MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numma2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numma2c 12759
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers ๐‘€ and ๐‘ against a fixed multiplicand ๐‘ƒ (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
numma.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numma.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numma.4 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numma.5 ๐ท โˆˆ โ„•0
numma.6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
numma.7 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
numma2c.8 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
numma2c.9 ๐น โˆˆ โ„•0
numma2c.10 ๐บ โˆˆ โ„•0
numma2c.11 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
numma2c.12 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
Assertion
Ref Expression
numma2c ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)

Proof of Theorem numma2c
StepHypRef Expression
1 numma2c.8 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0
21nn0cni 12520 . . . 4 ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚
3 numma.6 . . . . . 6 ๐‘€ = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต)
4 numma.1 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„•0
5 numma.2 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„•0
6 numma.3 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„•0
74, 5, 6numcl 12726 . . . . . 6 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ต) โˆˆ โ„•0
83, 7eqeltri 2824 . . . . 5 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
98nn0cni 12520 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
102, 9mulcomi 11258 . . 3 (๐‘ƒ ยท ๐‘€) = (๐‘€ ยท ๐‘ƒ)
1110oveq1i 7434 . 2 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘)
12 numma.4 . . 3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
13 numma.5 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
14 numma.7 . . 3 ๐‘ = ((๐‘‡ ยท ๐ถ) + ๐ท)
15 numma2c.9 . . 3 ๐น โˆˆ โ„•0
16 numma2c.10 . . 3 ๐บ โˆˆ โ„•0
175nn0cni 12520 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
1817, 2mulcomi 11258 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐ด)
1918oveq1i 7434 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ))
20 numma2c.11 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ด) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
2119, 20eqtri 2755 . . 3 ((๐ด ยท ๐‘ƒ) + (๐ถ + ๐บ)) = ๐ธ
226nn0cni 12520 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
2322, 2mulcomi 11258 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐ต)
2423oveq1i 7434 . . . 4 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท)
25 numma2c.12 . . . 4 ((๐‘ƒ ยท ๐ต) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
2624, 25eqtri 2755 . . 3 ((๐ต ยท ๐‘ƒ) + ๐ท) = ((๐‘‡ ยท ๐บ) + ๐น)
274, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26nummac 12758 . 2 ((๐‘€ ยท ๐‘ƒ) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
2811, 27eqtri 2755 1 ((๐‘ƒ ยท ๐‘€) + ๐‘) = ((๐‘‡ ยท ๐ธ) + ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7424   + caddc 11147   ยท cmul 11149  โ„•0cn0 12508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-nn 12249  df-n0 12509
This theorem is referenced by:  decma2c  12766
  Copyright terms: Public domain W3C validator