Theorem nnexpcl 14000

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12152	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12171	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12158	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13998	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ↑cexp 13987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-seq 13928  df-exp 13988

This theorem is referenced by:  digit1  14163  nnexpcld  14171  faclbnd4lem3  14221  faclbnd5  14224  climcndslem1  15775  climcndslem2  15776  climcnds  15777  harmonic  15785  geo2sum  15799  geo2lim  15801  ege2le3  16016  eftlub  16037  ef01bndlem  16112  expgcd  16493  phiprmpw  16706  pcdvdsb  16800  pcmptcl  16822  pcfac  16830  pockthi  16838  prmreclem3  16849  prmreclem5  16851  prmreclem6  16852  modxai  16999  1259lem5  17065  2503lem3  17069  4001lem4  17074  ovollb2lem  25406  ovoliunlem1  25420  ovoliunlem3  25422  dyadf  25509  dyadovol  25511  dyadss  25512  dyaddisjlem  25513  dyadmaxlem  25515  opnmbllem  25519  mbfi1fseqlem1  25633  mbfi1fseqlem3  25635  mbfi1fseqlem4  25636  mbfi1fseqlem5  25637  mbfi1fseqlem6  25638  aalioulem1  26257  aaliou2b  26266  aaliou3lem9  26275  log2cnv  26871  log2tlbnd  26872  log2ublem1  26873  log2ublem2  26874  log2ub  26876  zetacvg  26942  vmappw  27043  sgmnncl  27074  dvdsppwf1o  27113  0sgmppw  27126  1sgm2ppw  27128  vmasum  27144  mersenne  27155  perfect1  27156  perfectlem1  27157  perfectlem2  27158  perfect  27159  pcbcctr  27204  bclbnd  27208  bposlem2  27213  bposlem6  27217  bposlem8  27219  chebbnd1lem1  27397  rplogsumlem2  27413  ostth2lem3  27563  ostth3  27566  oddpwdc  34341  tgoldbachgt  34650  faclim2  35740  opnmbllem0  37655  heiborlem3  37812  heiborlem5  37814  heiborlem6  37815  heiborlem7  37816  heiborlem8  37817  heibor  37820  dvdsexpnn0  42327  hoicvrrex  46557  ovnsubaddlem2  46572  ovolval5lem1  46653  fmtnoprmfac2lem1  47570  fmtno4prm  47579  perfectALTVlem1  47725  perfectALTVlem2  47726  perfectALTV  47727  bgoldbachlt  47817  tgblthelfgott  47819  tgoldbachlt  47820  blenpw2  48583  nnpw2pb  48592  nnolog2flm1  48595