Theorem nnexpcl 14138

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12262	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12281	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12268	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14136	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  digit1  14301  nnexpcld  14309  faclbnd4lem3  14359  faclbnd5  14362  climcndslem1  15938  climcndslem2  15939  climcnds  15940  harmonic  15948  geo2sum  15962  geo2lim  15964  ege2le3  16176  eftlub  16197  ef01bndlem  16272  expgcd  16653  phiprmpw  16867  pcdvdsb  16961  pcmptcl  16983  pcfac  16991  pockthi  16999  prmreclem3  17010  prmreclem5  17012  prmreclem6  17013  modxai  17160  1259lem5  17227  2503lem3  17231  4001lem4  17236  ovollb2lem  25716  ovoliunlem1  25730  ovoliunlem3  25732  dyadf  25819  dyadovol  25821  dyadss  25822  dyaddisjlem  25823  dyadmaxlem  25825  opnmbllem  25829  mbfi1fseqlem1  25943  mbfi1fseqlem3  25945  mbfi1fseqlem4  25946  mbfi1fseqlem5  25947  mbfi1fseqlem6  25948  aalioulem1  26568  aaliou2b  26577  aaliou3lem9  26586  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem1  27183  log2ublem2  27184  log2ub  27186  zetacvg  27251  vmappw  27352  sgmnncl  27383  dvdsppwf1o  27422  0sgmppw  27434  1sgm2ppw  27436  vmasum  27452  mersenne  27463  perfect1  27464  perfectlem1  27465  perfectlem2  27466  perfect  27467  pcbcctr  27512  bclbnd  27516  bposlem2  27521  bposlem6  27525  bposlem8  27527  chebbnd1lem1  27705  rplogsumlem2  27721  ostth2lem3  27871  ostth3  27874  oddpwdc  34865  tgoldbachgt  35171  faclim2  36327  opnmbllem0  38405  heiborlem3  38563  heiborlem5  38565  heiborlem6  38566  heiborlem7  38567  heiborlem8  38568  heibor  38571  dvdsexpnn0  43209  hoicvrrex  47384  ovnsubaddlem2  47399  ovolval5lem1  47480  fmtnoprmfac2lem1  48469  fmtno4prm  48478  perfectALTVlem1  48637  perfectALTVlem2  48638  perfectALTV  48639  bgoldbachlt  48729  tgblthelfgott  48731  tgoldbachlt  48732  blenpw2  49508  nnpw2pb  49517  nnolog2flm1  49520