Theorem dfz2 12616

Description: Alternative definition of the integers, based on elz2 12615. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfz2	⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

Proof of Theorem dfz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 12615	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧))
2		subf 11465	. . . . 5 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		ffn 6705	. . . . 5 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
5		nnsscn 12244	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
6		xpss12 5675	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		ovelimab 7590	. . . 4 ⊢ (( − Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧)))
9	4, 7, 8	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧))
10	1, 9	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)))
11	10	eqriv 2759	1 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3904   × cxp 5658   “ cima 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   − cmin 11447  ℕcn 12239  ℤcz 12597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598

This theorem is used by:  zexALT  12617  znnen  16274