Theorem numma2c 12780

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma2c.8	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
3		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
5		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	3, 7	eqeltri 2862	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12534	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
10	2, 9	mulcomi 11235	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
11	10	oveq1i 7433	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15		numma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
16		numma2c.10	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
17	5	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
18	17, 2	mulcomi 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
19	18	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20		numma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
21	19, 20	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
22	6	nn0cni 12534	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	22, 2	mulcomi 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
24	23	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25		numma2c.12	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
26	24, 25	eqtri 2789	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
27	4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26	nummac 12779	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
28	11, 27	eqtri 2789	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕ₀cn0 12522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-nn 12252  df-n0 12523

This theorem is used by:  decma2c  12787