Theorem nnexpcl 14046

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12198	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12217	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12204	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  digit1  14209  nnexpcld  14217  faclbnd4lem3  14267  faclbnd5  14270  climcndslem1  15822  climcndslem2  15823  climcnds  15824  harmonic  15832  geo2sum  15846  geo2lim  15848  ege2le3  16063  eftlub  16084  ef01bndlem  16159  expgcd  16540  phiprmpw  16753  pcdvdsb  16847  pcmptcl  16869  pcfac  16877  pockthi  16885  prmreclem3  16896  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  modxai  17046  1259lem5  17112  2503lem3  17116  4001lem4  17121  ovollb2lem  25396  ovoliunlem1  25410  ovoliunlem3  25412  dyadf  25499  dyadovol  25501  dyadss  25502  dyaddisjlem  25503  dyadmaxlem  25505  opnmbllem  25509  mbfi1fseqlem1  25623  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  mbfi1fseqlem5  25627  mbfi1fseqlem6  25628  aalioulem1  26247  aaliou2b  26256  aaliou3lem9  26265  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  log2ublem1  26863  log2ublem2  26864  log2ub  26866  zetacvg  26932  vmappw  27033  sgmnncl  27064  dvdsppwf1o  27103  0sgmppw  27116  1sgm2ppw  27118  vmasum  27134  mersenne  27145  perfect1  27146  perfectlem1  27147  perfectlem2  27148  perfect  27149  pcbcctr  27194  bclbnd  27198  bposlem2  27203  bposlem6  27207  bposlem8  27209  chebbnd1lem1  27387  rplogsumlem2  27403  ostth2lem3  27553  ostth3  27556  oddpwdc  34352  tgoldbachgt  34661  faclim2  35742  opnmbllem0  37657  heiborlem3  37814  heiborlem5  37816  heiborlem6  37817  heiborlem7  37818  heiborlem8  37819  heibor  37822  dvdsexpnn0  42329  hoicvrrex  46561  ovnsubaddlem2  46576  ovolval5lem1  46657  fmtnoprmfac2lem1  47571  fmtno4prm  47580  perfectALTVlem1  47726  perfectALTVlem2  47727  perfectALTV  47728  bgoldbachlt  47818  tgblthelfgott  47820  tgoldbachlt  47821  blenpw2  48571  nnpw2pb  48580  nnolog2flm1  48583