Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsgrpnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsgrpnmnd 46198
Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nnsgrp.m 𝑀 = (ℂflds ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnsgrpnmnd 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 12163 . . . 4 ℕ ⊆ ℂ
2 nnsgrp.m . . . . 5 𝑀 = (ℂflds ℕ)
32cnfldsrngbas 46149 . . . 4 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
41, 3ax-mp 5 . . 3 ℕ = (Base‘𝑀)
5 nnex 12164 . . . 4 ℕ ∈ V
62cnfldsrngadd 46150 . . . 4 (ℕ ∈ V → + = (+g𝑀))
75, 6ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
84, 7isnmnd 18565 . 2 (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥𝑀 ∉ Mnd)
9 1nn 12169 . . . 4 1 ∈ ℕ
109a1i 11 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
1311, 12neeq12d 3002 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
1413adantl 483 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15 nnne0 12192 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
1615necomd 2996 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17 1cnd 11155 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18 nncn 12166 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1917, 17, 18subadd2d 11536 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20 1m1e0 12230 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
2221eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
2319, 22bitr3d 281 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
2423necon3bid 2985 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
2516, 24mpbird 257 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
2610, 14, 25rspcedvd 3582 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
278, 26mprg 3067 1 𝑀 ∉ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wnel 3046  wrex 3070  Vcvv 3444  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  cmin 11390  cn 12158  Basecbs 17088  s cress 17117  +gcplusg 17138  Mndcmnd 18561  fldccnfld 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-mnd 18562  df-cnfld 20813
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator