Theorem decadd 12730

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decadd.e	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12694	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12679	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12679	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decadd.e	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13		decadd.f	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 12723	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
15		dfdec10 12679	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16	14, 15	eqtr4i 2755	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677

This theorem is referenced by:  decaddm10  12735  decaddi  12736  10p10e20  12771  dec5dvds2  17003  2exp16  17029  37prm  17059  43prm  17060  317prm  17064  631prm  17065  1259lem2  17070  1259lem3  17071  1259lem4  17072  2503lem1  17075  2503lem2  17076  4001lem1  17079  4001lem2  17080  4001lem3  17081  log2ublem3  26821  log2ub  26822  1kp2ke3k  30194  hgt750lemd  34179  hgt750lem2  34183  12gcd5e1  41375  3lexlogpow5ineq1  41426  decpmul  41732  sqdeccom12  41733  sq3deccom12  41734  ex-decpmul  41738  resqrtvalex  42946  imsqrtvalex  42947  fmtno5lem4  46770  257prm  46775  fmtno4prmfac  46786  fmtno4nprmfac193  46788  fmtno5faclem3  46795  fmtno5fac  46796