Theorem nndivsub 36423

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nnre 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
4		nngt0 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
6		ltdiv1 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
8		nnsub 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
9	7, 8	sylan9bb 509	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
10	9	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
11	10	exp32 420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
12	11	com34 91	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
13	12	imp32 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
14		nnaddcl 12316	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ)
15	14	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
16		nnsscn 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
17		nnne0 12327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18		divcl 11955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	nnssi2 36421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
20		divcl 11955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20	nnssi2 36421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
22	19, 21	anim12i 612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ)) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
23	22	3impdir 1351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
24		npcan 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
25	24	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
27	26	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ↔ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
28	27	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
29	15, 28	sylan9r 508	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
30	29	adantrr 716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
31	13, 30	impbid 212	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
32		nncn 12301	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		nncn 12301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		nncn 12301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36, 17	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
38	37	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
39		divsubdir 11988	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
40	33, 35, 38, 39	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
41	40	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
42	41	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
43	31, 42	bitr4d 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  36427