Theorem nndivsub 35337

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nnre 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
4		nngt0 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
5	3, 4	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
6		ltdiv1 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
8		nnsub 12255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
9	7, 8	sylan9bb 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
10	9	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
11	10	exp32 421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
12	11	com34 91	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
13	12	imp32 419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
14		nnaddcl 12234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ)
15	14	expcom 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
16		nnsscn 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
17		nnne0 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18		divcl 11877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	nnssi2 35335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
20		divcl 11877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20	nnssi2 35335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
22	19, 21	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ)) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
23	22	3impdir 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
24		npcan 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
25	24	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
27	26	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ↔ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
28	27	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
29	15, 28	sylan9r 509	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
30	29	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
31	13, 30	impbid 211	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
32		nncn 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		nncn 12219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		nncn 12219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36, 17	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
38	37	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
39		divsubdir 11907	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
40	33, 35, 38, 39	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
41	40	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
42	41	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
43	31, 42	bitr4d 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   < clt 11247   − cmin 11443   / cdiv 11870  ℕcn 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212

This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  35341