Theorem nnexpcl 14092

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12245	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12264	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12251	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14090	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  digit1  14255  nnexpcld  14263  faclbnd4lem3  14313  faclbnd5  14316  climcndslem1  15865  climcndslem2  15866  climcnds  15867  harmonic  15875  geo2sum  15889  geo2lim  15891  ege2le3  16106  eftlub  16127  ef01bndlem  16202  expgcd  16582  phiprmpw  16795  pcdvdsb  16889  pcmptcl  16911  pcfac  16919  pockthi  16927  prmreclem3  16938  prmreclem5  16940  prmreclem6  16941  modxai  17088  1259lem5  17154  2503lem3  17158  4001lem4  17163  ovollb2lem  25441  ovoliunlem1  25455  ovoliunlem3  25457  dyadf  25544  dyadovol  25546  dyadss  25547  dyaddisjlem  25548  dyadmaxlem  25550  opnmbllem  25554  mbfi1fseqlem1  25668  mbfi1fseqlem3  25670  mbfi1fseqlem4  25671  mbfi1fseqlem5  25672  mbfi1fseqlem6  25673  aalioulem1  26292  aaliou2b  26301  aaliou3lem9  26310  log2cnv  26906  log2tlbnd  26907  log2ublem1  26908  log2ublem2  26909  log2ub  26911  zetacvg  26977  vmappw  27078  sgmnncl  27109  dvdsppwf1o  27148  0sgmppw  27161  1sgm2ppw  27163  vmasum  27179  mersenne  27190  perfect1  27191  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  pcbcctr  27239  bclbnd  27243  bposlem2  27248  bposlem6  27252  bposlem8  27254  chebbnd1lem1  27432  rplogsumlem2  27448  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  oddpwdc  34386  tgoldbachgt  34695  faclim2  35765  opnmbllem0  37680  heiborlem3  37837  heiborlem5  37839  heiborlem6  37840  heiborlem7  37841  heiborlem8  37842  heibor  37845  dvdsexpnn0  42383  hoicvrrex  46585  ovnsubaddlem2  46600  ovolval5lem1  46681  fmtnoprmfac2lem1  47580  fmtno4prm  47589  perfectALTVlem1  47735  perfectALTVlem2  47736  perfectALTV  47737  bgoldbachlt  47827  tgblthelfgott  47829  tgoldbachlt  47830  blenpw2  48558  nnpw2pb  48567  nnolog2flm1  48570