Theorem nnexpcl 14111

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12268	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12287	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12274	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  digit1  14272  nnexpcld  14280  faclbnd4lem3  14330  faclbnd5  14333  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  climcnds  15883  harmonic  15891  geo2sum  15905  geo2lim  15907  ege2le3  16122  eftlub  16141  ef01bndlem  16216  expgcd  16596  phiprmpw  16809  pcdvdsb  16902  pcmptcl  16924  pcfac  16932  pockthi  16940  prmreclem3  16951  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  modxai  17101  1259lem5  17168  2503lem3  17172  4001lem4  17177  ovollb2lem  25536  ovoliunlem1  25550  ovoliunlem3  25552  dyadf  25639  dyadovol  25641  dyadss  25642  dyaddisjlem  25643  dyadmaxlem  25645  opnmbllem  25649  mbfi1fseqlem1  25764  mbfi1fseqlem3  25766  mbfi1fseqlem4  25767  mbfi1fseqlem5  25768  mbfi1fseqlem6  25769  aalioulem1  26388  aaliou2b  26397  aaliou3lem9  26406  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  log2ublem1  27003  log2ublem2  27004  log2ub  27006  zetacvg  27072  vmappw  27173  sgmnncl  27204  dvdsppwf1o  27243  0sgmppw  27256  1sgm2ppw  27258  vmasum  27274  mersenne  27285  perfect1  27286  perfectlem1  27287  perfectlem2  27288  perfect  27289  pcbcctr  27334  bclbnd  27338  bposlem2  27343  bposlem6  27347  bposlem8  27349  chebbnd1lem1  27527  rplogsumlem2  27543  ostth2lem3  27693  ostth3  27696  oddpwdc  34335  tgoldbachgt  34656  faclim2  35727  opnmbllem0  37642  heiborlem3  37799  heiborlem5  37801  heiborlem6  37802  heiborlem7  37803  heiborlem8  37804  heibor  37807  dvdsexpnn0  42347  hoicvrrex  46511  ovnsubaddlem2  46526  ovolval5lem1  46607  fmtnoprmfac2lem1  47490  fmtno4prm  47499  perfectALTVlem1  47645  perfectALTVlem2  47646  perfectALTV  47647  bgoldbachlt  47737  tgblthelfgott  47739  tgoldbachlt  47740  blenpw2  48427  nnpw2pb  48436  nnolog2flm1  48439