Theorem nnsgrpnmnd 48156

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpnmnd	⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12192	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnsgrp.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
3	2	cnfldsrngbas 48139	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
5		nnex 12193	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	2	cnfldsrngadd 48140	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	4, 7	isnmnd 18671	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 → 𝑀 ∉ Mnd)
9		1nn 12198	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11		oveq2 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
13	11, 12	neeq12d 2987	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15		nnne0 12221	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
16	15	necomd 2981	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17		1cnd 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18		nncn 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	subadd2d 11558	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20		1m1e0 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
22	21	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
23	19, 22	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
24	23	necon3bid 2970	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
25	16, 24	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
26	10, 14, 25	rspcedvd 3593	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
27	8, 26	mprg 3051	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   − cmin 11411  ℕcn 12187  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  +_gcplusg 17226  Mndcmnd 18667  ℂ_fldccnfld 21270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-mnd 18668  df-cnfld 21271

This theorem is referenced by: (None)