Theorem nnexpcl 13723

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11908	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 11927	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11914	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13721	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  digit1  13880  nnexpcld  13888  faclbnd4lem3  13937  faclbnd5  13940  climcndslem1  15489  climcndslem2  15490  climcnds  15491  harmonic  15499  geo2sum  15513  geo2lim  15515  ege2le3  15727  eftlub  15746  ef01bndlem  15821  phiprmpw  16405  pcdvdsb  16498  pcmptcl  16520  pcfac  16528  pockthi  16536  prmreclem3  16547  prmreclem5  16549  prmreclem6  16550  modxai  16697  1259lem5  16764  2503lem3  16768  4001lem4  16773  ovollb2lem  24557  ovoliunlem1  24571  ovoliunlem3  24573  dyadf  24660  dyadovol  24662  dyadss  24663  dyaddisjlem  24664  dyadmaxlem  24666  opnmbllem  24670  mbfi1fseqlem1  24785  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  mbfi1fseqlem5  24789  mbfi1fseqlem6  24790  aalioulem1  25397  aaliou2b  25406  aaliou3lem9  25415  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  log2ublem1  26001  log2ublem2  26002  log2ub  26004  zetacvg  26069  vmappw  26170  sgmnncl  26201  dvdsppwf1o  26240  0sgmppw  26251  1sgm2ppw  26253  vmasum  26269  mersenne  26280  perfect1  26281  perfectlem1  26282  perfectlem2  26283  perfect  26284  pcbcctr  26329  bclbnd  26333  bposlem2  26338  bposlem6  26342  bposlem8  26344  chebbnd1lem1  26522  rplogsumlem2  26538  ostth2lem3  26688  ostth3  26691  oddpwdc  32221  tgoldbachgt  32543  faclim2  33620  opnmbllem0  35740  heiborlem3  35898  heiborlem5  35900  heiborlem6  35901  heiborlem7  35902  heiborlem8  35903  heibor  35906  expgcd  40255  dvdsexpnn0  40262  hoicvrrex  43984  ovnsubaddlem2  43999  ovolval5lem1  44080  fmtnoprmfac2lem1  44906  fmtno4prm  44915  perfectALTVlem1  45061  perfectALTVlem2  45062  perfectALTV  45063  bgoldbachlt  45153  tgblthelfgott  45155  tgoldbachlt  45156  blenpw2  45812  nnpw2pb  45821  nnolog2flm1  45824