Theorem nnexpcl 14115

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12271	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12290	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12277	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  digit1  14276  nnexpcld  14284  faclbnd4lem3  14334  faclbnd5  14337  climcndslem1  15885  climcndslem2  15886  climcnds  15887  harmonic  15895  geo2sum  15909  geo2lim  15911  ege2le3  16126  eftlub  16145  ef01bndlem  16220  expgcd  16600  phiprmpw  16813  pcdvdsb  16907  pcmptcl  16929  pcfac  16937  pockthi  16945  prmreclem3  16956  prmreclem5  16958  prmreclem6  16959  modxai  17106  1259lem5  17172  2503lem3  17176  4001lem4  17181  ovollb2lem  25523  ovoliunlem1  25537  ovoliunlem3  25539  dyadf  25626  dyadovol  25628  dyadss  25629  dyaddisjlem  25630  dyadmaxlem  25632  opnmbllem  25636  mbfi1fseqlem1  25750  mbfi1fseqlem3  25752  mbfi1fseqlem4  25753  mbfi1fseqlem5  25754  mbfi1fseqlem6  25755  aalioulem1  26374  aaliou2b  26383  aaliou3lem9  26392  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ublem1  26989  log2ublem2  26990  log2ub  26992  zetacvg  27058  vmappw  27159  sgmnncl  27190  dvdsppwf1o  27229  0sgmppw  27242  1sgm2ppw  27244  vmasum  27260  mersenne  27271  perfect1  27272  perfectlem1  27273  perfectlem2  27274  perfect  27275  pcbcctr  27320  bclbnd  27324  bposlem2  27329  bposlem6  27333  bposlem8  27335  chebbnd1lem1  27513  rplogsumlem2  27529  ostth2lem3  27679  ostth3  27682  oddpwdc  34356  tgoldbachgt  34678  faclim2  35748  opnmbllem0  37663  heiborlem3  37820  heiborlem5  37822  heiborlem6  37823  heiborlem7  37824  heiborlem8  37825  heibor  37828  dvdsexpnn0  42369  hoicvrrex  46571  ovnsubaddlem2  46586  ovolval5lem1  46667  fmtnoprmfac2lem1  47553  fmtno4prm  47562  perfectALTVlem1  47708  perfectALTVlem2  47709  perfectALTV  47710  bgoldbachlt  47800  tgblthelfgott  47802  tgoldbachlt  47803  blenpw2  48499  nnpw2pb  48508  nnolog2flm1  48511