Theorem nndivsub 35982

Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivsub	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnre 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nnre 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
4		nngt0 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
5	3, 4	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
6		ltdiv1 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
7	1, 2, 5, 6	syl3an 1157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶)))
8		nnsub 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) < (𝐵 / 𝐶) ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
9	7, 8	sylan9bb 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
10	9	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
11	10	exp32 419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
12	11	com34 91	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))))
13	12	imp32 417	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
14		nnaddcl 12275	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ)
15	14	expcom 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
16		nnsscn 12257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
17		nnne0 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18		divcl 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	nnssi2 35980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
20		divcl 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
21	16, 17, 20	nnssi2 35980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
22	19, 21	anim12i 611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ)) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
23	22	3impdir 1348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ))
24		npcan 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
25	24	ancoms 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) = (𝐵 / 𝐶))
27	26	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ ↔ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
28	27	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) + (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
29	15, 28	sylan9r 507	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
30	29	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ))
31	13, 30	impbid 211	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
32		nncn 12260	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34		nncn 12260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
36		nncn 12260	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
37	36, 17	jca 510	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
38	37	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
39		divsubdir 11948	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
40	33, 35, 38, 39	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) = ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)))
41	40	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
42	41	adantr 479	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 / 𝐶) − (𝐴 / 𝐶)) ∈ ℕ))
43	31, 42	bitr4d 281	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 / 𝐶) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐵 / 𝐶) ∈ ℕ ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 𝐶) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℂcc 11146  ℝcr 11147  0cc0 11148   + caddc 11151   < clt 11288   − cmin 11484   / cdiv 11911  ℕcn 12252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253

This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  35986