Theorem nnexpcl 14040

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12217	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12236	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12223	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14038	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  digit1  14200  nnexpcld  14208  faclbnd4lem3  14255  faclbnd5  14258  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  climcnds  15797  harmonic  15805  geo2sum  15819  geo2lim  15821  ege2le3  16033  eftlub  16052  ef01bndlem  16127  phiprmpw  16709  pcdvdsb  16802  pcmptcl  16824  pcfac  16832  pockthi  16840  prmreclem3  16851  prmreclem5  16853  prmreclem6  16854  modxai  17001  1259lem5  17068  2503lem3  17072  4001lem4  17077  ovollb2lem  25005  ovoliunlem1  25019  ovoliunlem3  25021  dyadf  25108  dyadovol  25110  dyadss  25111  dyaddisjlem  25112  dyadmaxlem  25114  opnmbllem  25118  mbfi1fseqlem1  25233  mbfi1fseqlem3  25235  mbfi1fseqlem4  25236  mbfi1fseqlem5  25237  mbfi1fseqlem6  25238  aalioulem1  25845  aaliou2b  25854  aaliou3lem9  25863  log2cnv  26449  log2tlbnd  26450  log2ublem1  26451  log2ublem2  26452  log2ub  26454  zetacvg  26519  vmappw  26620  sgmnncl  26651  dvdsppwf1o  26690  0sgmppw  26701  1sgm2ppw  26703  vmasum  26719  mersenne  26730  perfect1  26731  perfectlem1  26732  perfectlem2  26733  perfect  26734  pcbcctr  26779  bclbnd  26783  bposlem2  26788  bposlem6  26792  bposlem8  26794  chebbnd1lem1  26972  rplogsumlem2  26988  ostth2lem3  27138  ostth3  27141  oddpwdc  33353  tgoldbachgt  33675  faclim2  34718  opnmbllem0  36524  heiborlem3  36681  heiborlem5  36683  heiborlem6  36684  heiborlem7  36685  heiborlem8  36686  heibor  36689  expgcd  41225  dvdsexpnn0  41232  hoicvrrex  45272  ovnsubaddlem2  45287  ovolval5lem1  45368  fmtnoprmfac2lem1  46234  fmtno4prm  46243  perfectALTVlem1  46389  perfectALTVlem2  46390  perfectALTV  46391  bgoldbachlt  46481  tgblthelfgott  46483  tgoldbachlt  46484  blenpw2  47264  nnpw2pb  47273  nnolog2flm1  47276