Theorem nnexpcl 14222

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12345	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12364	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12351	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7422  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ↑cexp 14209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-seq 14150  df-exp 14210

This theorem is used by:  digit1  14386  nnexpcld  14394  faclbnd4lem3  14444  faclbnd5  14447  climcndslem1  16025  climcndslem2  16026  climcnds  16027  harmonic  16035  geo2sum  16049  geo2lim  16051  ege2le3  16263  eftlub  16284  ef01bndlem  16359  expgcd  16744  phiprmpw  16960  pcdvdsb  17054  pcmptcl  17076  pcfac  17084  pockthi  17092  prmreclem3  17103  prmreclem5  17105  prmreclem6  17106  modxai  17253  1259lem5  17320  2503lem3  17324  4001lem4  17329  ovollb2lem  25816  ovoliunlem1  25830  ovoliunlem3  25832  dyadf  25919  dyadovol  25921  dyadss  25922  dyaddisjlem  25923  dyadmaxlem  25925  opnmbllem  25929  mbfi1fseqlem1  26043  mbfi1fseqlem3  26045  mbfi1fseqlem4  26046  mbfi1fseqlem5  26047  mbfi1fseqlem6  26048  aalioulem1  26666  aaliou2b  26675  aaliou3lem9  26684  log2cnv  27279  log2tlbnd  27280  log2ublem1  27281  log2ublem2  27282  log2ub  27284  zetacvg  27349  vmappw  27450  sgmnncl  27481  dvdsppwf1o  27520  0sgmppw  27532  1sgm2ppw  27534  vmasum  27550  mersenne  27561  perfect1  27562  perfectlem1  27563  perfectlem2  27564  perfect  27565  pcbcctr  27610  bclbnd  27614  bposlem2  27619  bposlem6  27623  bposlem8  27625  chebbnd1lem1  27803  rplogsumlem2  27819  ostth2lem3  27969  ostth3  27972  oddpwdc  35034  tgoldbachgt  35340  faclim2  36607  opnmbllem0  38681  heiborlem3  38854  heiborlem5  38856  heiborlem6  38857  heiborlem7  38858  heiborlem8  38859  heibor  38862  dvdsexpnn0  43493  hoicvrrex  47673  ovnsubaddlem2  47688  ovolval5lem1  47769  fmtnoprmfac2lem1  48758  fmtno4prm  48767  perfectALTVlem1  48926  perfectALTVlem2  48927  perfectALTV  48928  bgoldbachlt  49018  tgblthelfgott  49020  tgoldbachlt  49021  blenpw2  49797  nnpw2pb  49806  nnolog2flm1  49809