Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsgrp 47239
Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is a semigroup. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nnsgrp.m 𝑀 = (ℂflds ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnsgrp 𝑀 ∈ Smgrp

Proof of Theorem nnsgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsgrp.m . . 3 𝑀 = (ℂflds ℕ)
21nnsgrpmgm 47238 . 2 𝑀 ∈ Mgm
3 nncn 12251 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
4 nncn 12251 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 nncn 12251 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
6 addass 11226 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
73, 4, 5, 6syl3an 1158 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
873expia 1119 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
98ralrimiv 3142 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
109rgen2 3194 . 2 𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))
11 nnsscn 12248 . . . 4 ℕ ⊆ ℂ
121cnfldsrngbas 47223 . . . 4 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
1311, 12ax-mp 5 . . 3 ℕ = (Base‘𝑀)
14 nnex 12249 . . . 4 ℕ ∈ V
151cnfldsrngadd 47224 . . . 4 (ℕ ∈ V → + = (+g𝑀))
1614, 15ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
1713, 16issgrp 18680 . 2 (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℕ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧))))
182, 10, 17mpbir2an 710 1 𝑀 ∈ Smgrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  Vcvv 3471  wss 3947  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137   + caddc 11142  cn 12243  Basecbs 17180  s cress 17209  +gcplusg 17233  Mgmcmgm 18598  Smgrpcsgrp 18678  fldccnfld 21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-cnfld 21280
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator