Theorem nnexpcl 14036

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12179	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 12198	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 12185	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 14034	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  digit1  14199  nnexpcld  14207  faclbnd4lem3  14257  faclbnd5  14260  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  harmonic  15824  geo2sum  15838  geo2lim  15840  ege2le3  16055  eftlub  16076  ef01bndlem  16151  expgcd  16532  phiprmpw  16746  pcdvdsb  16840  pcmptcl  16862  pcfac  16870  pockthi  16878  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  modxai  17039  1259lem5  17105  2503lem3  17109  4001lem4  17114  ovollb2lem  25455  ovoliunlem1  25469  ovoliunlem3  25471  dyadf  25558  dyadovol  25560  dyadss  25561  dyaddisjlem  25562  dyadmaxlem  25564  opnmbllem  25568  mbfi1fseqlem1  25682  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  aalioulem1  26298  aaliou2b  26307  aaliou3lem9  26316  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem1  26910  log2ublem2  26911  log2ub  26913  zetacvg  26978  vmappw  27079  sgmnncl  27110  dvdsppwf1o  27149  0sgmppw  27161  1sgm2ppw  27163  vmasum  27179  mersenne  27190  perfect1  27191  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  pcbcctr  27239  bclbnd  27243  bposlem2  27248  bposlem6  27252  bposlem8  27254  chebbnd1lem1  27432  rplogsumlem2  27448  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  oddpwdc  34498  tgoldbachgt  34807  faclim2  35930  opnmbllem0  37977  heiborlem3  38134  heiborlem5  38136  heiborlem6  38137  heiborlem7  38138  heiborlem8  38139  heibor  38142  dvdsexpnn0  42766  hoicvrrex  46984  ovnsubaddlem2  46999  ovolval5lem1  47080  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtno4prm  48038  perfectALTVlem1  48197  perfectALTVlem2  48198  perfectALTV  48199  bgoldbachlt  48289  tgblthelfgott  48291  tgoldbachlt  48292  blenpw2  49054  nnpw2pb  49063  nnolog2flm1  49066