Theorem nnsgrpnmnd 48567

Description: The structure of positive integers together with the addition of complex numbers is not a monoid. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnsgrp.m	⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnsgrpnmnd	⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Proof of Theorem nnsgrpnmnd

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12164	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnsgrp.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (ℂfld ↾s ℕ)
3	2	cnfldsrngbas 48550	. . . 4 ⊢ (ℕ ⊆ ℂ → ℕ = (Base‘𝑀))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ = (Base‘𝑀)
5		nnex 12165	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
6	2	cnfldsrngadd 48551	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → + = (+g‘𝑀))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
8	4, 7	isnmnd 18677	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 → 𝑀 ∉ Mnd)
9		1nn 12170	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
11		oveq2 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 1))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
13	11, 12	neeq12d 2994	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
14	13	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥 ↔ (𝑧 + 1) ≠ 1))
15		nnne0 12193	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
16	15	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑧)
17		1cnd 11141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
18		nncn 12167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	subadd2d 11525	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ (𝑧 + 1) = 1))
20		1m1e0 12231	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
22	21	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((1 − 1) = 𝑧 ↔ 0 = 𝑧))
23	19, 22	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) = 1 ↔ 0 = 𝑧))
24	23	necon3bid 2977	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ((𝑧 + 1) ≠ 1 ↔ 0 ≠ 𝑧))
25	16, 24	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ≠ 1)
26	10, 14, 25	rspcedvd 3580	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝑧 + 𝑥) ≠ 𝑥)
27	8, 26	mprg 3058	1 ⊢ 𝑀 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   − cmin 11378  ℕcn 12159  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  +_gcplusg 17191  Mndcmnd 18673  ℂ_fldccnfld 21326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-mnd 18674  df-cnfld 21327

This theorem is referenced by: (None)