Theorem ip2eqi 30800

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2eqi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30760	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 4	nvmcl 30590	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
10	9	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	3, 4, 14	dipsubdi 30793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
16	1, 15	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
18	17	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
20	3, 19, 14	ipz 30663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
21	2, 20	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
23	18, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
24	3, 14	dipcl 30656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
25	2, 24	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
26	6, 12, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
27	3, 14	dipcl 30656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
28	2, 27	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
29	6, 28	sylancom 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
30	26, 29	subeq0ad 11485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
31	3, 4, 19	nvmeq0 30602	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
32	2, 31	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	23, 30, 32	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
34	11, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq2 7357	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
36	35	ralrimivw 3125	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
37	34, 36	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009   − cmin 11347  NrmCVeccnv 30528  BaseSetcba 30530  0_veccn0v 30532   −_𝑣 cnsb 30533  ·_𝑖OLDcdip 30644  CPreHil_OLDccphlo 30756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-t1 23199  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-grpo 30437  df-gid 30438  df-ginv 30439  df-gdiv 30440  df-ablo 30489  df-vc 30503  df-nv 30536  df-va 30539  df-ba 30540  df-sm 30541  df-0v 30542  df-vs 30543  df-nmcv 30544  df-ims 30545  df-dip 30645  df-ph 30757

This theorem is referenced by:  phoeqi  30801