MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmulOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsmulOLD 27128
Description: Obsolete version of fsumdvdsmul 27126 as of 18-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dvdsmulf1o.3 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
dvdsmulf1o.y 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
fsumdvdsmulOLD.4 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumdvdsmulOLD.5 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumdvdsmulOLD.6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
fsumdvdsmulOLD.7 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmulOLD (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐷,𝑖   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑖,𝑗,𝑘,𝑋   𝐵,𝑗   𝐶,𝑗,𝑘   𝑖,𝑌,𝑗,𝑘   𝑖,𝑍,𝑗   𝑥,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑘)   𝐶(𝑥,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumdvdsmulOLD
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13970 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 dvdsssfz1 16294 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑀} ⊆ (1...𝑀))
62, 5eqsstrid 4028 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ (1...𝑀))
71, 6ssfid 9291 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
8 fzfid 13970 . . . . 5 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 𝑌 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁}
10 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 dvdsssfz1 16294 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥𝑁} ⊆ (1...𝑁))
139, 12eqsstrid 4028 . . . . 5 (𝜑𝑌 ⊆ (1...𝑁))
148, 13ssfid 9291 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
15 fsumdvdsmulOLD.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15fsumcl 15711 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑌 𝐵 ∈ ℂ)
17 fsumdvdsmulOLD.4 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
187, 16, 17fsummulc1 15763 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵))
1914adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑋) → 𝑌 ∈ Fin)
2015adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
2119, 17, 20fsummulc2 15762 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵))
22 fsumdvdsmulOLD.6 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2322anassrs 467 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑋) ∧ 𝑘𝑌) → (𝐴 · 𝐵) = 𝐷)
2423sumeq2dv 15681 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑋) → Σ𝑘𝑌 (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2521, 24eqtrd 2768 . . 3 ((𝜑𝑗𝑋) → (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑘𝑌 𝐷)
2625sumeq2dv 15681 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 (𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷)
27 fveq2 6897 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩))
28 df-ov 7423 . . . . . . 7 (𝑗 · 𝑘) = ( · ‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2927, 28eqtr4di 2786 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) = (𝑗 · 𝑘))
3029csbeq1d 3896 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶)
31 ovex 7453 . . . . . 6 (𝑗 · 𝑘) ∈ V
32 fsumdvdsmulOLD.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 · 𝑘) → 𝐶 = 𝐷)
3331, 32csbie 3928 . . . . 5 (𝑗 · 𝑘) / 𝑖𝐶 = 𝐷
3430, 33eqtrdi 2784 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 = 𝐷)
3517adantrr 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3615adantrl 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3735, 36mulcld 11264 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
3822, 37eqeltrrd 2830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑋𝑘𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3934, 7, 14, 38fsumxp 15750 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
40 nfcv 2899 . . . . 5 𝑤𝐶
41 nfcsb1v 3917 . . . . 5 𝑖𝑤 / 𝑖𝐶
42 csbeq1a 3906 . . . . 5 (𝑖 = 𝑤𝐶 = 𝑤 / 𝑖𝐶)
4340, 41, 42cbvsumi 15675 . . . 4 Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶
44 csbeq1 3895 . . . . 5 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → 𝑤 / 𝑖𝐶 = ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
45 xpfi 9341 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
467, 14, 45syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ Fin)
47 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑀 · 𝑁)}
493, 10, 47, 2, 9, 48dvdsmulf1o 27127 . . . . 5 (𝜑 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍)
50 fvres 6916 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5150adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (( · ↾ (𝑋 × 𝑌))‘𝑧) = ( · ‘𝑧))
5238ralrimivva 3197 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5334eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → (( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
5453ralxp 5844 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑗𝑋𝑘𝑌 𝐷 ∈ ℂ)
5552, 54sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
56 ax-mulf 11218 . . . . . . . . . 10 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
57 ffn 6722 . . . . . . . . . 10 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 · Fn (ℂ × ℂ)
592ssrab3 4078 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ⊆ ℕ
60 nnsscn 12247 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
6159, 60sstri 3989 . . . . . . . . . 10 𝑋 ⊆ ℂ
629ssrab3 4078 . . . . . . . . . . 11 𝑌 ⊆ ℕ
6362, 60sstri 3989 . . . . . . . . . 10 𝑌 ⊆ ℂ
64 xpss12 5693 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
6561, 63, 64mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)
6644eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ( · ‘𝑧) → (𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
6766ralima 7250 . . . . . . . . 9 (( · Fn (ℂ × ℂ) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
6858, 65, 67mp2an 691 . . . . . . . 8 (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
69 df-ima 5691 . . . . . . . . . 10 ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌))
70 f1ofo 6846 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–1-1-onto𝑍 → ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍)
71 forn 6814 . . . . . . . . . . 11 (( · ↾ (𝑋 × 𝑌)):(𝑋 × 𝑌)–onto𝑍 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7249, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran ( · ↾ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7369, 72eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( · “ (𝑋 × 𝑌)) = 𝑍)
7473raleqdv 3322 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ( · “ (𝑋 × 𝑌))𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7568, 74bitr3id 285 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶 ∈ ℂ ↔ ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ))
7655, 75mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
7776r19.21bi 3245 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤 / 𝑖𝐶 ∈ ℂ)
7844, 46, 49, 51, 77fsumf1o 15701 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑤𝑍 𝑤 / 𝑖𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
7943, 78eqtrid 2780 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝑍 𝐶 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌)( · ‘𝑧) / 𝑖𝐶)
8039, 79eqtr4d 2771 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑋 Σ𝑘𝑌 𝐷 = Σ𝑖𝑍 𝐶)
8118, 26, 803eqtrd 2772 1 (𝜑 → (Σ𝑗𝑋 𝐴 · Σ𝑘𝑌 𝐵) = Σ𝑖𝑍 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  {crab 3429  csb 3892  wss 3947  cop 4635   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681   Fn wfn 6543  wf 6544  ontowfo 6546  1-1-ontowf1o 6547  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  cc 11136  1c1 11139   · cmul 11143  cn 12242  ...cfz 13516  Σcsu 15664  cdvds 16230   gcd cgcd 16468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-gcd 16469
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator