MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mul 15591
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
o1mul ((๐น โˆˆ ๐‘‚(1) โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‚(1)) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ ๐‘‚(1))

Proof of Theorem o1mul
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 11223 . 2 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
2 mulcl 11222 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3 simp2l 1197 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4 simp2r 1198 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
53, 4absmuld 15433 . . . 4 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) = ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)))
63abscld 15415 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
7 simp1l 1195 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
84abscld 15415 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
9 simp1r 1196 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
103absge0d 15423 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฅ))
114absge0d 15423 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ฆ))
12 simp3l 1199 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š)
13 simp3r 1200 . . . . 5 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lemul12ad 12186 . . . 4 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜๐‘ฅ) ยท (absโ€˜๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘›))
155, 14eqbrtrd 5170 . . 3 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โˆง ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘›))
16153expia 1119 . 2 (((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘š โˆง (absโ€˜๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘›) โ†’ (absโ€˜(๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ)) โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘›)))
171, 2, 16o1of2 15589 1 ((๐น โˆˆ ๐‘‚(1) โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘‚(1)) โ†’ (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ ๐‘‚(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โˆ˜f cof 7683  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137   ยท cmul 11143   โ‰ค cle 11279  abscabs 15213  ๐‘‚(1)co1 15462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-o1 15466
This theorem is referenced by:  o1mul2  15601  chebbnd2  27409  chto1lb  27410  chpo1ub  27412  selberg2lem  27482
  Copyright terms: Public domain W3C validator