Theorem numma2c 12143

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma2c.8	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 11908	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
3		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
5		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	3, 7	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 11908	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
10	2, 9	mulcomi 10648	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
11	10	oveq1i 7165	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15		numma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
16		numma2c.10	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
17	5	nn0cni 11908	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
18	17, 2	mulcomi 10648	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
19	18	oveq1i 7165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20		numma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
21	19, 20	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
22	6	nn0cni 11908	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	22, 2	mulcomi 10648	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
24	23	oveq1i 7165	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25		numma2c.12	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
26	24, 25	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
27	4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26	nummac 12142	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
28	11, 27	eqtri 2844	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7155   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕ₀cn0 11896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-ltxr 10679  df-sub 10871  df-nn 11638  df-n0 11897

This theorem is referenced by:  decma2c  12150