Theorem numaddc 11984

Description: Add two decimal integers 𝑀 and 𝑁 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numaddc.8	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numaddc.9	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
numaddc.10	⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numaddc	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numaddc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 11949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2877	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 11746	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
8	7	mulid1i 10480	. . 3 ⊢ (𝑀 · 1) = 𝑀
9	8	oveq1i 7017	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = (𝑀 + 𝑁)
10		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
11		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
13		1nn0 11750	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		numaddc.8	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
15	3	nn0cni 11746	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	15	mulid1i 10480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 1) = 𝐴
17	16	oveq1i 7017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
18	10	nn0cni 11746	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
19		ax-1cn 10430	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	15, 18, 19	addassi 10486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
21		numaddc.9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐸
22	17, 20, 21	3eqtr2i 2823	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 1) + (𝐶 + 1)) = 𝐸
23	4	nn0cni 11746	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
24	23	mulid1i 10480	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 1) = 𝐵
25	24	oveq1i 7017	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = (𝐵 + 𝐷)
26		numaddc.10	. . . 4 ⊢ (𝐵 + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
27	25, 26	eqtri 2817	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 1) + 𝐷) = ((𝑇 · 1) + 𝐹)
28	2, 3, 4, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 13, 22, 27	nummac 11981	. 2 ⊢ ((𝑀 · 1) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
29	9, 28	eqtr3i 2819	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  ℕ₀cn0 11734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-ltxr 10515  df-sub 10708  df-nn 11476  df-n0 11735

This theorem is referenced by:  decaddc  11991