Theorem nndivsub 36458

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nnre 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
4		nngt0 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
6		ltdiv1 12132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
8		nnsub 12310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
9	7, 8	sylan9bb 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
10	9	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
11	10	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
12	11	com34 91	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
13	12	imp32 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
14		nnaddcl 12289	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ)
15	14	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
16		nnsscn 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
17		nnne0 12300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18		divcl 11928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	nnssi2 36456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
20		divcl 11928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20	nnssi2 36456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
22	19, 21	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ)) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
23	22	3impdir 1352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
24		npcan 11517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
27	26	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ↔ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
28	27	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
29	15, 28	sylan9r 508	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
30	29	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
31	13, 30	impbid 212	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
32		nncn 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		nncn 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		nncn 12274	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
38	37	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
39		divsubdir 11961	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
40	33, 35, 38, 39	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
41	40	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
42	41	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
43	31, 42	bitr4d 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267

This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  36462