Theorem nnexpcl 14081

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12209	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12228	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12215	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14079	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  digit1  14244  nnexpcld  14252  faclbnd4lem3  14302  faclbnd5  14305  climcndslem1  15870  climcndslem2  15871  climcnds  15872  harmonic  15880  geo2sum  15894  geo2lim  15896  ege2le3  16111  eftlub  16132  ef01bndlem  16207  expgcd  16588  phiprmpw  16802  pcdvdsb  16896  pcmptcl  16918  pcfac  16926  pockthi  16934  prmreclem3  16945  prmreclem5  16947  prmreclem6  16948  modxai  17095  1259lem5  17162  2503lem3  17166  4001lem4  17171  ovollb2lem  25538  ovoliunlem1  25552  ovoliunlem3  25554  dyadf  25641  dyadovol  25643  dyadss  25644  dyaddisjlem  25645  dyadmaxlem  25647  opnmbllem  25651  mbfi1fseqlem1  25765  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem4  25768  mbfi1fseqlem5  25769  mbfi1fseqlem6  25770  aalioulem1  26384  aaliou2b  26393  aaliou3lem9  26402  log2cnv  26997  log2tlbnd  26998  log2ublem1  26999  log2ublem2  27000  log2ub  27002  zetacvg  27067  vmappw  27168  sgmnncl  27199  dvdsppwf1o  27238  0sgmppw  27250  1sgm2ppw  27252  vmasum  27268  mersenne  27279  perfect1  27280  perfectlem1  27281  perfectlem2  27282  perfect  27283  pcbcctr  27328  bclbnd  27332  bposlem2  27337  bposlem6  27341  bposlem8  27343  chebbnd1lem1  27521  rplogsumlem2  27537  ostth2lem3  27687  ostth3  27690  oddpwdc  34612  tgoldbachgt  34918  faclim2  36059  opnmbllem0  38116  heiborlem3  38273  heiborlem5  38275  heiborlem6  38276  heiborlem7  38277  heiborlem8  38278  heibor  38281  dvdsexpnn0  42904  hoicvrrex  47091  ovnsubaddlem2  47106  ovolval5lem1  47187  fmtnoprmfac2lem1  48136  fmtno4prm  48145  perfectALTVlem1  48304  perfectALTVlem2  48305  perfectALTV  48306  bgoldbachlt  48396  tgblthelfgott  48398  tgoldbachlt  48399  blenpw2  49161  nnpw2pb  49170  nnolog2flm1  49173