Theorem nnexpcl 14009

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12162	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12181	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12168	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  digit1  14172  nnexpcld  14180  faclbnd4lem3  14230  faclbnd5  14233  climcndslem1  15784  climcndslem2  15785  climcnds  15786  harmonic  15794  geo2sum  15808  geo2lim  15810  ege2le3  16025  eftlub  16046  ef01bndlem  16121  expgcd  16502  phiprmpw  16715  pcdvdsb  16809  pcmptcl  16831  pcfac  16839  pockthi  16847  prmreclem3  16858  prmreclem5  16860  prmreclem6  16861  modxai  17008  1259lem5  17074  2503lem3  17078  4001lem4  17083  ovollb2lem  25457  ovoliunlem1  25471  ovoliunlem3  25473  dyadf  25560  dyadovol  25562  dyadss  25563  dyaddisjlem  25564  dyadmaxlem  25566  opnmbllem  25570  mbfi1fseqlem1  25684  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  mbfi1fseqlem5  25688  mbfi1fseqlem6  25689  aalioulem1  26308  aaliou2b  26317  aaliou3lem9  26326  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ublem1  26924  log2ublem2  26925  log2ub  26927  zetacvg  26993  vmappw  27094  sgmnncl  27125  dvdsppwf1o  27164  0sgmppw  27177  1sgm2ppw  27179  vmasum  27195  mersenne  27206  perfect1  27207  perfectlem1  27208  perfectlem2  27209  perfect  27210  pcbcctr  27255  bclbnd  27259  bposlem2  27264  bposlem6  27268  bposlem8  27270  chebbnd1lem1  27448  rplogsumlem2  27464  ostth2lem3  27614  ostth3  27617  oddpwdc  34532  tgoldbachgt  34841  faclim2  35964  opnmbllem0  37907  heiborlem3  38064  heiborlem5  38066  heiborlem6  38067  heiborlem7  38068  heiborlem8  38069  heibor  38072  dvdsexpnn0  42704  hoicvrrex  46914  ovnsubaddlem2  46929  ovolval5lem1  47010  fmtnoprmfac2lem1  47926  fmtno4prm  47935  perfectALTVlem1  48081  perfectALTVlem2  48082  perfectALTV  48083  bgoldbachlt  48173  tgblthelfgott  48175  tgoldbachlt  48176  blenpw2  48938  nnpw2pb  48947  nnolog2flm1  48950