MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numma2c 12724
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numma2c.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
numma2c.9 ๐น โˆˆ โ„•0
numma2c.10 ๐บ โˆˆ โ„•0
numma2c.11 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
numma2c.12 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
Assertion
Ref Expression
numma2c ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numma2c
StepHypRef Expression
1 numma2c.8 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
21nn0cni 12485 . . . 4 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
3 numma.6 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
4 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
5 numma.2 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„•0
6 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
74, 5, 6numcl 12691 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
83, 7eqeltri 2823 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12485 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
102, 9mulcomi 11223 . . 3 (๐‘ƒ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ƒ)
1110oveq1i 7414 . 2 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘)
12 numma.4 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
13 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
14 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
15 numma2c.9 . . 3 ๐น โˆˆ โ„•0
16 numma2c.10 . . 3 ๐บ โˆˆ โ„•0
175nn0cni 12485 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1817, 2mulcomi 11223 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐ด)
1918oveq1i 7414 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ))
20 numma2c.11 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
2119, 20eqtri 2754 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
226nn0cni 12485 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2322, 2mulcomi 11223 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐ต)
2423oveq1i 7414 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท)
25 numma2c.12 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
2624, 25eqtri 2754 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
274, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26nummac 12723 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
2811, 27eqtri 2754 1 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•0cn0 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-nn 12214  df-n0 12474
This theorem is referenced by:  decma2c  12731
  Copyright terms: Public domain W3C validator