Theorem fsumdvdsmulOLD 27128

Description: Obsolete version of fsumdvdsmul 27126 as of 18-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmulf1o.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x	⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
dvdsmulf1o.y	⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
dvdsmulf1o.z	⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmulOLD.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmulOLD.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmulOLD.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmulOLD.7	⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdsmulOLD	⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmulOLD

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2		dvdsmulf1o.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀}
3		dvdsmulf1o.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		dvdsssfz1 16294	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑀} ⊆ (1...𝑀))
6	2, 5	eqsstrid 4028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (1...𝑀))
7	1, 6	ssfid 9291	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
8		fzfid 13970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9		dvdsmulf1o.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
10		dvdsmulf1o.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		dvdsssfz1 16294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
13	9, 12	eqsstrid 4028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (1...𝑁))
14	8, 13	ssfid 9291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
15		fsumdvdsmulOLD.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	fsumcl 15711	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
17		fsumdvdsmulOLD.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	7, 16, 17	fsummulc1 15763	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵))
19	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
20	15	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	19, 17, 20	fsummulc2 15762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵))
22		fsumdvdsmulOLD.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
23	22	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
24	23	sumeq2dv 15681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ 𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
25	21, 24	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
26	25	sumeq2dv 15681	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷)
27		fveq2 6897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
28		df-ov 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
29	27, 28	eqtr4di 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
30	29	csbeq1d 3896	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶)
31		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 · 𝑘) ∈ V
32		fsumdvdsmulOLD.7	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
33	31, 32	csbie 3928	. . . . 5 ⊢ ⦋(𝑗 · 𝑘) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷
34	30, 33	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 = 𝐷)
35	17	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
36	15	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	35, 36	mulcld 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
38	22, 37	eqeltrrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
39	34, 7, 14, 38	fsumxp 15750	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
40		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝐶
41		nfcsb1v 3917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
42		csbeq1a 3906	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑤 → 𝐶 = ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶)
43	40, 41, 42	cbvsumi 15675	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶
44		csbeq1 3895	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
45		xpfi 9341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
46	7, 14, 45	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
47		dvdsmulf1o.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48		dvdsmulf1o.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
49	3, 10, 47, 2, 9, 48	dvdsmulf1o 27127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍)
50		fvres 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
51	50	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
52	38	ralrimivva 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
53	34	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
54	53	ralxp 5844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗 ∈ 𝑋 ∀𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
55	52, 54	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
56		ax-mulf 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
57		ffn 6722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ · Fn (ℂ × ℂ)
59	2	ssrab3 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 ⊆ ℕ
60		nnsscn 12247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
61	59, 60	sstri 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ⊆ ℂ
62	9	ssrab3 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ ℕ
63	62, 60	sstri 3989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 ⊆ ℂ
64		xpss12 5693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
65	61, 63, 64	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
66	44	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
67	66	ralima 7250	. . . . . . . . 9 ⊢ (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
68	58, 65, 67	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
69		df-ima 5691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
70		f1ofo 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto→𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍)
71		forn 6814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto→𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
72	49, 70, 71	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
73	69, 72	eqtrid 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
74	73	raleqdv 3322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
75	68, 74	bitr3id 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ))
76	55, 75	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
77	76	r19.21bi 3245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑍) → ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 ∈ ℂ)
78	44, 46, 49, 51, 77	fsumf1o 15701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑤 ∈ 𝑍 ⦋𝑤 / 𝑖⦌𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
79	43, 78	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)⦋( · ‘𝑧) / 𝑖⦌𝐶)
80	39, 79	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑋 Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)
81	18, 26, 80	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 · Σ𝑘 ∈ 𝑌 𝐵) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  {crab 3429  ⦋csb 3892   ⊆ wss 3947  ⟨cop 4635   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ran crn 5679   ↾ cres 5680   “ cima 5681   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  –onto→wfo 6546  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  ℂcc 11136  1c1 11139   · cmul 11143  ℕcn 12242  ...cfz 13516  Σcsu 15664   ∥ cdvds 16230   gcd cgcd 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469

This theorem is referenced by: (None)