MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmulOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvdsmulOLD 27084
Description: Obsolete version of fsumdvdsmul 27082 as of 18-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dvdsmulf1o.3 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
dvdsmulf1o.x 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
dvdsmulf1o.y π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
dvdsmulf1o.z 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
fsumdvdsmulOLD.4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
fsumdvdsmulOLD.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fsumdvdsmulOLD.6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
fsumdvdsmulOLD.7 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmulOLD (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   𝐷,𝑖   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   𝑖,𝑗,π‘˜,𝑋   𝐡,𝑗   𝐢,𝑗,π‘˜   𝑖,π‘Œ,𝑗,π‘˜   𝑖,𝑍,𝑗   π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐴(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐡(π‘₯,𝑖,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑖)   𝐷(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑁(𝑖,𝑗,π‘˜)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem fsumdvdsmulOLD
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5 𝑋 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀}
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 dvdsssfz1 16268 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑀} βŠ† (1...𝑀))
62, 5eqsstrid 4025 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (1...𝑀))
71, 6ssfid 9269 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
8 fzfid 13944 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
9 dvdsmulf1o.y . . . . . 6 π‘Œ = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁}
10 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
11 dvdsssfz1 16268 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ 𝑁} βŠ† (1...𝑁))
139, 12eqsstrid 4025 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† (1...𝑁))
148, 13ssfid 9269 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
15 fsumdvdsmulOLD.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1614, 15fsumcl 15685 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡 ∈ β„‚)
17 fsumdvdsmulOLD.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
187, 16, 17fsummulc1 15737 . 2 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡))
1914adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ Fin)
2015adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2119, 17, 20fsummulc2 15736 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡))
22 fsumdvdsmulOLD.6 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2322anassrs 467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) = 𝐷)
2423sumeq2dv 15655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ (𝐴 Β· 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2521, 24eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
2625sumeq2dv 15655 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷)
27 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©))
28 df-ov 7408 . . . . . . 7 (𝑗 Β· π‘˜) = ( Β· β€˜βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ©)
2927, 28eqtr4di 2784 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ( Β· β€˜π‘§) = (𝑗 Β· π‘˜))
3029csbeq1d 3892 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ)
31 ovex 7438 . . . . . 6 (𝑗 Β· π‘˜) ∈ V
32 fsumdvdsmulOLD.7 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑗 Β· π‘˜) β†’ 𝐢 = 𝐷)
3331, 32csbie 3924 . . . . 5 ⦋(𝑗 Β· π‘˜) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷
3430, 33eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ = 𝐷)
3517adantrr 714 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3615adantrl 713 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
3735, 36mulcld 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐴 Β· 𝐡) ∈ β„‚)
3822, 37eqeltrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑋 ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
3934, 7, 14, 38fsumxp 15724 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
40 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑀𝐢
41 nfcsb1v 3913 . . . . 5 Ⅎ𝑖⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
42 csbeq1a 3902 . . . . 5 (𝑖 = 𝑀 β†’ 𝐢 = ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ)
4340, 41, 42cbvsumi 15649 . . . 4 Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ
44 csbeq1 3891 . . . . 5 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
45 xpfi 9319 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ π‘Œ ∈ Fin) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
467, 14, 45syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ Fin)
47 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
48 dvdsmulf1o.z . . . . . 6 𝑍 = {π‘₯ ∈ β„• ∣ π‘₯ βˆ₯ (𝑀 Β· 𝑁)}
493, 10, 47, 2, 9, 48dvdsmulf1o 27083 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍)
50 fvres 6904 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5150adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = ( Β· β€˜π‘§))
5238ralrimivva 3194 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5334eleq1d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑧 = βŸ¨π‘—, π‘˜βŸ© β†’ (⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ 𝐷 ∈ β„‚))
5453ralxp 5835 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑋 βˆ€π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 ∈ β„‚)
5552, 54sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
56 ax-mulf 11192 . . . . . . . . . 10 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
57 ffn 6711 . . . . . . . . . 10 ( Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚)
592ssrab3 4075 . . . . . . . . . . 11 𝑋 βŠ† β„•
60 nnsscn 12221 . . . . . . . . . . 11 β„• βŠ† β„‚
6159, 60sstri 3986 . . . . . . . . . 10 𝑋 βŠ† β„‚
629ssrab3 4075 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ βŠ† β„•
6362, 60sstri 3986 . . . . . . . . . 10 π‘Œ βŠ† β„‚
64 xpss12 5684 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
6561, 63, 64mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
6644eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = ( Β· β€˜π‘§) β†’ (⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ ⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6766ralima 7235 . . . . . . . . 9 (( Β· Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
6858, 65, 67mp2an 689 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
69 df-ima 5682 . . . . . . . . . 10 ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))
70 f1ofo 6834 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–1-1-onto→𝑍 β†’ ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍)
71 forn 6802 . . . . . . . . . . 11 (( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)–onto→𝑍 β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7249, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran ( Β· β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7369, 72eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ)) = 𝑍)
7473raleqdv 3319 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ ( Β· β€œ (𝑋 Γ— π‘Œ))⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7568, 74bitr3id 285 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
7655, 75mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7776r19.21bi 3242 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
7844, 46, 49, 51, 77fsumf1o 15675 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑀 ∈ 𝑍 ⦋𝑀 / π‘–β¦ŒπΆ = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
7943, 78eqtrid 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢 = Σ𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)⦋( Β· β€˜π‘§) / π‘–β¦ŒπΆ)
8039, 79eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ 𝑋 Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐷 = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
8118, 26, 803eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (Σ𝑗 ∈ 𝑋 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ π‘Œ 𝐡) = Σ𝑖 ∈ 𝑍 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  β¦‹csb 3888   βŠ† wss 3943  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  ...cfz 13490  Ξ£csu 15638   βˆ₯ cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator