Theorem o1sub 15705

Description: The difference of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1sub	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1sub

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11210	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2		subcl 11483	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑚 − 𝑛) ∈ ℂ)
3		simp2l 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑛 ∈ ℂ)
5	3, 4	subcld 11596	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑚 − 𝑛) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15528	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 − 𝑛)) ∈ ℝ)
7	3	abscld 15528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
8	4	abscld 15528	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ∈ ℝ)
9	7, 8	readdcld 11265	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ∈ ℝ)
10		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		simp1r 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
12	10, 11	readdcld 11265	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
13	3, 4	abs2dif2d 15550	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 − 𝑛)) ≤ ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)))
14		simp3l 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑚) ≤ 𝑥)
15		simp3r 1221	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)
16	7, 8, 10, 11, 14, 15	le2addd 11860	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → ((abs‘𝑚) + (abs‘𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
17	6, 9, 12, 13, 16	letrd 11394	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦)) → (abs‘(𝑚 − 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦))
18	17	3expia 1139	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑚) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘𝑛) ≤ 𝑦) → (abs‘(𝑚 − 𝑛)) ≤ (𝑥 + 𝑦)))
19	1, 2, 18	o1of2 15702	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ 𝑂(1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  ℂcc 11125  ℝcr 11126   + caddc 11130   ≤ cle 11271   − cmin 11468  abscabs 15323  𝑂(1)co1 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-o1 15579

This theorem is used by:  o1sub2  15715  o1dif  15719  vmadivsum  27719  rpvmasumlem  27724  selberglem1  27782  selberg2  27788  pntrsumo1  27802  selbergr  27805