Theorem nnexpcl 14072

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12248	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12267	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12254	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14070	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  digit1  14232  nnexpcld  14240  faclbnd4lem3  14287  faclbnd5  14290  climcndslem1  15828  climcndslem2  15829  climcnds  15830  harmonic  15838  geo2sum  15852  geo2lim  15854  ege2le3  16067  eftlub  16086  ef01bndlem  16161  phiprmpw  16745  pcdvdsb  16838  pcmptcl  16860  pcfac  16868  pockthi  16876  prmreclem3  16887  prmreclem5  16889  prmreclem6  16890  modxai  17037  1259lem5  17104  2503lem3  17108  4001lem4  17113  ovollb2lem  25430  ovoliunlem1  25444  ovoliunlem3  25446  dyadf  25533  dyadovol  25535  dyadss  25536  dyaddisjlem  25537  dyadmaxlem  25539  opnmbllem  25543  mbfi1fseqlem1  25658  mbfi1fseqlem3  25660  mbfi1fseqlem4  25661  mbfi1fseqlem5  25662  mbfi1fseqlem6  25663  aalioulem1  26280  aaliou2b  26289  aaliou3lem9  26298  log2cnv  26889  log2tlbnd  26890  log2ublem1  26891  log2ublem2  26892  log2ub  26894  zetacvg  26960  vmappw  27061  sgmnncl  27092  dvdsppwf1o  27131  0sgmppw  27144  1sgm2ppw  27146  vmasum  27162  mersenne  27173  perfect1  27174  perfectlem1  27175  perfectlem2  27176  perfect  27177  pcbcctr  27222  bclbnd  27226  bposlem2  27231  bposlem6  27235  bposlem8  27237  chebbnd1lem1  27415  rplogsumlem2  27431  ostth2lem3  27581  ostth3  27584  oddpwdc  33974  tgoldbachgt  34295  faclim2  35342  opnmbllem0  37129  heiborlem3  37286  heiborlem5  37288  heiborlem6  37289  heiborlem7  37290  heiborlem8  37291  heibor  37294  expgcd  41894  dvdsexpnn0  41901  hoicvrrex  45944  ovnsubaddlem2  45959  ovolval5lem1  46040  fmtnoprmfac2lem1  46906  fmtno4prm  46915  perfectALTVlem1  47061  perfectALTVlem2  47062  perfectALTV  47063  bgoldbachlt  47153  tgblthelfgott  47155  tgoldbachlt  47156  blenpw2  47651  nnpw2pb  47660  nnolog2flm1  47663