MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numma2c 12483
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
numma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c
StepHypRef Expression
1 numma2c.8 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ0
21nn0cni 12245 . . . 4 𝑃 ∈ ℂ
3 numma.6 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
5 numma.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
6 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
74, 5, 6numcl 12450 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
83, 7eqeltri 2835 . . . . 5 𝑀 ∈ ℕ0
98nn0cni 12245 . . . 4 𝑀 ∈ ℂ
102, 9mulcomi 10983 . . 3 (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
1110oveq1i 7285 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12 numma.4 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
13 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
14 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15 numma2c.9 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
16 numma2c.10 . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
175nn0cni 12245 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1817, 2mulcomi 10983 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1918oveq1i 7285 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20 numma2c.11 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
2119, 20eqtri 2766 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
226nn0cni 12245 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2322, 2mulcomi 10983 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
2423oveq1i 7285 . . . 4 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25 numma2c.12 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
2624, 25eqtri 2766 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
274, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26nummac 12482 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
2811, 27eqtri 2766 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  (class class class)co 7275   + caddc 10874   · cmul 10876  0cn0 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-nn 11974  df-n0 12234
This theorem is referenced by:  decma2c  12490
  Copyright terms: Public domain W3C validator