MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnexpcl 13449
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11641 . 2 ℕ ⊆ ℂ
2 nnmulcl 11660 . 2 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3 1nn 11647 . 2 1 ∈ ℕ
41, 2, 3expcllem 13447 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  (class class class)co 7151  cn 11636  0cn0 11896  cexp 13436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13376  df-exp 13437
This theorem is referenced by:  digit1  13605  nnexpcld  13613  faclbnd4lem3  13662  faclbnd5  13665  climcndslem1  15206  climcndslem2  15207  climcnds  15208  harmonic  15216  geo2sum  15231  geo2lim  15233  ege2le3  15445  eftlub  15464  ef01bndlem  15539  phiprmpw  16113  pcdvdsb  16205  pcmptcl  16227  pcfac  16235  pockthi  16243  prmreclem3  16254  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  modxai  16404  1259lem5  16470  2503lem3  16474  4001lem4  16479  ovollb2lem  24101  ovoliunlem1  24115  ovoliunlem3  24117  dyadf  24204  dyadovol  24206  dyadss  24207  dyaddisjlem  24208  dyadmaxlem  24210  opnmbllem  24214  mbfi1fseqlem1  24328  mbfi1fseqlem3  24330  mbfi1fseqlem4  24331  mbfi1fseqlem5  24332  mbfi1fseqlem6  24333  aalioulem1  24937  aaliou2b  24946  aaliou3lem9  24955  log2cnv  25539  log2tlbnd  25540  log2ublem1  25541  log2ublem2  25542  log2ub  25544  zetacvg  25609  vmappw  25710  sgmnncl  25741  dvdsppwf1o  25780  0sgmppw  25791  1sgm2ppw  25793  vmasum  25809  mersenne  25820  perfect1  25821  perfectlem1  25822  perfectlem2  25823  perfect  25824  pcbcctr  25869  bclbnd  25873  bposlem2  25878  bposlem6  25882  bposlem8  25884  chebbnd1lem1  26062  rplogsumlem2  26078  ostth2lem3  26228  ostth3  26231  oddpwdc  31697  tgoldbachgt  32019  faclim2  33065  opnmbllem0  35065  heiborlem3  35223  heiborlem5  35225  heiborlem6  35226  heiborlem7  35227  heiborlem8  35228  heibor  35231  expgcd  39449  hoicvrrex  43148  ovnsubaddlem2  43163  ovolval5lem1  43244  fmtnoprmfac2lem1  44036  fmtno4prm  44045  perfectALTVlem1  44192  perfectALTVlem2  44193  perfectALTV  44194  bgoldbachlt  44284  tgblthelfgott  44286  tgoldbachlt  44287  blenpw2  44945  nnpw2pb  44954  nnolog2flm1  44957
  Copyright terms: Public domain W3C validator