Theorem nnexpcl 14210

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12333	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12352	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12339	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14208	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  digit1  14374  nnexpcld  14382  faclbnd4lem3  14432  faclbnd5  14435  climcndslem1  16011  climcndslem2  16012  climcnds  16013  harmonic  16021  geo2sum  16035  geo2lim  16037  ege2le3  16249  eftlub  16270  ef01bndlem  16345  expgcd  16730  phiprmpw  16946  pcdvdsb  17040  pcmptcl  17062  pcfac  17070  pockthi  17078  prmreclem3  17089  prmreclem5  17091  prmreclem6  17092  modxai  17239  1259lem5  17306  2503lem3  17310  4001lem4  17315  ovollb2lem  25802  ovoliunlem1  25816  ovoliunlem3  25818  dyadf  25905  dyadovol  25907  dyadss  25908  dyaddisjlem  25909  dyadmaxlem  25911  opnmbllem  25915  mbfi1fseqlem1  26029  mbfi1fseqlem3  26031  mbfi1fseqlem4  26032  mbfi1fseqlem5  26033  mbfi1fseqlem6  26034  aalioulem1  26652  aaliou2b  26661  aaliou3lem9  26670  log2cnv  27265  log2tlbnd  27266  log2ublem1  27267  log2ublem2  27268  log2ub  27270  zetacvg  27335  vmappw  27436  sgmnncl  27467  dvdsppwf1o  27506  0sgmppw  27518  1sgm2ppw  27520  vmasum  27536  mersenne  27547  perfect1  27548  perfectlem1  27549  perfectlem2  27550  perfect  27551  pcbcctr  27596  bclbnd  27600  bposlem2  27605  bposlem6  27609  bposlem8  27611  chebbnd1lem1  27789  rplogsumlem2  27805  ostth2lem3  27955  ostth3  27958  oddpwdc  34979  tgoldbachgt  35285  faclim2  36492  opnmbllem0  38554  heiborlem3  38727  heiborlem5  38729  heiborlem6  38730  heiborlem7  38731  heiborlem8  38732  heibor  38735  dvdsexpnn0  43366  hoicvrrex  47535  ovnsubaddlem2  47550  ovolval5lem1  47631  fmtnoprmfac2lem1  48620  fmtno4prm  48629  perfectALTVlem1  48788  perfectALTVlem2  48789  perfectALTV  48790  bgoldbachlt  48880  tgblthelfgott  48882  tgoldbachlt  48883  blenpw2  49659  nnpw2pb  49668  nnolog2flm1  49671