Theorem nnexpcl 14106

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12233	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12252	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12239	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14104	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  digit1  14269  nnexpcld  14277  faclbnd4lem3  14327  faclbnd5  14330  climcndslem1  15899  climcndslem2  15900  climcnds  15901  harmonic  15909  geo2sum  15923  geo2lim  15925  ege2le3  16139  eftlub  16160  ef01bndlem  16235  expgcd  16616  phiprmpw  16830  pcdvdsb  16924  pcmptcl  16946  pcfac  16954  pockthi  16962  prmreclem3  16973  prmreclem5  16975  prmreclem6  16976  modxai  17123  1259lem5  17190  2503lem3  17194  4001lem4  17199  ovollb2lem  25647  ovoliunlem1  25661  ovoliunlem3  25663  dyadf  25750  dyadovol  25752  dyadss  25753  dyaddisjlem  25754  dyadmaxlem  25756  opnmbllem  25760  mbfi1fseqlem1  25874  mbfi1fseqlem3  25876  mbfi1fseqlem4  25877  mbfi1fseqlem5  25878  mbfi1fseqlem6  25879  aalioulem1  26495  aaliou2b  26504  aaliou3lem9  26513  log2cnv  27109  log2tlbnd  27110  log2ublem1  27111  log2ublem2  27112  log2ub  27114  zetacvg  27179  vmappw  27280  sgmnncl  27311  dvdsppwf1o  27350  0sgmppw  27362  1sgm2ppw  27364  vmasum  27380  mersenne  27391  perfect1  27392  perfectlem1  27393  perfectlem2  27394  perfect  27395  pcbcctr  27440  bclbnd  27444  bposlem2  27449  bposlem6  27453  bposlem8  27455  chebbnd1lem1  27633  rplogsumlem2  27649  ostth2lem3  27799  ostth3  27802  oddpwdc  34744  tgoldbachgt  35050  faclim2  36240  opnmbllem0  38307  heiborlem3  38464  heiborlem5  38466  heiborlem6  38467  heiborlem7  38468  heiborlem8  38469  heibor  38472  dvdsexpnn0  43095  hoicvrrex  47270  ovnsubaddlem2  47285  ovolval5lem1  47366  fmtnoprmfac2lem1  48318  fmtno4prm  48327  perfectALTVlem1  48486  perfectALTVlem2  48487  perfectALTV  48488  bgoldbachlt  48578  tgblthelfgott  48580  tgoldbachlt  48581  blenpw2  49358  nnpw2pb  49367  nnolog2flm1  49370