Theorem nncn 12301

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nncn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12298	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2	1	sseli 4004	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℂcc 11182  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  nncni  12303  nn1m1nn  12314  nn1suc  12315  nnaddcl  12316  nnmulcl  12317  nnmtmip  12319  nnneneg  12328  nnsub  12337  nndiv  12339  nndivtr  12340  nnnn0addcl  12583  nn0nnaddcl  12584  elnnnn0  12596  nn0sub  12603  nnnegz  12642  elz2  12657  zaddcl  12683  nnaddm1cl  12700  zdiv  12713  zdivadd  12714  zdivmul  12715  nneo  12727  peano5uzi  12732  elq  13015  qmulz  13016  qaddcl  13030  qnegcl  13031  qmulcl  13032  qreccl  13034  rpnnen1lem5  13046  nnledivrp  13169  nn0ledivnn  13170  fseq1m1p1  13659  ubmelm1fzo  13813  subfzo0  13839  quoremz  13906  quoremnn0ALT  13908  intfracq  13910  fldiv  13911  fldiv2  13912  modmulnn  13940  addmodid  13970  addmodidr  13971  modaddmodup  13985  modfzo0difsn  13994  modsumfzodifsn  13995  addmodlteq  13997  nn0ennn  14030  ser1const  14109  expneg  14120  expm1t  14141  nnsqcl  14178  nnlesq  14254  digit2  14285  digit1  14286  expnngt1  14290  facdiv  14336  facndiv  14337  faclbnd  14339  faclbnd4lem1  14342  faclbnd4lem4  14345  bcn1  14362  bcm1k  14364  bcp1n  14365  bcval5  14367  bcn2m1  14373  cshwidxmod  14851  cshwidxm  14856  cshwidxn  14857  repswcshw  14860  isercoll2  15717  divcnv  15901  harmonic  15907  arisum  15908  arisum2  15909  expcnv  15912  pwdif  15916  geomulcvg  15924  mertenslem2  15933  ef0lem  16126  efexp  16149  ruclem12  16289  sqrt2irr  16297  nndivides  16312  modmulconst  16336  dvdsflip  16365  nn0enne  16425  nno  16430  pwp1fsum  16439  divalgmod  16454  ndvdsadd  16458  modgcd  16579  gcdmultiplez  16582  gcddiv  16598  rpmulgcd  16604  rplpwr  16605  sqgcd  16609  expgcd  16610  nn0expgcd  16611  lcmgcdlem  16653  qredeq  16704  qredeu  16705  cncongrcoprm  16717  prmind2  16732  isprm6  16761  divnumden  16795  divdenle  16796  nn0gcdsq  16799  hashgcdlem  16835  pythagtriplem1  16863  pythagtriplem2  16864  pythagtriplem6  16868  pythagtriplem7  16869  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  pythagtriplem15  16876  pythagtriplem16  16877  pythagtriplem17  16878  pythagtriplem19  16880  pcqcl  16903  pcexp  16906  pcneg  16921  fldivp1  16944  oddprmdvds  16950  prmpwdvds  16951  infpnlem2  16958  prmreclem1  16963  prmreclem6  16968  4sqlem19  17010  vdwapun  17021  vdwapid1  17022  prmonn2  17086  prmgaplem7  17104  mulgnegnn  19124  mulgnnass  19149  mulgmodid  19153  odmod  19588  cnfldmulg  21439  prmirredlem  21506  znidomb  21603  znrrg  21607  cply1mul  22321  chfacfscmul0  22885  chfacfscmulfsupp  22886  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmul0  22889  chfacfpmmulfsupp  22890  chfacfpmmulgsum  22891  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemF  22903  ovolunlem1  25551  uniioombllem3  25639  vitali  25667  mbfi1fseqlem3  25772  dvexp  26011  dvexp3  26036  plyeq0lem  26269  dgrcolem1  26333  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem7  26409  pserdv2  26492  abelthlem6  26498  logtayl  26720  logtaylsum  26721  logtayl2  26722  cxpexp  26728  cxproot  26750  root1id  26815  root1eq1  26816  cxpeq  26818  logbgcd1irr  26855  atantayl  26998  atantayl2  26999  birthdaylem2  27013  dfef2  27032  emcllem2  27058  emcllem3  27059  zetacvg  27076  lgam1  27125  gamfac  27128  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem5  27146  basellem8  27149  mumul  27242  fsumdvdscom  27246  muinv  27254  chtublem  27273  perfect  27293  pcbcctr  27338  bclbnd  27342  bposlem1  27346  bposlem6  27351  lgssq2  27400  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem3  27430  2lgslem1a1  27451  2sqlem6  27485  2sqlem10  27490  2sqnn  27501  2sqreunnltlem  27512  rplogsumlem1  27546  dchrmusumlema  27555  dchrmusum2  27556  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmaeq0  27566  dchrisum0re  27575  logdivbnd  27618  cusgrsize2inds  29489  wlkdlem2  29719  crctcshwlkn0lem1  29843  crctcshwlkn0lem6  29848  0enwwlksnge1  29897  wspthsnonn0vne  29950  clwwlknwwlksn  30070  clwwlkinwwlk  30072  clwwlkel  30078  clwwlkf  30079  clwwlkf1  30081  wwlksubclwwlk  30090  eucrctshift  30275  eucrct2eupth  30277  numclwwlk2lem1  30408  numclwlk2lem2f  30409  numclwlk2lem2f1o  30411  ipasslem4  30866  ipasslem5  30867  isarchi3  33167  oddpwdc  34319  eulerpartlemb  34333  fibp1  34366  subfacp1lem6  35153  subfaclim  35156  snmlff  35297  circum  35642  divcnvlin  35695  bcprod  35700  iprodgam  35704  faclim  35708  faclim2  35710  nn0prpwlem  36288  nndivsub  36423  knoppndvlem13  36490  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  mblfinlem2  37618  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624  facp2  42100  metakunt16  42177  metakunt30  42191  fac2xp3  42196  nnadd1com  42256  nnaddcom  42257  dvdsexpnn0  42321  renegmulnnass  42429  fimgmcyc  42489  dffltz  42589  irrapxlem1  42778  pellexlem1  42785  pellqrex  42835  2nn0ind  42902  jm2.17c  42919  acongrep  42937  jm2.18  42945  jm2.20nn  42954  jm2.16nn0  42961  proot1ex  43157  hashnzfzclim  44291  binomcxplemnotnn0  44325  nnsplit  45273  clim1fr1  45522  sumnnodd  45551  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  dirkerper  46017  dirkertrigeqlem1  46019  fouriersw  46152  nnfoctbdjlem  46376  deccarry  47226  subsubelfzo0  47241  sqrtpwpw2p  47412  fmtnodvds  47418  fmtnoprmfac1  47439  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtnoprmfac2  47441  lighneallem2  47480  lighneallem3  47481  lighneallem4  47484  nnennexALTV  47575  perfectALTV  47597  fppr2odd  47605  fpprwppr  47613  fpprwpprb  47614  tgoldbachlt  47690  nnsgrp  47900  nnsgrpnmnd  47901  bcpascm1  48076  altgsumbcALT  48078  eluz2cnn0n1  48240  pw2m1lepw2m1  48249  mod0mul  48253  m1modmmod  48255  nnennex  48259  logbpw2m1  48301  blenpw2m1  48313  nnpw2blen  48314  nnpw2pmod  48317  blennnt2  48323  blennn0em1  48325  nn0digval  48334  dignn0fr  48335  dignn0ldlem  48336  dig0  48340  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354  nn0sumshdiglem1  48355