Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsgrpnmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsgrpnmnd 45412
Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nnsgrp.m 𝑀 = (ℂflds ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnsgrpnmnd 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 12006 . . . 4 ℕ ⊆ ℂ
2 nnsgrp.m . . . . 5 𝑀 = (ℂflds ℕ)
32cnfldsrngbas 45363 . . . 4 (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
41, 3ax-mp 5 . . 3 ℕ = (Base‘𝑀)
5 nnex 12007 . . . 4 ℕ ∈ V
62cnfldsrngadd 45364 . . . 4 (ℕ ∈ V → + = (+g𝑀))
75, 6ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑀)
84, 7isnmnd 18417 . 2 (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥𝑀 ∉ Mnd)
9 1nn 12012 . . . 4 1 ∈ ℕ
109a1i 11 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11 oveq2 7303 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
1311, 12neeq12d 3000 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
1413adantl 481 . . 3 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15 nnne0 12035 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
1615necomd 2994 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17 1cnd 10998 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18 nncn 12009 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1917, 17, 18subadd2d 11379 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20 1m1e0 12073 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
2221eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
2319, 22bitr3d 280 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
2423necon3bid 2983 . . . 4 (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
2516, 24mpbird 256 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
2610, 14, 25rspcedvd 3565 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
278, 26mprg 3065 1 𝑀 ∉ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1537  wcel 2101  wne 2938  wnel 3044  wrex 3068  Vcvv 3434  wss 3889  cfv 6447  (class class class)co 7295  cc 10897  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902  cmin 11233  cn 12001  Basecbs 16940  s cress 16969  +gcplusg 16990  Mndcmnd 18413  fldccnfld 20625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-addf 10978
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-mnd 18414  df-cnfld 20626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator