcl 13997

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12150	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12169	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12156	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  digit1  14160  nnexpcld  14168  faclbnd4lem3  14218  faclbnd5  14221  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  climcnds  15774  harmonic  15782  geo2sum  15796  geo2lim  15798  ege2le3  16013  eftlub  16034  ef01bndlem  16109  expgcd  16490  phiprmpw  16703  pcdvdsb  16797  pcmptcl  16819  pcfac  16827  pockthi  16835  prmreclem3  16846  prmreclem5  16848  prmreclem6  16849  modxai  16996  1259lem5  17062  2503lem3  17066  4001lem4  17071  ovollb2lem  25445  ovoliunlem1  25459  ovoliunlem3  25461  dyadf  25548  dyadovol  25550  dyadss  25551  dyaddisjlem  25552  dyadmaxlem  25554  opnmbllem  25558  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  aalioulem1  26296  aaliou2b  26305  aaliou3lem9  26314  log2cnv  26910  log2tlbnd  26911  log2ublem1  26912  log2ublem2  26913  log2ub  26915  zetacvg  26981  vmappw  27082  sgmnncl  27113  dvdsppwf1o  27152  0sgmppw  27165  1sgm2ppw  27167  vmasum  27183  mersenne  27194  perfect1  27195  perfectlem1  27196  perfectlem2  27197  perfect  27198  pcbcctr  27243  bclbnd  27247  bposlem2  27252  bposlem6  27256  bposlem8  27258  chebbnd1lem1  27436  rplogsumlem2  27452  ostth2lem3  27602  ostth3  27605  oddpwdc  34511  tgoldbachgt  34820  faclim2  35942  opnmbllem0  37857  heiborlem3  38014  heiborlem5  38016  heiborlem6  38017  heiborlem7  38018  heiborlem8  38019  heibor  38022  dvdsexpnn0  42589  hoicvrrex  46800  ovnsubaddlem2  46815  ovolval5lem1  46896  fmtnoprmfac2lem1  47812  fmtno4prm  47821  perfectALTVlem1  47967  perfectALTVlem2  47968  perfectALTV  47969  bgoldbachlt  48059  tgblthelfgott  48061  tgoldbachlt  48062  blenpw2  48824  nnpw2pb  48833  nnolog2flm1  48836