MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decadd 12630
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.a 𝐴 ∈ ℕ0
decma.b 𝐵 ∈ ℕ0
decma.c 𝐶 ∈ ℕ0
decma.d 𝐷 ∈ ℕ0
decma.m 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.n 𝑁 = 𝐶𝐷
decadd.e (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
decadd.f (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
decadd (𝑀 + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decadd
StepHypRef Expression
1 10nn0 12594 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.m . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 dfdec10 12579 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2765 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.n . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 dfdec10 12579 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2765 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decadd.e . . 3 (𝐴 + 𝐶) = 𝐸
13 decadd.f . . 3 (𝐵 + 𝐷) = 𝐹
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13numadd 12623 . 2 (𝑀 + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
15 dfdec10 12579 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
1614, 15eqtr4i 2768 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐸𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  (class class class)co 7351  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  0cn0 12371  cdc 12576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-dec 12577
This theorem is referenced by:  decaddm10  12635  decaddi  12636  10p10e20  12671  dec5dvds2  16897  2exp16  16923  37prm  16953  43prm  16954  317prm  16958  631prm  16959  1259lem2  16964  1259lem3  16965  1259lem4  16966  2503lem1  16969  2503lem2  16970  4001lem1  16973  4001lem2  16974  4001lem3  16975  log2ublem3  26250  log2ub  26251  1kp2ke3k  29219  hgt750lemd  33073  hgt750lem2  33077  12gcd5e1  40398  3lexlogpow5ineq1  40449  decpmul  40711  sqdeccom12  40712  sq3deccom12  40713  ex-decpmul  40715  resqrtvalex  41828  imsqrtvalex  41829  fmtno5lem4  45649  257prm  45654  fmtno4prmfac  45665  fmtno4nprmfac193  45667  fmtno5faclem3  45674  fmtno5fac  45675
  Copyright terms: Public domain W3C validator