Theorem ip2eqi 30916

Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip2eqi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip2eqi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Assertion

Ref	Expression
ip2eqi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ip2eqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2eqi.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 30876	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2eqi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
5	3, 4	nvmcl 30706	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴))
8		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → (𝑥𝑃𝐵) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) → ((𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
10	9	rspcv 3561	. . . 4 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
12		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14		ip2eqi.7	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
15	3, 4, 14	dipsubdi 30909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ CPreHilOLD ∧ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
16	1, 15	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
17	6, 12, 13, 16	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0))
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
20	3, 19, 14	ipz 30779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
21	2, 20	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
22	6, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
23	18, 22	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈)))
24	3, 14	dipcl 30772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
25	2, 24	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
26	6, 12, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) ∈ ℂ)
27	3, 14	dipcl 30772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
28	2, 27	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
29	6, 28	sylancom 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
30	26, 29	subeq0ad 11503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) − ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)) = 0 ↔ ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵)))
31	3, 4, 19	nvmeq0 30718	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
32	2, 31	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (0vec‘𝑈) ↔ 𝐴 = 𝐵))
33	23, 30, 32	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐴) = ((𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
34	11, 33	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
35		oveq2 7366	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
36	35	ralrimivw 3134	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵))
37	34, 36	impbid1 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥𝑃𝐴) = (𝑥𝑃𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027   − cmin 11365  NrmCVeccnv 30644  BaseSetcba 30646  0_veccn0v 30648   −_𝑣 cnsb 30649  ·_𝑖OLDcdip 30760  CPreHil_OLDccphlo 30872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-sum 15611  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-cnfld 21312  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-t1 23257  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-grpo 30553  df-gid 30554  df-ginv 30555  df-gdiv 30556  df-ablo 30605  df-vc 30619  df-nv 30652  df-va 30655  df-ba 30656  df-sm 30657  df-0v 30658  df-vs 30659  df-nmcv 30660  df-ims 30661  df-dip 30761  df-ph 30873

This theorem is referenced by:  phoeqi  30917