Theorem nncn 11646

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nncn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11643	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3963	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℂcc 10535  ℕcn 11638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-nn 11639

This theorem is referenced by:  nncni  11648  nn1m1nn  11659  nn1suc  11660  nnaddcl  11661  nnmulcl  11662  nnmtmip  11664  nnneneg  11673  nnsub  11682  nndiv  11684  nndivtr  11685  nnnn0addcl  11928  nn0nnaddcl  11929  elnnnn0  11941  nn0sub  11948  nnnegz  11985  elz2  12000  zaddcl  12023  nnaddm1cl  12040  zdiv  12053  zdivadd  12054  zdivmul  12055  nneo  12067  peano5uzi  12072  elq  12351  qmulz  12352  qaddcl  12365  qnegcl  12366  qmulcl  12367  qreccl  12369  rpnnen1lem5  12381  nnledivrp  12502  nn0ledivnn  12503  fseq1m1p1  12983  ubmelm1fzo  13134  subfzo0  13160  quoremz  13224  quoremnn0ALT  13226  intfracq  13228  fldiv  13229  fldiv2  13230  modmulnn  13258  addmodid  13288  addmodidr  13289  modaddmodup  13303  modfzo0difsn  13312  modsumfzodifsn  13313  addmodlteq  13315  nn0ennn  13348  ser1const  13427  expneg  13438  expm1t  13458  nnsqcl  13494  nnlesq  13569  digit2  13598  digit1  13599  expnngt1  13603  facdiv  13648  facndiv  13649  faclbnd  13651  faclbnd4lem1  13654  faclbnd4lem4  13657  bcn1  13674  bcm1k  13676  bcp1n  13677  bcval5  13679  bcn2m1  13685  cshwidxmod  14165  cshwidxm  14170  cshwidxn  14171  repswcshw  14174  isercoll2  15025  divcnv  15208  harmonic  15214  arisum  15215  arisum2  15216  expcnv  15219  pwdif  15223  geomulcvg  15232  mertenslem2  15241  ef0lem  15432  efexp  15454  ruclem12  15594  sqrt2irr  15602  nndivides  15617  modmulconst  15641  dvdsflip  15667  nn0enne  15728  nno  15733  pwp1fsum  15742  divalgmod  15757  ndvdsadd  15761  modgcd  15880  gcdmultiplez  15883  gcddiv  15899  gcdmultipleOLD  15900  gcdmultiplezOLD  15901  rpmulgcd  15906  rplpwr  15907  sqgcd  15909  lcmgcdlem  15950  qredeq  16001  qredeu  16002  cncongrcoprm  16014  prmind2  16029  isprm6  16058  divnumden  16088  divdenle  16089  nn0gcdsq  16092  hashgcdlem  16125  pythagtriplem1  16153  pythagtriplem2  16154  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem14  16165  pythagtriplem15  16166  pythagtriplem16  16167  pythagtriplem17  16168  pythagtriplem19  16170  pcqcl  16193  pcexp  16196  pcneg  16210  fldivp1  16233  oddprmdvds  16239  prmpwdvds  16240  infpnlem2  16247  prmreclem1  16252  prmreclem6  16257  4sqlem19  16299  vdwapun  16310  vdwapid1  16311  prmonn2  16375  prmgaplem7  16393  mulgnegnn  18238  mulgnnass  18262  mulgmodid  18266  odmod  18674  cply1mul  20462  cnfldmulg  20577  prmirredlem  20640  znidomb  20708  znrrg  20712  chfacfscmul0  21466  chfacfscmulfsupp  21467  chfacfscmulgsum  21468  chfacfpmmul0  21470  chfacfpmmulfsupp  21471  chfacfpmmulgsum  21472  cayhamlem1  21474  cpmadugsumlemF  21484  ovolunlem1  24098  uniioombllem3  24186  vitali  24214  mbfi1fseqlem3  24318  dvexp  24550  dvexp3  24575  plyeq0lem  24800  dgrcolem1  24863  aaliou3lem2  24932  aaliou3lem7  24938  pserdv2  25018  abelthlem6  25024  logtayl  25243  logtaylsum  25244  logtayl2  