Theorem nnexpcl 13436

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11637	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 11655	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11643	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13434	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424

This theorem is referenced by:  digit1  13592  nnexpcld  13600  faclbnd4lem3  13649  faclbnd5  13652  climcndslem1  15198  climcndslem2  15199  climcnds  15200  harmonic  15208  geo2sum  15223  geo2lim  15225  ege2le3  15437  eftlub  15456  ef01bndlem  15531  phiprmpw  16107  pcdvdsb  16199  pcmptcl  16221  pcfac  16229  pockthi  16237  prmreclem3  16248  prmreclem5  16250  prmreclem6  16251  modxai  16398  1259lem5  16462  2503lem3  16466  4001lem4  16471  ovollb2lem  24083  ovoliunlem1  24097  ovoliunlem3  24099  dyadf  24186  dyadovol  24188  dyadss  24189  dyaddisjlem  24190  dyadmaxlem  24192  opnmbllem  24196  mbfi1fseqlem1  24310  mbfi1fseqlem3  24312  mbfi1fseqlem4  24313  mbfi1fseqlem5  24314  mbfi1fseqlem6  24315  aalioulem1  24915  aaliou2b  24924  aaliou3lem9  24933  log2cnv  25516  log2tlbnd  25517  log2ublem1  25518  log2ublem2  25519  log2ub  25521  zetacvg  25586  vmappw  25687  sgmnncl  25718  dvdsppwf1o  25757  0sgmppw  25768  1sgm2ppw  25770  vmasum  25786  mersenne  25797  perfect1  25798  perfectlem1  25799  perfectlem2  25800  perfect  25801  pcbcctr  25846  bclbnd  25850  bposlem2  25855  bposlem6  25859  bposlem8  25861  chebbnd1lem1  26039  rplogsumlem2  26055  ostth2lem3  26205  ostth3  26208  oddpwdc  31607  tgoldbachgt  31929  faclim2  32975  opnmbllem0  34922  heiborlem3  35085  heiborlem5  35087  heiborlem6  35088  heiborlem7  35089  heiborlem8  35090  heibor  35093  expgcd  39176  hoicvrrex  42831  ovnsubaddlem2  42846  ovolval5lem1  42927  fmtnoprmfac2lem1  43721  fmtno4prm  43730  perfectALTVlem1  43879  perfectALTVlem2  43880  perfectALTV  43881  bgoldbachlt  43971  tgblthelfgott  43973  tgoldbachlt  43974  blenpw2  44631  nnpw2pb  44640  nnolog2flm1  44643