Theorem nnexpcl 13990

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12167	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12186	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12173	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13988	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12422  ↑cexp 13977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-seq 13917  df-exp 13978

This theorem is referenced by:  digit1  14150  nnexpcld  14158  faclbnd4lem3  14205  faclbnd5  14208  climcndslem1  15745  climcndslem2  15746  climcnds  15747  harmonic  15755  geo2sum  15769  geo2lim  15771  ege2le3  15983  eftlub  16002  ef01bndlem  16077  phiprmpw  16659  pcdvdsb  16752  pcmptcl  16774  pcfac  16782  pockthi  16790  prmreclem3  16801  prmreclem5  16803  prmreclem6  16804  modxai  16951  1259lem5  17018  2503lem3  17022  4001lem4  17027  ovollb2lem  24889  ovoliunlem1  24903  ovoliunlem3  24905  dyadf  24992  dyadovol  24994  dyadss  24995  dyaddisjlem  24996  dyadmaxlem  24998  opnmbllem  25002  mbfi1fseqlem1  25117  mbfi1fseqlem3  25119  mbfi1fseqlem4  25120  mbfi1fseqlem5  25121  mbfi1fseqlem6  25122  aalioulem1  25729  aaliou2b  25738  aaliou3lem9  25747  log2cnv  26331  log2tlbnd  26332  log2ublem1  26333  log2ublem2  26334  log2ub  26336  zetacvg  26401  vmappw  26502  sgmnncl  26533  dvdsppwf1o  26572  0sgmppw  26583  1sgm2ppw  26585  vmasum  26601  mersenne  26612  perfect1  26613  perfectlem1  26614  perfectlem2  26615  perfect  26616  pcbcctr  26661  bclbnd  26665  bposlem2  26670  bposlem6  26674  bposlem8  26676  chebbnd1lem1  26854  rplogsumlem2  26870  ostth2lem3  27020  ostth3  27023  oddpwdc  33043  tgoldbachgt  33365  faclim2  34407  opnmbllem0  36187  heiborlem3  36345  heiborlem5  36347  heiborlem6  36348  heiborlem7  36349  heiborlem8  36350  heibor  36353  expgcd  40878  dvdsexpnn0  40885  hoicvrrex  44917  ovnsubaddlem2  44932  ovolval5lem1  45013  fmtnoprmfac2lem1  45878  fmtno4prm  45887  perfectALTVlem1  46033  perfectALTVlem2  46034  perfectALTV  46035  bgoldbachlt  46125  tgblthelfgott  46127  tgoldbachlt  46128  blenpw2  46784  nnpw2pb  46793  nnolog2flm1  46796