Theorem o1mul 15252

Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1mul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1mul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10887	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℝ)
2		mulcl 10886	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		simp2l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simp2r 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5	3, 4	absmuld 15094	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
6	3	abscld 15076	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7		simp1l 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
8	4	abscld 15076	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
9		simp1r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
10	3	absge0d 15084	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
11	4	absge0d 15084	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
12		simp3l 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ≤ 𝑚)
13		simp3r 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lemul12ad 11847	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
15	5, 14	eqbrtrd 5092	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
16	15	3expia 1119	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛)))
17	1, 2, 16	o1of2 15250	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  ℂcc 10800  ℝcr 10801   · cmul 10807   ≤ cle 10941  abscabs 14873  𝑂(1)co1 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-o1 15127

This theorem is referenced by:  o1mul2  15262  chebbnd2  26530  chto1lb  26531  chpo1ub  26533  selberg2lem  26603