MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numaddc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numaddc 12341
Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.8 𝐹 ∈ ℕ0
numaddc.9 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numaddc (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numaddc
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
3 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
4 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 12306 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2834 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0cni 12102 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
87mulid1i 10837 . . 3 (𝑀 · 1) = 𝑀
98oveq1i 7223 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
11 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
12 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13 1nn0 12106 . . 3 1 ∈ ℕ0
14 numaddc.8 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
153nn0cni 12102 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1615mulid1i 10837 . . . . 5 (𝐴 · 1) = 𝐴
1716oveq1i 7223 . . . 4 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
1810nn0cni 12102 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
19 ax-1cn 10787 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2015, 18, 19addassi 10843 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
21 numaddc.9 . . . 4 ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
2217, 20, 213eqtr2i 2771 . . 3 ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
234nn0cni 12102 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2423mulid1i 10837 . . . . 5 (𝐵 · 1) = 𝐵
2524oveq1i 7223 . . . 4 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
26 numaddc.10 . . . 4 (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
2725, 26eqtri 2765 . . 3 ((𝐵 · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
282, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27nummac 12338 . 2 ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
299, 28eqtr3i 2767 1 (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  0cn0 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-nn 11831  df-n0 12091
This theorem is referenced by:  decaddc  12348
  Copyright terms: Public domain W3C validator