Theorem o1add 15518

Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1add	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1add

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11086	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2		addcl 11085	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
3		simp2l 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11128	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15343	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ∈ ℝ)
7	3	abscld 15343	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
8	4	abscld 15343	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
9	7, 8	readdcld 11138	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ∈ ℝ)
10		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simp1r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11138	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	3, 4	abstrid 15363	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)))
14		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ≤ 𝑥)
15		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)
16	7, 8, 10, 11, 14, 15	le2addd 11733	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
17	6, 9, 12, 13, 16	letrd 11267	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
18	17	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦)))
19	1, 2, 18	o1of2 15517	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  ℂcc 11001  ℝcr 11002   + caddc 11006   ≤ cle 11144  abscabs 15138  𝑂(1)co1 15390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-o1 15394

This theorem is referenced by:  o1add2  15528  o1dif  15534  fsumo1  15716  mudivsum  27466  selberglem2  27482  pntrsumo1  27501