Theorem nnsgrpnmnd 48866

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpnmnd	⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12238	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnsgrp.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
3	2	cnfldsrngbas 48849	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
5		nnex 12239	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	2	cnfldsrngadd 48850	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	4, 7	isnmnd 18796	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 → 𝑀 ∉ Mnd)
9		1nn 12244	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
13	11, 12	neeq12d 3025	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
14	13	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15		nnne0 12270	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
16	15	necomd 3019	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17		1cnd 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18		nncn 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	subadd2d 11588	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20		1m1e0 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
22	21	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
23	19, 22	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
24	23	necon3bid 3008	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
25	16, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
26	10, 14, 25	rspcedvd 3592	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
27	8, 26	mprg 3091	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∉ wnel 3070  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   − cmin 11441  ℕcn 12233  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  Mndcmnd 18792  ℂ_fldccnfld 21491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-mnd 18793  df-cnfld 21492

This theorem is referenced by: (None)