Theorem nnexpcl 13804

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11987	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12006	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11993	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ↑cexp 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792

This theorem is referenced by:  digit1  13961  nnexpcld  13969  faclbnd4lem3  14018  faclbnd5  14021  climcndslem1  15570  climcndslem2  15571  climcnds  15572  harmonic  15580  geo2sum  15594  geo2lim  15596  ege2le3  15808  eftlub  15827  ef01bndlem  15902  phiprmpw  16486  pcdvdsb  16579  pcmptcl  16601  pcfac  16609  pockthi  16617  prmreclem3  16628  prmreclem5  16630  prmreclem6  16631  modxai  16778  1259lem5  16845  2503lem3  16849  4001lem4  16854  ovollb2lem  24661  ovoliunlem1  24675  ovoliunlem3  24677  dyadf  24764  dyadovol  24766  dyadss  24767  dyaddisjlem  24768  dyadmaxlem  24770  opnmbllem  24774  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem3  24891  mbfi1fseqlem4  24892  mbfi1fseqlem5  24893  mbfi1fseqlem6  24894  aalioulem1  25501  aaliou2b  25510  aaliou3lem9  25519  log2cnv  26103  log2tlbnd  26104  log2ublem1  26105  log2ublem2  26106  log2ub  26108  zetacvg  26173  vmappw  26274  sgmnncl  26305  dvdsppwf1o  26344  0sgmppw  26355  1sgm2ppw  26357  vmasum  26373  mersenne  26384  perfect1  26385  perfectlem1  26386  perfectlem2  26387  perfect  26388  pcbcctr  26433  bclbnd  26437  bposlem2  26442  bposlem6  26446  bposlem8  26448  chebbnd1lem1  26626  rplogsumlem2  26642  ostth2lem3  26792  ostth3  26795  oddpwdc  32330  tgoldbachgt  32652  faclim2  33723  opnmbllem0  35822  heiborlem3  35980  heiborlem5  35982  heiborlem6  35983  heiborlem7  35984  heiborlem8  35985  heibor  35988  expgcd  40341  dvdsexpnn0  40348  hoicvrrex  44101  ovnsubaddlem2  44116  ovolval5lem1  44197  fmtnoprmfac2lem1  45029  fmtno4prm  45038  perfectALTVlem1  45184  perfectALTVlem2  45185  perfectALTV  45186  bgoldbachlt  45276  tgblthelfgott  45278  tgoldbachlt  45279  blenpw2  45935  nnpw2pb  45944  nnolog2flm1  45947