Theorem nnexpcl 14124

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12249	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12268	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12255	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  digit1  14287  nnexpcld  14295  faclbnd4lem3  14345  faclbnd5  14348  climcndslem1  15922  climcndslem2  15923  climcnds  15924  harmonic  15932  geo2sum  15946  geo2lim  15948  ege2le3  16162  eftlub  16183  ef01bndlem  16258  expgcd  16639  phiprmpw  16853  pcdvdsb  16947  pcmptcl  16969  pcfac  16977  pockthi  16985  prmreclem3  16996  prmreclem5  16998  prmreclem6  16999  modxai  17146  1259lem5  17213  2503lem3  17217  4001lem4  17222  ovollb2lem  25678  ovoliunlem1  25692  ovoliunlem3  25694  dyadf  25781  dyadovol  25783  dyadss  25784  dyaddisjlem  25785  dyadmaxlem  25787  opnmbllem  25791  mbfi1fseqlem1  25905  mbfi1fseqlem3  25907  mbfi1fseqlem4  25908  mbfi1fseqlem5  25909  mbfi1fseqlem6  25910  aalioulem1  26526  aaliou2b  26535  aaliou3lem9  26544  log2cnv  27140  log2tlbnd  27141  log2ublem1  27142  log2ublem2  27143  log2ub  27145  zetacvg  27210  vmappw  27311  sgmnncl  27342  dvdsppwf1o  27381  0sgmppw  27393  1sgm2ppw  27395  vmasum  27411  mersenne  27422  perfect1  27423  perfectlem1  27424  perfectlem2  27425  perfect  27426  pcbcctr  27471  bclbnd  27475  bposlem2  27480  bposlem6  27484  bposlem8  27486  chebbnd1lem1  27664  rplogsumlem2  27680  ostth2lem3  27830  ostth3  27833  oddpwdc  34785  tgoldbachgt  35091  faclim2  36253  opnmbllem0  38340  heiborlem3  38497  heiborlem5  38499  heiborlem6  38500  heiborlem7  38501  heiborlem8  38502  heibor  38505  dvdsexpnn0  43128  hoicvrrex  47303  ovnsubaddlem2  47318  ovolval5lem1  47399  fmtnoprmfac2lem1  48351  fmtno4prm  48360  perfectALTVlem1  48519  perfectALTVlem2  48520  perfectALTV  48521  bgoldbachlt  48611  tgblthelfgott  48613  tgoldbachlt  48614  blenpw2  49391  nnpw2pb  49400  nnolog2flm1  49403