Theorem numaddc 12761

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.8	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numaddc.9	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10	⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numaddc	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 12726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12520	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulridi 11254	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 7434	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 12524	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		numaddc.8	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	3	nn0cni 12520	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	mulridi 11254	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
17	16	oveq1i 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
18	10	nn0cni 12520	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
19		ax-1cn 11202	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	15, 18, 19	addassi 11260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
21		numaddc.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
22	17, 20, 21	3eqtr2i 2761	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
23	4	nn0cni 12520	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
24	23	mulridi 11254	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
25	24	oveq1i 7434	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
26		numaddc.10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
27	25, 26	eqtri 2755	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
28	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27	nummac 12758	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
29	9, 28	eqtr3i 2757	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  ℕ₀cn0 12508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-nn 12249  df-n0 12509

This theorem is referenced by:  decaddc  12768