Theorem nnexpcl 14039

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12191	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12210	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12197	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  digit1  14202  nnexpcld  14210  faclbnd4lem3  14260  faclbnd5  14263  climcndslem1  15815  climcndslem2  15816  climcnds  15817  harmonic  15825  geo2sum  15839  geo2lim  15841  ege2le3  16056  eftlub  16077  ef01bndlem  16152  expgcd  16533  phiprmpw  16746  pcdvdsb  16840  pcmptcl  16862  pcfac  16870  pockthi  16878  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  modxai  17039  1259lem5  17105  2503lem3  17109  4001lem4  17114  ovollb2lem  25389  ovoliunlem1  25403  ovoliunlem3  25405  dyadf  25492  dyadovol  25494  dyadss  25495  dyaddisjlem  25496  dyadmaxlem  25498  opnmbllem  25502  mbfi1fseqlem1  25616  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  mbfi1fseqlem5  25620  mbfi1fseqlem6  25621  aalioulem1  26240  aaliou2b  26249  aaliou3lem9  26258  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ublem1  26856  log2ublem2  26857  log2ub  26859  zetacvg  26925  vmappw  27026  sgmnncl  27057  dvdsppwf1o  27096  0sgmppw  27109  1sgm2ppw  27111  vmasum  27127  mersenne  27138  perfect1  27139  perfectlem1  27140  perfectlem2  27141  perfect  27142  pcbcctr  27187  bclbnd  27191  bposlem2  27196  bposlem6  27200  bposlem8  27202  chebbnd1lem1  27380  rplogsumlem2  27396  ostth2lem3  27546  ostth3  27549  oddpwdc  34345  tgoldbachgt  34654  faclim2  35735  opnmbllem0  37650  heiborlem3  37807  heiborlem5  37809  heiborlem6  37810  heiborlem7  37811  heiborlem8  37812  heibor  37815  dvdsexpnn0  42322  hoicvrrex  46554  ovnsubaddlem2  46569  ovolval5lem1  46650  fmtnoprmfac2lem1  47567  fmtno4prm  47576  perfectALTVlem1  47722  perfectALTVlem2  47723  perfectALTV  47724  bgoldbachlt  47814  tgblthelfgott  47816  tgoldbachlt  47817  blenpw2  48567  nnpw2pb  48576  nnolog2flm1  48579