Theorem numma2c 12804

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma2c.8	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
3		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
5		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 12771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	3, 7	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
10	2, 9	mulcomi 11298	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
11	10	oveq1i 7458	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15		numma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
16		numma2c.10	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
17	5	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
18	17, 2	mulcomi 11298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
19	18	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20		numma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
21	19, 20	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
22	6	nn0cni 12565	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	22, 2	mulcomi 11298	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
24	23	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25		numma2c.12	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
26	24, 25	eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
27	4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26	nummac 12803	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
28	11, 27	eqtri 2768	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   + caddc 11187   · cmul 11189  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  decma2c  12811