Theorem nnexpcl 13976

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12125	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12144	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12131	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13974	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ↑cexp 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964

This theorem is referenced by:  digit1  14139  nnexpcld  14147  faclbnd4lem3  14197  faclbnd5  14200  climcndslem1  15751  climcndslem2  15752  climcnds  15753  harmonic  15761  geo2sum  15775  geo2lim  15777  ege2le3  15992  eftlub  16013  ef01bndlem  16088  expgcd  16469  phiprmpw  16682  pcdvdsb  16776  pcmptcl  16798  pcfac  16806  pockthi  16814  prmreclem3  16825  prmreclem5  16827  prmreclem6  16828  modxai  16975  1259lem5  17041  2503lem3  17045  4001lem4  17050  ovollb2lem  25411  ovoliunlem1  25425  ovoliunlem3  25427  dyadf  25514  dyadovol  25516  dyadss  25517  dyaddisjlem  25518  dyadmaxlem  25520  opnmbllem  25524  mbfi1fseqlem1  25638  mbfi1fseqlem3  25640  mbfi1fseqlem4  25641  mbfi1fseqlem5  25642  mbfi1fseqlem6  25643  aalioulem1  26262  aaliou2b  26271  aaliou3lem9  26280  log2cnv  26876  log2tlbnd  26877  log2ublem1  26878  log2ublem2  26879  log2ub  26881  zetacvg  26947  vmappw  27048  sgmnncl  27079  dvdsppwf1o  27118  0sgmppw  27131  1sgm2ppw  27133  vmasum  27149  mersenne  27160  perfect1  27161  perfectlem1  27162  perfectlem2  27163  perfect  27164  pcbcctr  27209  bclbnd  27213  bposlem2  27218  bposlem6  27222  bposlem8  27224  chebbnd1lem1  27402  rplogsumlem2  27418  ostth2lem3  27568  ostth3  27571  oddpwdc  34359  tgoldbachgt  34668  faclim2  35784  opnmbllem0  37696  heiborlem3  37853  heiborlem5  37855  heiborlem6  37856  heiborlem7  37857  heiborlem8  37858  heibor  37861  dvdsexpnn0  42367  hoicvrrex  46594  ovnsubaddlem2  46609  ovolval5lem1  46690  fmtnoprmfac2lem1  47597  fmtno4prm  47606  perfectALTVlem1  47752  perfectALTVlem2  47753  perfectALTV  47754  bgoldbachlt  47844  tgblthelfgott  47846  tgoldbachlt  47847  blenpw2  48610  nnpw2pb  48619  nnolog2flm1  48622