Theorem nncn 12347

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nncn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12344	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3904	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ℂcc 11202  ℕcn 12339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262  ax-addcl 11264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340

This theorem is used by:  nncni  12349  nn1m1nn  12360  nn1suc  12361  nnaddcl  12362  nnmulcl  12363  nnadd1com  12365  nnaddcom  12366  nnmtmip  12368  nnneneg  12377  nnsub  12386  nndiv  12388  nndivtr  12389  nnnn0addcl  12640  nn0nnaddcl  12641  elnnnn0  12653  nn0sub  12660  nnnegz  12700  elz2  12715  zaddcl  12740  nnaddm1cl  12760  zdiv  12773  zdivadd  12774  zdivmul  12775  nneo  12787  peano5uzi  12792  elq  13081  qmulz  13082  qaddcl  13097  qnegcl  13098  qmulcl  13099  qreccl  13101  rpnnen1lem5  13113  nnledivrp  13238  nn0ledivnn  13239  fseq1m1p1  13737  ubmelm1fzo  13902  subfzo0  13932  quoremz  13999  quoremnn0ALT  14001  intfracq  14003  fldiv  14004  fldiv2  14005  modmulnn  14033  addmodid  14066  addmodidr  14067  modaddmodup  14081  modfzo0difsn  14090  modsumfzodifsn  14091  addmodlteq  14093  nn0ennn  14126  ser1const  14205  expneg  14216  expm1t  14237  nnsqcl  14275  nnlesq  14353  digit2  14384  digit1  14385  expnngt1  14389  facdiv  14435  facndiv  14436  faclbnd  14438  faclbnd4lem1  14441  faclbnd4lem4  14444  bcn1  14461  bcm1k  14463  bcp1n  14464  bcval5  14466  bcn2m1  14472  cshwidxmod  14959  cshwidxm  14964  cshwidxn  14965  repswcshw  14968  isercoll2  15842  divcnv  16028  harmonic  16034  arisum  16035  arisum2  16036  expcnv  16039  pwdif  16043  geomulcvg  16051  mertenslem2  16060  ef0lem  16250  efexp  16275  ruclem12  16415  sqrt2irr  16423  nndivides  16438  modmulconst  16464  dvdsflip  16493  nn0enne  16553  nno  16558  pwp1fsum  16567  divalgmod  16582  ndvdsadd  16586  modgcd  16711  gcdmultiplez  16714  gcddiv  16730  rpmulgcd  16737  rplpwr  16738  sqgcd  16742  expgcd  16743  nn0expgcd  16744  lcmgcdlem  16787  qredeq  16838  qredeu  16839  cncongrcoprm  16851  prmind2  16866  isprm6  16896  divnumden  16930  divdenle  16931  nn0gcdsq  16934  hashgcdlem  16971  pythagtriplem1  17000  pythagtriplem2  17001  pythagtriplem6  17005  pythagtriplem7  17006  pythagtriplem12  17010  pythagtriplem14  17012  pythagtriplem15  17013  pythagtriplem16  17014  pythagtriplem17  17015  pythagtriplem19  17017  pcqcl  17040  pcexp  17043  pcneg  17058  fldivp1  17081  oddprmdvds  17087  prmpwdvds  17088  infpnlem2  17095  prmreclem1  17100  prmreclem6  17105  4sqlem19  17147  vdwapun  17158  vdwapid1  17159  prmonn2  17223  prmgaplem7  17241  mulgnegnn  19300  mulgnnass  19325  mulgmodid  19329  odmod  19766  cnfldmulg  21716  prmirredlem  21784  znidomb  21873  znrrg  21877  cply1mul  22620  chfacfscmul0  23182  chfacfscmulfsupp  23183  chfacfscmulgsum  23184  chfacfpmmul0  23186  chfacfpmmulfsupp  23187  chfacfpmmulgsum  23188  cayhamlem1  23190  cpmadugsumlemF  23200  ovolunlem1  25824  uniioombllem3  25912  vitali  25940  mbfi1fseqlem3  26044  dvexp  26279  dvexp3  26304  plyeq0lem  26535  dgrcolem1  26598  aaliou3lem2  26676  aaliou3lem7  26682  pserdv2  26763  abelthlem6  26769  logtayl  26994  logtaylsum  26995  logtayl2  