Theorem decadd 12191

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decadd.e	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12155	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12140	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2781	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12140	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2781	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decadd.e	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13		decadd.f	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 12184	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
15		dfdec10 12140	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16	14, 15	eqtr4i 2784	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  ℕ₀cn0 11934  ;cdc 12137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-ltxr 10718  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-dec 12138

This theorem is referenced by:  decaddm10  12196  decaddi  12197  10p10e20  12232  dec5dvds2  16456  2exp16  16482  37prm  16512  43prm  16513  317prm  16517  631prm  16518  1259lem2  16523  1259lem3  16524  1259lem4  16525  2503lem1  16528  2503lem2  16529  4001lem1  16532  4001lem2  16533  4001lem3  16534  log2ublem3  25633  log2ub  25634  1kp2ke3k  28330  hgt750lemd  32147  hgt750lem2  32151  12gcd5e1  39592  3lexlogpow5ineq1  39643  decpmul  39840  sqdeccom12  39841  sq3deccom12  39842  ex-decpmul  39844  resqrtvalex  40740  imsqrtvalex  40741  fmtno5lem4  44463  257prm  44468  fmtno4prmfac  44479  fmtno4nprmfac193  44481  fmtno5faclem3  44488  fmtno5fac  44489