Theorem nnexpcl 14027

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12170	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12189	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12176	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  digit1  14190  nnexpcld  14198  faclbnd4lem3  14248  faclbnd5  14251  climcndslem1  15805  climcndslem2  15806  climcnds  15807  harmonic  15815  geo2sum  15829  geo2lim  15831  ege2le3  16046  eftlub  16067  ef01bndlem  16142  expgcd  16523  phiprmpw  16737  pcdvdsb  16831  pcmptcl  16853  pcfac  16861  pockthi  16869  prmreclem3  16880  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  modxai  17030  1259lem5  17096  2503lem3  17100  4001lem4  17105  ovollb2lem  25473  ovoliunlem1  25487  ovoliunlem3  25489  dyadf  25576  dyadovol  25578  dyadss  25579  dyaddisjlem  25580  dyadmaxlem  25582  opnmbllem  25586  mbfi1fseqlem1  25700  mbfi1fseqlem3  25702  mbfi1fseqlem4  25703  mbfi1fseqlem5  25704  mbfi1fseqlem6  25705  aalioulem1  26316  aaliou2b  26325  aaliou3lem9  26334  log2cnv  26926  log2tlbnd  26927  log2ublem1  26928  log2ublem2  26929  log2ub  26931  zetacvg  26996  vmappw  27097  sgmnncl  27128  dvdsppwf1o  27167  0sgmppw  27179  1sgm2ppw  27181  vmasum  27197  mersenne  27208  perfect1  27209  perfectlem1  27210  perfectlem2  27211  perfect  27212  pcbcctr  27257  bclbnd  27261  bposlem2  27266  bposlem6  27270  bposlem8  27272  chebbnd1lem1  27450  rplogsumlem2  27466  ostth2lem3  27616  ostth3  27619  oddpwdc  34538  tgoldbachgt  34847  faclim2  35976  opnmbllem0  38023  heiborlem3  38180  heiborlem5  38182  heiborlem6  38183  heiborlem7  38184  heiborlem8  38185  heibor  38188  dvdsexpnn0  42811  hoicvrrex  46999  ovnsubaddlem2  47014  ovolval5lem1  47095  fmtnoprmfac2lem1  48044  fmtno4prm  48053  perfectALTVlem1  48212  perfectALTVlem2  48213  perfectALTV  48214  bgoldbachlt  48304  tgblthelfgott  48306  tgoldbachlt  48307  blenpw2  49069  nnpw2pb  49078  nnolog2flm1  49081