26996  cxpexp  27002  cxproot  27024  root1id  27088  root1eq1  27089  cxpeq  27091  logbgcd1irr  27128  atantayl  27271  atantayl2  27272  birthdaylem2  27286  dfef2  27304  emcllem2  27330  emcllem3  27331  zetacvg  27348  lgam1  27397  gamfac  27400  basellem2  27415  basellem3  27416  basellem5  27418  basellem8  27421  fsumdvdscom  27518  muinv  27526  chtublem  27544  perfect  27564  pcbcctr  27609  bclbnd  27613  bposlem1  27617  bposlem6  27622  lgssq2  27671  gausslemma2dlem1a  27698  gausslemma2dlem3  27701  2lgslem1a1  27722  2sqlem6  27756  2sqlem10  27761  2sqnn  27772  2sqreunnltlem  27783  rplogsumlem1  27817  dchrmusumlema  27826  dchrmusum2  27827  dchrvmasumiflem1  27834  dchrvmaeq0  27837  dchrisum0re  27846  logdivbnd  27889  cusgrsize2inds  30040  wlkdlem2  30268  crctcshwlkn0lem1  30405  crctcshwlkn0lem6  30410  0enwwlksnge1  30459  wspthsnonn0vne  30512  clwwlknwwlksn  30635  clwwlkinwwlk  30637  clwwlkel  30643  clwwlkf  30644  clwwlkf1  30646  wwlksubclwwlk  30655  eucrctshift  30850  eucrct2eupth  30852  numclwwlk2lem1  30983  numclwlk2lem2f  30984  numclwlk2lem2f1o  30986  ipasslem4  31442  ipasslem5  31443  isarchi3  33795  oddpwdc  35033  eulerpartlemb  35047  fibp1  35080  subfacp1lem6  36037  subfaclim  36040  snmlff  36181  circum  36526  divcnvlin  36591  bcprod  36596  iprodgam  36600  faclim  36604  faclim2  36606  nn0prpwlem  37203  nndivsub  37338  knoppndvlem13  37483  poimirlem13  38645  poimirlem14  38646  poimirlem29  38661  poimirlem30  38662  poimirlem31  38663  poimirlem32  38664  mblfinlem2  38670  ovoliunnfl  38674  voliunnfl  38676  facp2  43287  dvdsexpnn0  43480  renegmulnnass  43623  fimgmcyc  43692  dffltz  43764  irrapxlem1  43923  pellexlem1  43930  pellqrex  43980  2nn0ind  44046  jm2.17c  44063  acongrep  44081  jm2.18  44089  jm2.20nn  44098  jm2.16nn0  44105  proot1ex  44292  hashnzfzclim  45400  binomcxplemnotnn0  45434  nnsplit  46464  clim1fr1  46707  sumnnodd  46736  wallispilem4  47172  wallispilem5  47173  wallispi  47174  wallispi2lem1  47175  wallispi2lem2  47176  wallispi2  47177  stirlinglem1  47178  stirlinglem3  47180  stirlinglem4  47181  stirlinglem5  47182  stirlinglem6  47183  stirlinglem7  47184  stirlinglem8  47185  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  stirlinglem12  47189  stirlinglem13  47190  stirlinglem14  47191  stirlinglem15  47192  dirkerper  47200  dirkertrigeqlem1  47202  fouriersw  47335  nnfoctbdjlem  47559  sqrtnnaa  48007  deccarry  48475  subsubelfzo0  48491  submodlt  48520  mod0mul  48526  m1modmmod  48528  modlt0b  48533  sqrtpwpw2p  48717  fmtnodvds  48723  fmtnoprmfac1  48744  fmtnoprmfac2lem1  48745  fmtnoprmfac2  48746  lighneallem2  48785  lighneallem3  48786  lighneallem4  48789  nnennexALTV  48893  perfectALTV  48915  fppr2odd  48923  fpprwppr  48931  fpprwpprb  48932  tgoldbachlt  49008  gpgedgvtx0  49253  gpg3kgrtriexlem2  49276  gpg3kgrtriexlem5  49279  gpg3kgrtriex  49281  nnsgrp  49368  nnsgrpnmnd  49369  bcpascm1  49557  altgsumbcALT  49559  eluz2cnn0n1  49717  pw2m1lepw2m1  49726  nnennex  49731  logbpw2m1  49773  blenpw2m1  49785  nnpw2blen  49786  nnpw2pmod  49789  blennnt2  49795  blennn0em1  49797  nn0digval  49806  dignn0fr  49807  dignn0ldlem  49808  dig0  49812  nn0sumshdiglemA  49825  nn0sumshdiglemB  49826  nn0sumshdiglem1  49827