25245  cxpexp  25251  cxproot  25273  root1id  25335  root1eq1  25336  cxpeq  25338  logbgcd1irr  25372  atantayl  25515  atantayl2  25516  birthdaylem2  25530  dfef2  25548  emcllem2  25574  emcllem3  25575  zetacvg  25592  lgam1  25641  gamfac  25644  basellem2  25659  basellem3  25660  basellem5  25662  basellem8  25665  mumul  25758  fsumdvdscom  25762  muinv  25770  chtublem  25787  perfect  25807  pcbcctr  25852  bclbnd  25856  bposlem1  25860  bposlem6  25865  lgssq2  25914  gausslemma2dlem1a  25941  gausslemma2dlem3  25944  2lgslem1a1  25965  2sqlem6  25999  2sqlem10  26004  2sqnn  26015  2sqreunnltlem  26026  rplogsumlem1  26060  dchrmusumlema  26069  dchrmusum2  26070  dchrvmasumiflem1  26077  dchrvmaeq0  26080  dchrisum0re  26089  logdivbnd  26132  cusgrsize2inds  27235  wlkdlem2  27465  crctcshwlkn0lem1  27588  crctcshwlkn0lem6  27593  0enwwlksnge1  27642  wspthsnonn0vne  27696  clwwlknwwlksn  27816  clwwlkinwwlk  27818  clwwlkel  27825  clwwlkf  27826  clwwlkf1  27828  wwlksubclwwlk  27837  eucrctshift  28022  eucrct2eupth  28024  numclwwlk2lem1  28155  numclwlk2lem2f  28156  numclwlk2lem2f1o  28158  ipasslem4  28611  ipasslem5  28612  isarchi3  30816  oddpwdc  31612  eulerpartlemb  31626  fibp1  31659  subfacp1lem6  32432  subfaclim  32435  snmlff  32576  circum  32917  divcnvlin  32964  bcprod  32970  iprodgam  32974  faclim  32978  faclim2  32980  nn0prpwlem  33670  nndivsub  33805  knoppndvlem13  33863  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem29  34936  poimirlem30  34937  poimirlem31  34938  poimirlem32  34939  mblfinlem2  34945  ovoliunnfl  34949  voliunnfl  34951  fac2xp3  39114  facp2  39115  nnadd1com  39180  nnaddcom  39181  expgcd  39203  nn0expgcd  39204  dffltz  39291  irrapxlem1  39439  pellexlem1  39446  pellqrex  39496  2nn0ind  39562  jm2.17c  39579  acongrep  39597  jm2.18  39605  jm2.20nn  39614  jm2.16nn0  39621  proot1ex  39821  hashnzfzclim  40674  binomcxplemnotnn0  40708  nnsplit  41646  clim1fr1  41902  sumnnodd  41931  wallispilem4  42373  wallispilem5  42374  wallispi  42375  wallispi2lem1  42376  wallispi2lem2  42377  wallispi2  42378  stirlinglem1  42379  stirlinglem3  42381  stirlinglem4  42382  stirlinglem5  42383  stirlinglem6  42384  stirlinglem7  42385  stirlinglem8  42386  stirlinglem10  42388  stirlinglem11  42389  stirlinglem12  42390  stirlinglem13  42391  stirlinglem14  42392  stirlinglem15  42393  dirkerper  42401  dirkertrigeqlem1  42403  fouriersw  42536  nnfoctbdjlem  42757  deccarry  43531  subsubelfzo0  43546  sqrtpwpw2p  43720  fmtnodvds  43726  fmtnoprmfac1  43747  fmtnoprmfac2lem1  43748  fmtnoprmfac2  43749  lighneallem2  43791  lighneallem3  43792  lighneallem4  43795  nnennexALTV  43886  perfectALTV  43908  fppr2odd  43916  fpprwppr  43924  fpprwpprb  43925  tgoldbachlt  44001  nnsgrp  44104  nnsgrpnmnd  44105  bcpascm1  44419  altgsumbcALT  44421  eluz2cnn0n1  44586  pw2m1lepw2m1  44595  mod0mul  44599  m1modmmod  44601  nnennex  44605  logbpw2m1  44647  blenpw2m1  44659  nnpw2blen  44660  nnpw2pmod  44663  blennnt2  44669  blennn0em1  44671  nn0digval  44680  dignn0fr  44681  dignn0ldlem  44682  dig0  44686  nn0sumshdiglemA  44699  nn0sumshdiglemB  44700  nn0sumshdiglem1  44701