Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsgrp 43918
 Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a semigroup. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nnsgrp.m 𝑀 = (ℂflds ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnsgrp 𝑀 ∈ Smgrp

Proof of Theorem nnsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsgrp.m . . 3 𝑀 = (ℂflds ℕ)
21nnsgrpmgm 43917 . 2 𝑀 ∈ Mgm
3 nncn 11638 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 11638 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 nncn 11638 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
6 addass 10616 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
73, 4, 5, 6syl3an 1154 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
873expia 1115 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
98ralrimiv 3185 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
109rgen2a 3233 . 2 𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))
11 nnsscn 11635 . . . 4 ℕ ⊆ ℂ
121cnfldsrngbas 43870 . . . 4 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 ℕ = (Base‘𝑀)
14 nnex 11636 . . . 4 ℕ ∈ V
151cnfldsrngadd 43871 . . . 4 (ℕ ∈ V → + = (+g𝑀))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
1713, 16issgrp 17893 . 2 (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
182, 10, 17mpbir2an 707 1 𝑀 ∈ Smgrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  Vcvv 3499   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  ℂcc 10527   + caddc 10532  ℕcn 11630  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  +gcplusg 16557  Mgmcmgm 17842  Smgrpcsgrp 17891  ℂfldccnfld 20463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-cnfld 20464 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator