Theorem nncn 12154

Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nncn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nncn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 12151	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3933	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℂcc 11026  ℕcn 12146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086  ax-addcl 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147

This theorem is referenced by:  nncni  12156  nn1m1nn  12167  nn1suc  12168  nnaddcl  12169  nnmulcl  12170  nnmtmip  12172  nnneneg  12181  nnsub  12190  nndiv  12192  nndivtr  12193  nnnn0addcl  12432  nn0nnaddcl  12433  elnnnn0  12445  nn0sub  12452  nnnegz  12492  elz2  12507  zaddcl  12533  nnaddm1cl  12551  zdiv  12564  zdivadd  12565  zdivmul  12566  nneo  12578  peano5uzi  12583  elq  12869  qmulz  12870  qaddcl  12884  qnegcl  12885  qmulcl  12886  qreccl  12888  rpnnen1lem5  12900  nnledivrp  13025  nn0ledivnn  13026  fseq1m1p1  13520  ubmelm1fzo  13684  subfzo0  13710  quoremz  13777  quoremnn0ALT  13779  intfracq  13781  fldiv  13782  fldiv2  13783  modmulnn  13811  addmodid  13844  addmodidr  13845  modaddmodup  13859  modfzo0difsn  13868  modsumfzodifsn  13869  addmodlteq  13871  nn0ennn  13904  ser1const  13983  expneg  13994  expm1t  14015  nnsqcl  14053  nnlesq  14130  digit2  14161  digit1  14162  expnngt1  14166  facdiv  14212  facndiv  14213  faclbnd  14215  faclbnd4lem1  14218  faclbnd4lem4  14221  bcn1  14238  bcm1k  14240  bcp1n  14241  bcval5  14243  bcn2m1  14249  cshwidxmod  14727  cshwidxm  14732  cshwidxn  14733  repswcshw  14736  isercoll2  15594  divcnv  15778  harmonic  15784  arisum  15785  arisum2  15786  expcnv  15789  pwdif  15793  geomulcvg  15801  mertenslem2  15810  ef0lem  16003  efexp  16028  ruclem12  16168  sqrt2irr  16176  nndivides  16191  modmulconst  16217  dvdsflip  16246  nn0enne  16306  nno  16311  pwp1fsum  16320  divalgmod  16335  ndvdsadd  16339  modgcd  16461  gcdmultiplez  16464  gcddiv  16480  rpmulgcd  16486  rplpwr  16487  sqgcd  16491  expgcd  16492  nn0expgcd  16493  lcmgcdlem  16535  qredeq  16586  qredeu  16587  cncongrcoprm  16599  prmind2  16614  isprm6  16643  divnumden  16677  divdenle  16678  nn0gcdsq  16681  hashgcdlem  16717  pythagtriplem1  16746  pythagtriplem2  16747  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem12  16756  pythagtriplem14  16758  pythagtriplem15  16759  pythagtriplem16  16760  pythagtriplem17  16761  pythagtriplem19  16763  pcqcl  16786  pcexp  16789  pcneg  16804  fldivp1  16827  oddprmdvds  16833  prmpwdvds  16834  infpnlem2  16841  prmreclem1  16846  prmreclem6  16851  4sqlem19  16893  vdwapun  16904  vdwapid1  16905  prmonn2  16969  prmgaplem7  16987  mulgnegnn  18981  mulgnnass  19006  mulgmodid  19010  odmod  19443  cnfldmulg  21328  prmirredlem  21397  znidomb  21486  znrrg  21490  cply1mul  22199  chfacfscmul0  22761  chfacfscmulfsupp  22762  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmul0  22765  chfacfpmmulfsupp  22766  chfacfpmmulgsum  22767  cayhamlem1  22769  cpmadugsumlemF  22779  ovolunlem1  25414  uniioombllem3  25502  vitali  25530  mbfi1fseqlem3  25634  dvexp  25873  dvexp3  25898  plyeq0lem  26131  dgrcolem1  26195  aaliou3lem2  26267  aaliou3lem7  26273  pserdv2  26356  abelthlem6  26362  logtayl  26585  logtaylsum  26586  