Theorem ip2eqi 30875

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2eqi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30835	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 4	nvmcl 30665	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
10	9	rspcv 3618	. . . 4 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	3, 4, 14	dipsubdi 30868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
16	1, 15	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
20	3, 19, 14	ipz 30738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
21	2, 20	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
23	18, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
24	3, 14	dipcl 30731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
25	2, 24	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
26	6, 12, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
27	3, 14	dipcl 30731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
28	2, 27	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
29	6, 28	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
30	26, 29	subeq0ad 11630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
31	3, 4, 19	nvmeq0 30677	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
32	2, 31	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	23, 30, 32	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
34	11, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq2 7439	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
36	35	ralrimivw 3150	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
37	34, 36	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   − cmin 11492  NrmCVeccnv 30603  BaseSetcba 30605  0_veccn0v 30607   −_𝑣 cnsb 30608  ·_𝑖OLDcdip 30719  CPreHil_OLDccphlo 30831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ph 30832

This theorem is referenced by:  phoeqi  30876