MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eqi 28639
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2eqi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 28599 . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 eqid 2798 . . . . . 6 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
53, 4nvmcl 28429 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an1 1445 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8 oveq1 7142 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
97, 8eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
109rspcv 3566 . . . 4 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
116, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
13 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
153, 4, 14dipsubdi 28632 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
161, 15mpan 689 . . . . . . 7 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
176, 12, 13, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
1817eqeq1d 2800 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19 eqid 2798 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
203, 19, 14ipz 28502 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
212, 20mpan 689 . . . . . 6 ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
226, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
2318, 22bitr3d 284 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈)))
243, 14dipcl 28495 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
252, 24mp3an1 1445 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
266, 12, 25syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
273, 14dipcl 28495 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
282, 27mp3an1 1445 . . . . . 6 (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
296, 28sylancom 591 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
3026, 29subeq0ad 10996 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
313, 4, 19nvmeq0 28441 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
322, 31mp3an1 1445 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵) = (0vec𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3323, 30, 323bitr3d 312 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3411, 33sylibd 242 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35 oveq2 7143 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3635ralrimivw 3150 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
3734, 36impbid1 228 1 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526  cmin 10859  NrmCVeccnv 28367  BaseSetcba 28369  0veccn0v 28371  𝑣 cnsb 28372  ·𝑖OLDcdip 28483  CPreHilOLDccphlo 28595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-t1 21919  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-grpo 28276  df-gid 28277  df-ginv 28278  df-gdiv 28279  df-ablo 28328  df-vc 28342  df-nv 28375  df-va 28378  df-ba 28379  df-sm 28380  df-0v 28381  df-vs 28382  df-nmcv 28383  df-ims 28384  df-dip 28484  df-ph 28596
This theorem is referenced by:  phoeqi  28640
  Copyright terms: Public domain W3C validator