MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmulOLD Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fsumdvdsmulOLD 27145
Description: Obsolete version of fsumdvdsmul 27143 as of 18-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.3 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
dvdsmulf1o.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
fsumdvdsmulOLD.4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumdvdsmulOLD.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumdvdsmulOLD.6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
fsumdvdsmulOLD.7 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmulOLD (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐷,𝑖   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   𝑖,𝑗,π‘˜,𝑋   𝐡,𝑗   𝐢,𝑗,π‘˜   𝑖,π‘Œ,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑍,𝑗   π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐡(π‘₯,𝑖,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑖)   𝐷(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑁(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯,π‘˜)
Proof of Theorem fsumdvdsmulOLD
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13968 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 dvdsssfz1 16292 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
62, 5eqsstrid 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (1...𝑀))
71, 6ssfid 9288 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 fzfid 13968 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
9 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
10 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
11 dvdsssfz1 16292 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
139, 12eqsstrid 4021 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (1...𝑁))
148, 13ssfid 9288 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
15 fsumdvdsmulOLD.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1614, 15fsumcl 15709 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ β„‚)
17 fsumdvdsmulOLD.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
187, 16, 17fsummulc1 15761 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡))
1914adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
2015adantlr 713 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2119, 17, 20fsummulc2 15760 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡))
22 fsumdvdsmulOLD.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2322anassrs 466 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2423sumeq2dv 15679 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2521, 24eqtrd 2765 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2625sumeq2dv 15679 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
27 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©))
28 df-ov 7418 . . . . . . 7 (𝑗 Β· π‘˜) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©)
2927, 28eqtr4di 2783 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = (𝑗 Β· π‘˜))
3029csbeq1d 3889 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ)
31 ovex 7448 . . . . . 6 (𝑗 Β· π‘˜) ∈ V
32 fsumdvdsmulOLD.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3331, 32csbie 3921 . . . . 5 ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷
3430, 33eqtrdi 2781 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷)
3517adantrr 715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3615adantrl 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3735, 36mulcld 11262 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3822, 37eqeltrrd 2826 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
3934, 7, 14, 38fsumxp 15748 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
40 nfcv 2892 . . . . 5 Ⅎ𝑀𝐢
41 nfcsb1v 3910 . . . . 5 Ⅎ𝑖⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
42 csbeq1a 3899 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ 𝐢 = ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ)
4340, 41, 42cbvsumi 15673 . . . 4 Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
44 csbeq1 3888 . . . . 5 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
45 xpfi 9339 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ π‘Œ ∈ Fin) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
467, 14, 45syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
47 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
493, 10, 47, 2, 9, 48dvdsmulf1o 27144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍)
50 fvres 6910 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5150adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5238ralrimivva 3191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5334eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ 𝐷 ∈ β„‚))
5453ralxp 5838 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5552, 54sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
56 ax-mulf 11216 . . . . . . . . . 10 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
57 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
592ssrab3 4072 . . . . . . . . . . 11 𝑋 βŠ† β„•
60 nnsscn 12245 . . . . . . . . . . 11 β„• βŠ† β„‚
6159, 60sstri 3982 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† β„‚
629ssrab3 4072 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ βŠ† β„•
6362, 60sstri 3982 . . . . . . . . . 10 π‘Œ βŠ† β„‚
64 xpss12 5687 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
6561, 63, 64mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
6644eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ (⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6766ralima 7245 . . . . . . . . 9 (( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6858, 65, 67mp2an 690 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
69 df-ima 5685 . . . . . . . . . 10 ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))
70 f1ofo 6840 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍 β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍)
71 forn 6808 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍 β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7249, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7369, 72eqtrid 2777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7473raleqdv 3315 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7568, 74bitr3id 284 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7655, 75mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7776r19.21bi 3239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7844, 46, 49, 51, 77fsumf1o 15699 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
7943, 78eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
8039, 79eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
8118, 26, 803eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  β¦‹csb 3885   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  β„‚cc 11134  1c1 11137   Β· cmul 11141  β„•cn 12240  ...cfz 13514  Ξ£csu 15662   βˆ₯ cdvds 16228   gcd cgcd 16466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-dvds 16229  df-gcd 16467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator