Theorem nnsgrpnmnd 48288

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpnmnd	⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12130	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnsgrp.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
3	2	cnfldsrngbas 48271	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
5		nnex 12131	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	2	cnfldsrngadd 48272	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	4, 7	isnmnd 18646	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 → 𝑀 ∉ Mnd)
9		1nn 12136	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
13	11, 12	neeq12d 2989	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15		nnne0 12159	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
16	15	necomd 2983	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17		1cnd 11107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18		nncn 12133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	subadd2d 11491	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20		1m1e0 12197	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
22	21	eqeq1d 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
23	19, 22	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
24	23	necon3bid 2972	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
25	16, 24	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
26	10, 14, 25	rspcedvd 3574	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
27	8, 26	mprg 3053	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∉ wnel 3032  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ℕcn 12125  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  Mndcmnd 18642  ℂ_fldccnfld 21291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-mnd 18643  df-cnfld 21292

This theorem is referenced by: (None)