Theorem o1mul 15561

Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1mul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1mul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11192	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℝ)
2		mulcl 11191	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		simp2l 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simp2r 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5	3, 4	absmuld 15403	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
6	3	abscld 15385	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7		simp1l 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
8	4	abscld 15385	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
9		simp1r 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
10	3	absge0d 15393	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
11	4	absge0d 15393	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
12		simp3l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ≤ 𝑚)
13		simp3r 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lemul12ad 12155	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
15	5, 14	eqbrtrd 5161	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
16	15	3expia 1118	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛)))
17	1, 2, 16	o1of2 15559	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘_f cof 7662  ℂcc 11105  ℝcr 11106   · cmul 11112   ≤ cle 11248  abscabs 15183  𝑂(1)co1 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-ico 13331  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-o1 15436

This theorem is referenced by:  o1mul2  15571  chebbnd2  27350  chto1lb  27351  chpo1ub  27353  selberg2lem  27423