Theorem nnexpcl 14027

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12170	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12189	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12176	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  digit1  14190  nnexpcld  14198  faclbnd4lem3  14248  faclbnd5  14251  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  climcnds  15807  harmonic  15815  geo2sum  15829  geo2lim  15831  ege2le3  16046  eftlub  16067  ef01bndlem  16142  expgcd  16523  phiprmpw  16737  pcdvdsb  16831  pcmptcl  16853  pcfac  16861  pockthi  16869  prmreclem3  16880  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  modxai  17030  1259lem5  17096  2503lem3  17100  4001lem4  17105  ovollb2lem  25465  ovoliunlem1  25479  ovoliunlem3  25481  dyadf  25568  dyadovol  25570  dyadss  25571  dyaddisjlem  25572  dyadmaxlem  25574  opnmbllem  25578  mbfi1fseqlem1  25692  mbfi1fseqlem3  25694  mbfi1fseqlem4  25695  mbfi1fseqlem5  25696  mbfi1fseqlem6  25697  aalioulem1  26309  aaliou2b  26318  aaliou3lem9  26327  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  log2ublem1  26923  log2ublem2  26924  log2ub  26926  zetacvg  26992  vmappw  27093  sgmnncl  27124  dvdsppwf1o  27163  0sgmppw  27175  1sgm2ppw  27177  vmasum  27193  mersenne  27204  perfect1  27205  perfectlem1  27206  perfectlem2  27207  perfect  27208  pcbcctr  27253  bclbnd  27257  bposlem2  27262  bposlem6  27266  bposlem8  27268  chebbnd1lem1  27446  rplogsumlem2  27462  ostth2lem3  27612  ostth3  27615  oddpwdc  34514  tgoldbachgt  34823  faclim2  35946  opnmbllem0  37991  heiborlem3  38148  heiborlem5  38150  heiborlem6  38151  heiborlem7  38152  heiborlem8  38153  heibor  38156  dvdsexpnn0  42780  hoicvrrex  47002  ovnsubaddlem2  47017  ovolval5lem1  47098  fmtnoprmfac2lem1  48041  fmtno4prm  48050  perfectALTVlem1  48209  perfectALTVlem2  48210  perfectALTV  48211  bgoldbachlt  48301  tgblthelfgott  48303  tgoldbachlt  48304  blenpw2  49066  nnpw2pb  49075  nnolog2flm1  49078