Theorem nnexpcl 14015

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12167	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12186	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12173	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14013	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  digit1  14178  nnexpcld  14186  faclbnd4lem3  14236  faclbnd5  14239  climcndslem1  15791  climcndslem2  15792  climcnds  15793  harmonic  15801  geo2sum  15815  geo2lim  15817  ege2le3  16032  eftlub  16053  ef01bndlem  16128  expgcd  16509  phiprmpw  16722  pcdvdsb  16816  pcmptcl  16838  pcfac  16846  pockthi  16854  prmreclem3  16865  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  modxai  17015  1259lem5  17081  2503lem3  17085  4001lem4  17090  ovollb2lem  25365  ovoliunlem1  25379  ovoliunlem3  25381  dyadf  25468  dyadovol  25470  dyadss  25471  dyaddisjlem  25472  dyadmaxlem  25474  opnmbllem  25478  mbfi1fseqlem1  25592  mbfi1fseqlem3  25594  mbfi1fseqlem4  25595  mbfi1fseqlem5  25596  mbfi1fseqlem6  25597  aalioulem1  26216  aaliou2b  26225  aaliou3lem9  26234  log2cnv  26830  log2tlbnd  26831  log2ublem1  26832  log2ublem2  26833  log2ub  26835  zetacvg  26901  vmappw  27002  sgmnncl  27033  dvdsppwf1o  27072  0sgmppw  27085  1sgm2ppw  27087  vmasum  27103  mersenne  27114  perfect1  27115  perfectlem1  27116  perfectlem2  27117  perfect  27118  pcbcctr  27163  bclbnd  27167  bposlem2  27172  bposlem6  27176  bposlem8  27178  chebbnd1lem1  27356  rplogsumlem2  27372  ostth2lem3  27522  ostth3  27525  oddpwdc  34318  tgoldbachgt  34627  faclim2  35708  opnmbllem0  37623  heiborlem3  37780  heiborlem5  37782  heiborlem6  37783  heiborlem7  37784  heiborlem8  37785  heibor  37788  dvdsexpnn0  42295  hoicvrrex  46527  ovnsubaddlem2  46542  ovolval5lem1  46623  fmtnoprmfac2lem1  47540  fmtno4prm  47549  perfectALTVlem1  47695  perfectALTVlem2  47696  perfectALTV  47697  bgoldbachlt  47787  tgblthelfgott  47789  tgoldbachlt  47790  blenpw2  48540  nnpw2pb  48549  nnolog2flm1  48552