logtayl2  26587  cxpexp  26593  cxproot  26615  root1id  26680  root1eq1  26681  cxpeq  26683  logbgcd1irr  26720  atantayl  26863  atantayl2  26864  birthdaylem2  26878  dfef2  26897  emcllem2  26923  emcllem3  26924  zetacvg  26941  lgam1  26990  gamfac  26993  basellem2  27008  basellem3  27009  basellem5  27011  basellem8  27014  mumul  27107  fsumdvdscom  27111  muinv  27119  chtublem  27138  perfect  27158  pcbcctr  27203  bclbnd  27207  bposlem1  27211  bposlem6  27216  lgssq2  27265  gausslemma2dlem1a  27292  gausslemma2dlem3  27295  2lgslem1a1  27316  2sqlem6  27350  2sqlem10  27355  2sqnn  27366  2sqreunnltlem  27377  rplogsumlem1  27411  dchrmusumlema  27420  dchrmusum2  27421  dchrvmasumiflem1  27428  dchrvmaeq0  27431  dchrisum0re  27440  logdivbnd  27483  cusgrsize2inds  29417  wlkdlem2  29645  crctcshwlkn0lem1  29773  crctcshwlkn0lem6  29778  0enwwlksnge1  29827  wspthsnonn0vne  29880  clwwlknwwlksn  30000  clwwlkinwwlk  30002  clwwlkel  30008  clwwlkf  30009  clwwlkf1  30011  wwlksubclwwlk  30020  eucrctshift  30205  eucrct2eupth  30207  numclwwlk2lem1  30338  numclwlk2lem2f  30339  numclwlk2lem2f1o  30341  ipasslem4  30796  ipasslem5  30797  isarchi3  33139  oddpwdc  34321  eulerpartlemb  34335  fibp1  34368  subfacp1lem6  35157  subfaclim  35160  snmlff  35301  circum  35646  divcnvlin  35705  bcprod  35710  iprodgam  35714  faclim  35718  faclim2  35720  nn0prpwlem  36295  nndivsub  36430  knoppndvlem13  36497  poimirlem13  37612  poimirlem14  37613  poimirlem29  37628  poimirlem30  37629  poimirlem31  37630  poimirlem32  37631  mblfinlem2  37637  ovoliunnfl  37641  voliunnfl  37643  facp2  42116  nnadd1com  42240  nnaddcom  42241  dvdsexpnn0  42307  renegmulnnass  42438  fimgmcyc  42507  dffltz  42607  irrapxlem1  42795  pellexlem1  42802  pellqrex  42852  2nn0ind  42918  jm2.17c  42935  acongrep  42953  jm2.18  42961  jm2.20nn  42970  jm2.16nn0  42977  proot1ex  43169  hashnzfzclim  44295  binomcxplemnotnn0  44329  nnsplit  45338  clim1fr1  45583  sumnnodd  45612  wallispilem4  46050  wallispilem5  46051  wallispi  46052  wallispi2lem1  46053  wallispi2lem2  46054  wallispi2  46055  stirlinglem1  46056  stirlinglem3  46058  stirlinglem4  46059  stirlinglem5  46060  stirlinglem6  46061  stirlinglem7  46062  stirlinglem8  46063  stirlinglem10  46065  stirlinglem11  46066  stirlinglem12  46067  stirlinglem13  46068  stirlinglem14  46069  stirlinglem15  46070  dirkerper  46078  dirkertrigeqlem1  46080  fouriersw  46213  nnfoctbdjlem  46437  deccarry  47296  subsubelfzo0  47311  submodlt  47335  mod0mul  47341  m1modmmod  47343  modlt0b  47348  sqrtpwpw2p  47523  fmtnodvds  47529  fmtnoprmfac1  47550  fmtnoprmfac2lem1  47551  fmtnoprmfac2  47552  lighneallem2  47591  lighneallem3  47592  lighneallem4  47595  nnennexALTV  47686  perfectALTV  47708  fppr2odd  47716  fpprwppr  47724  fpprwpprb  47725  tgoldbachlt  47801  gpgedgvtx0  48046  gpg3kgrtriexlem2  48069  gpg3kgrtriexlem5  48072  gpg3kgrtriex  48074  nnsgrp  48162  nnsgrpnmnd  48163  bcpascm1  48336  altgsumbcALT  48338  eluz2cnn0n1  48497  pw2m1lepw2m1  48506  nnennex  48511  logbpw2m1  48553  blenpw2m1  48565  nnpw2blen  48566  nnpw2pmod  48569  blennnt2  48575  blennn0em1  48577  nn0digval  48586  dignn0fr  48587  dignn0ldlem  48588  dig0  48592  nn0sumshdiglemA  48605  nn0sumshdiglemB  48606  nn0sumshdiglem1  48607