Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsgrpnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsgrpnmnd 43962
Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nnsgrp.m 𝑀 = (ℂflds ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnsgrpnmnd 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 11631 . . . 4 ℕ ⊆ ℂ
2 nnsgrp.m . . . . 5 𝑀 = (ℂflds ℕ)
32cnfldsrngbas 43913 . . . 4 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
41, 3ax-mp 5 . . 3 ℕ = (Base‘𝑀)
5 nnex 11632 . . . 4 ℕ ∈ V
62cnfldsrngadd 43914 . . . 4 (ℕ ∈ V → + = (+g𝑀))
75, 6ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
84, 7isnmnd 17903 . 2 (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥𝑀 ∉ Mnd)
9 1nn 11637 . . . 4 1 ∈ ℕ
109a1i 11 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
1311, 12neeq12d 3074 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
1413adantl 482 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15 nnne0 11659 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
1615necomd 3068 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17 1cnd 10624 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18 nncn 11634 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1917, 17, 18subadd2d 11004 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20 1m1e0 11697 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
2221eqeq1d 2820 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
2319, 22bitr3d 282 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
2423necon3bid 3057 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
2516, 24mpbird 258 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
2610, 14, 25rspcedvd 3623 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
278, 26mprg 3149 1 𝑀 ∉ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  cn 11626  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  Mndcmnd 17899  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-mnd 17900  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator