MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfz2 11994
Description: Alternative definition of the integers, based on elz2 11993. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfz2 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

Proof of Theorem dfz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 11993 . . 3 (𝑥 ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧))
2 subf 10882 . . . . 5 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3 ffn 6513 . . . . 5 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 − Fn (ℂ × ℂ)
5 nnsscn 11637 . . . . 5 ℕ ⊆ ℂ
6 xpss12 5569 . . . . 5 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
75, 5, 6mp2an 688 . . . 4 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
8 ovelimab 7320 . . . 4 (( − Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧)))
94, 7, 8mp2an 688 . . 3 (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦𝑧))
101, 9bitr4i 279 . 2 (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)))
1110eqriv 2823 1 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  wss 3940   × cxp 5552  cima 5557   Fn wfn 6349  wf 6350  (class class class)co 7150  cc 10529  cmin 10864  cn 11632  cz 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976
This theorem is referenced by:  zexALT  11995  znnen  15560
  Copyright terms: Public domain W3C validator