Theorem dfz2 12610

Description: Alternative definition of the integers, based on elz2 12609. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dfz2	⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

Proof of Theorem dfz2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 12609	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧))
2		subf 11459	. . . . 5 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
3		ffn 6706	. . . . 5 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → − Fn (ℂ × ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ − Fn (ℂ × ℂ)
5		nnsscn 12238	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
6		xpss12 5677	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
7	5, 5, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
8		ovelimab 7589	. . . 4 ⊢ (( − Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧)))
9	4, 7, 8	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑥 = (𝑦 − 𝑧))
10	1, 9	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ( − “ (ℕ × ℕ)))
11	10	eqriv 2766	1 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3911   × cxp 5660   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  zexALT  12611  znnen  16268