Theorem nnexpcl 13988

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12141	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12160	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12147	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 13986	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ↑cexp 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976

This theorem is referenced by:  digit1  14151  nnexpcld  14159  faclbnd4lem3  14209  faclbnd5  14212  climcndslem1  15763  climcndslem2  15764  climcnds  15765  harmonic  15773  geo2sum  15787  geo2lim  15789  ege2le3  16004  eftlub  16025  ef01bndlem  16100  expgcd  16481  phiprmpw  16694  pcdvdsb  16788  pcmptcl  16810  pcfac  16818  pockthi  16826  prmreclem3  16837  prmreclem5  16839  prmreclem6  16840  modxai  16987  1259lem5  17053  2503lem3  17057  4001lem4  17062  ovollb2lem  25436  ovoliunlem1  25450  ovoliunlem3  25452  dyadf  25539  dyadovol  25541  dyadss  25542  dyaddisjlem  25543  dyadmaxlem  25545  opnmbllem  25549  mbfi1fseqlem1  25663  mbfi1fseqlem3  25665  mbfi1fseqlem4  25666  mbfi1fseqlem5  25667  mbfi1fseqlem6  25668  aalioulem1  26287  aaliou2b  26296  aaliou3lem9  26305  log2cnv  26901  log2tlbnd  26902  log2ublem1  26903  log2ublem2  26904  log2ub  26906  zetacvg  26972  vmappw  27073  sgmnncl  27104  dvdsppwf1o  27143  0sgmppw  27156  1sgm2ppw  27158  vmasum  27174  mersenne  27185  perfect1  27186  perfectlem1  27187  perfectlem2  27188  perfect  27189  pcbcctr  27234  bclbnd  27238  bposlem2  27243  bposlem6  27247  bposlem8  27249  chebbnd1lem1  27427  rplogsumlem2  27443  ostth2lem3  27593  ostth3  27596  oddpwdc  34439  tgoldbachgt  34748  faclim2  35864  opnmbllem0  37769  heiborlem3  37926  heiborlem5  37928  heiborlem6  37929  heiborlem7  37930  heiborlem8  37931  heibor  37934  dvdsexpnn0  42504  hoicvrrex  46716  ovnsubaddlem2  46731  ovolval5lem1  46812  fmtnoprmfac2lem1  47728  fmtno4prm  47737  perfectALTVlem1  47883  perfectALTVlem2  47884  perfectALTV  47885  bgoldbachlt  47975  tgblthelfgott  47977  tgoldbachlt  47978  blenpw2  48740  nnpw2pb  48749  nnolog2flm1  48752