Theorem o1add 15576

Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1add	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1add

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11121	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2		addcl 11120	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
3		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 11164	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑚 + 𝑛) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15401	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ∈ ℝ)
7	3	abscld 15401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
8	4	abscld 15401	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
9	7, 8	readdcld 11174	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ∈ ℝ)
10		simp1l 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simp1r 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11174	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	3, 4	abstrid 15421	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)))
14		simp3l 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ≤ 𝑥)
15		simp3r 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)
16	7, 8, 10, 11, 14, 15	le2addd 11769	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
17	6, 9, 12, 13, 16	letrd 11303	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
18	17	3expia 1122	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝑚 + 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦)))
19	1, 2, 18	o1of2 15575	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   ≤ cle 11180  abscabs 15196  𝑂(1)co1 15448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-o1 15452

This theorem is referenced by:  o1add2  15586  o1dif  15592  fsumo1  15775  mudivsum  27493  selberglem2  27509  pntrsumo1  27528