Theorem ip2eqi 30758

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2eqi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30718	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 4	nvmcl 30548	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
10	9	rspcv 3581	. . . 4 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	3, 4, 14	dipsubdi 30751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
16	1, 15	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
18	17	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
20	3, 19, 14	ipz 30621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
21	2, 20	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
23	18, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
24	3, 14	dipcl 30614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
25	2, 24	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
26	6, 12, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
27	3, 14	dipcl 30614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
28	2, 27	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
29	6, 28	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
30	26, 29	subeq0ad 11519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
31	3, 4, 19	nvmeq0 30560	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
32	2, 31	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	23, 30, 32	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
34	11, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq2 7377	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
36	35	ralrimivw 3129	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
37	34, 36	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   − cmin 11381  NrmCVeccnv 30486  BaseSetcba 30488  0_veccn0v 30490   −_𝑣 cnsb 30491  ·_𝑖OLDcdip 30602  CPreHil_OLDccphlo 30714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-t1 23177  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-dip 30603  df-ph 30715

This theorem is referenced by:  phoeqi  30759