Theorem decadd 12673

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decadd.e	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12637	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12622	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12622	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decadd.e	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13		decadd.f	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 12666	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
15		dfdec10 12622	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16	14, 15	eqtr4i 2763	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-dec 12620

This theorem is referenced by:  decaddm10  12678  decaddi  12679  10p10e20  12714  dec5dvds2  17005  2exp16  17030  37prm  17060  43prm  17061  317prm  17065  631prm  17066  1259lem2  17071  1259lem3  17072  1259lem4  17073  2503lem1  17076  2503lem2  17077  4001lem1  17080  4001lem2  17081  4001lem3  17082  log2ublem3  26926  log2ub  26927  1kp2ke3k  30533  hgt750lemd  34825  hgt750lem2  34829  12gcd5e1  42367  3lexlogpow5ineq1  42418  decpmul  42652  sqdeccom12  42653  sq3deccom12  42654  ex-decpmul  42670  resqrtvalex  43995  imsqrtvalex  43996  fmtno5lem4  47910  257prm  47915  fmtno4prmfac  47926  fmtno4nprmfac193  47928  fmtno5faclem3  47935  fmtno5fac  47936