MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eqi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ip2eqi 30374
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip2eqi.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip2eqi.u π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
ip2eqi ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑃   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑋
Proof of Theorem ip2eqi
StepHypRef Expression
1 ip2eqi.u . . . . . 6 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30334 . . . . 5 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ip2eqi.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2730 . . . . . 6 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
53, 4nvmcl 30164 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an1 1446 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋)
7 oveq1 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴))
8 oveq1 7420 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) β†’ (π‘₯𝑃𝐡) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡))
97, 8eqeq12d 2746 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) β†’ ((π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) ↔ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
109rspcv 3609 . . . 4 ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
116, 10syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
12 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
14 ip2eqi.7 . . . . . . . . 9 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
153, 4, 14dipsubdi 30367 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
161, 15mpan 686 . . . . . . 7 (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
176, 12, 13, 16syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
1817eqeq1d 2732 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = 0 ↔ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)) = 0))
19 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘ˆ) = (0vecβ€˜π‘ˆ)
203, 19, 14ipz 30237 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = 0 ↔ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
212, 20mpan 686 . . . . . 6 ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 β†’ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = 0 ↔ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
226, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = 0 ↔ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
2318, 22bitr3d 280 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)) = 0 ↔ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ)))
243, 14dipcl 30230 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) ∈ β„‚)
252, 24mp3an1 1446 . . . . . 6 (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) ∈ β„‚)
266, 12, 25syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) ∈ β„‚)
273, 14dipcl 30230 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
282, 27mp3an1 1446 . . . . . 6 (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
296, 28sylancom 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
3026, 29subeq0ad 11587 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) βˆ’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)) = 0 ↔ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡)))
313, 4, 19nvmeq0 30176 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
322, 31mp3an1 1446 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (0vecβ€˜π‘ˆ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3323, 30, 323bitr3d 308 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐴) = ((𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)𝑃𝐡) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3411, 33sylibd 238 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡))
35 oveq2 7421 . . 3 (𝐴 = 𝐡 β†’ (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡))
3635ralrimivw 3148 . 2 (𝐴 = 𝐡 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡))
3734, 36impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘₯𝑃𝐴) = (π‘₯𝑃𝐡) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  β„‚cc 11112  0cc0 11114   βˆ’ cmin 11450  NrmCVeccnv 30102  BaseSetcba 30104  0veccn0v 30106   βˆ’π‘£ cnsb 30107  Β·π‘–OLDcdip 30218  CPreHilOLDccphlo 30330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-t1 23040  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-dip 30219  df-ph 30331
This theorem is referenced by:  phoeqi  30375
  Copyright terms: Public domain W3C validator