Theorem decadd 12648

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.n	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decadd.e	⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f	⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹

Assertion

Ref	Expression
decadd	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12612	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decma.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		dfdec10 12597	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		dfdec10 12597	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decadd.e	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13		decadd.f	. . 3 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	numadd 12641	. 2 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
15		dfdec10 12597	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((;10 · 𝐸) + 𝐹)
16	14, 15	eqtr4i 2757	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7352  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017  ℕ₀cn0 12387  ;cdc 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-ltxr 11157  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-dec 12595

This theorem is referenced by:  decaddm10  12653  decaddi  12654  10p10e20  12689  dec5dvds2  16983  2exp16  17008  37prm  17038  43prm  17039  317prm  17043  631prm  17044  1259lem2  17049  1259lem3  17050  1259lem4  17051  2503lem1  17054  2503lem2  17055  4001lem1  17058  4001lem2  17059  4001lem3  17060  log2ublem3  26891  log2ub  26892  1kp2ke3k  30433  hgt750lemd  34668  hgt750lem2  34672  12gcd5e1  42102  3lexlogpow5ineq1  42153  decpmul  42387  sqdeccom12  42388  sq3deccom12  42389  ex-decpmul  42405  resqrtvalex  43743  imsqrtvalex  43744  fmtno5lem4  47661  257prm  47666  fmtno4prmfac  47677  fmtno4nprmfac193  47679  fmtno5faclem3  47686  fmtno5fac  47687