Theorem nnexpcl 14257

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12380	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12399	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12386	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14255	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  digit1  14422  nnexpcld  14430  faclbnd4lem3  14480  faclbnd5  14483  climcndslem1  16062  climcndslem2  16063  climcnds  16064  harmonic  16072  geo2sum  16086  geo2lim  16088  ege2le3  16300  eftlub  16321  ef01bndlem  16396  expgcd  16781  phiprmpw  16997  pcdvdsb  17091  pcmptcl  17113  pcfac  17121  pockthi  17129  prmreclem3  17140  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  modxai  17290  1259lem5  17357  2503lem3  17361  4001lem4  17366  ovollb2lem  25864  ovoliunlem1  25878  ovoliunlem3  25880  dyadf  25967  dyadovol  25969  dyadss  25970  dyaddisjlem  25971  dyadmaxlem  25973  opnmbllem  25977  mbfi1fseqlem1  26091  mbfi1fseqlem3  26093  mbfi1fseqlem4  26094  mbfi1fseqlem5  26095  mbfi1fseqlem6  26096  aalioulem1  26716  aaliou2b  26725  aaliou3lem9  26734  log2cnv  27329  log2tlbnd  27330  log2ublem1  27331  log2ublem2  27332  log2ub  27334  zetacvg  27399  vmappw  27500  sgmnncl  27531  dvdsppwf1o  27570  0sgmppw  27582  1sgm2ppw  27584  vmasum  27600  mersenne  27611  perfect1  27612  perfectlem1  27613  perfectlem2  27614  perfect  27615  pcbcctr  27660  bclbnd  27664  bposlem2  27669  bposlem6  27673  bposlem8  27675  chebbnd1lem1  27853  rplogsumlem2  27869  ostth2lem3  28019  ostth3  28022  oddpwdc  35097  tgoldbachgt  35403  faclim2  36728  opnmbllem0  38842  heiborlem3  39013  heiborlem5  39015  heiborlem6  39016  heiborlem7  39017  heiborlem8  39018  heibor  39021  dvdsexpnn0  43652  hoicvrrex  47839  ovnsubaddlem2  47854  ovolval5lem1  47935  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtno4prm  48933  perfectALTVlem1  49092  perfectALTVlem2  49093  perfectALTV  49094  bgoldbachlt  49184  tgblthelfgott  49186  tgoldbachlt  49187  blenpw2  50021  nnpw2pb  50030  nnolog2flm1  50033