![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numma2c | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐ and ๐ against a fixed multiplicand ๐ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
numma.1 | โข ๐ โ โ0 |
numma.2 | โข ๐ด โ โ0 |
numma.3 | โข ๐ต โ โ0 |
numma.4 | โข ๐ถ โ โ0 |
numma.5 | โข ๐ท โ โ0 |
numma.6 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) |
numma.7 | โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) |
numma2c.8 | โข ๐ โ โ0 |
numma2c.9 | โข ๐น โ โ0 |
numma2c.10 | โข ๐บ โ โ0 |
numma2c.11 | โข ((๐ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ |
numma2c.12 | โข ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐บ) + ๐น) |
Ref | Expression |
---|---|
numma2c | โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | numma2c.8 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 | |
2 | 1 | nn0cni 12520 | . . . 4 โข ๐ โ โ |
3 | numma.6 | . . . . . 6 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) | |
4 | numma.1 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ0 | |
5 | numma.2 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
6 | numma.3 | . . . . . . 7 โข ๐ต โ โ0 | |
7 | 4, 5, 6 | numcl 12726 | . . . . . 6 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ต) โ โ0 |
8 | 3, 7 | eqeltri 2824 | . . . . 5 โข ๐ โ โ0 |
9 | 8 | nn0cni 12520 | . . . 4 โข ๐ โ โ |
10 | 2, 9 | mulcomi 11258 | . . 3 โข (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) |
11 | 10 | oveq1i 7434 | . 2 โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐) + ๐) |
12 | numma.4 | . . 3 โข ๐ถ โ โ0 | |
13 | numma.5 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
14 | numma.7 | . . 3 โข ๐ = ((๐ ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
15 | numma2c.9 | . . 3 โข ๐น โ โ0 | |
16 | numma2c.10 | . . 3 โข ๐บ โ โ0 | |
17 | 5 | nn0cni 12520 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
18 | 17, 2 | mulcomi 11258 | . . . . 5 โข (๐ด ยท ๐) = (๐ ยท ๐ด) |
19 | 18 | oveq1i 7434 | . . . 4 โข ((๐ด ยท ๐) + (๐ถ + ๐บ)) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) |
20 | numma2c.11 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ | |
21 | 19, 20 | eqtri 2755 | . . 3 โข ((๐ด ยท ๐) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ |
22 | 6 | nn0cni 12520 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
23 | 22, 2 | mulcomi 11258 | . . . . 5 โข (๐ต ยท ๐) = (๐ ยท ๐ต) |
24 | 23 | oveq1i 7434 | . . . 4 โข ((๐ต ยท ๐) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
25 | numma2c.12 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐บ) + ๐น) | |
26 | 24, 25 | eqtri 2755 | . . 3 โข ((๐ต ยท ๐) + ๐ท) = ((๐ ยท ๐บ) + ๐น) |
27 | 4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26 | nummac 12758 | . 2 โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
28 | 11, 27 | eqtri 2755 | 1 โข ((๐ ยท ๐) + ๐) = ((๐ ยท ๐ธ) + ๐น) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7424 + caddc 11147 ยท cmul 11149 โ0cn0 12508 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 ax-resscn 11201 ax-1cn 11202 ax-icn 11203 ax-addcl 11204 ax-addrcl 11205 ax-mulcl 11206 ax-mulrcl 11207 ax-mulcom 11208 ax-addass 11209 ax-mulass 11210 ax-distr 11211 ax-i2m1 11212 ax-1ne0 11213 ax-1rid 11214 ax-rnegex 11215 ax-rrecex 11216 ax-cnre 11217 ax-pre-lttri 11218 ax-pre-lttrn 11219 ax-pre-ltadd 11220 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-lim 6377 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7875 df-2nd 7998 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-rdg 8435 df-er 8729 df-en 8969 df-dom 8970 df-sdom 8971 df-pnf 11286 df-mnf 11287 df-ltxr 11289 df-sub 11482 df-nn 12249 df-n0 12509 |
This theorem is referenced by: decma2c 12766 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |