MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1sub 25589
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3 neg1rr 12328 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ -1 ∈ ℝ)
52, 4i1fmulc 25583 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
61, 5itg1add 25581 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))))
72, 4itg1mulc 25584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)))
8 itg1cl 25564 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
98recnd 11243 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
102, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
1110mulm1d 11667 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)) = -(∫1β€˜πΊ))
127, 11eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = -(∫1β€˜πΊ))
1312oveq2d 7420 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
146, 13eqtrd 2766 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
15 reex 11200 . . . 4 ℝ ∈ V
16 i1ff 25555 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ax-resscn 11166 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6727 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18sylancl 585 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
20 i1ff 25555 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
21 fss 6727 . . . . 5 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
2220, 17, 21sylancl 585 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
23 ofnegsub 12211 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2415, 19, 22, 23mp3an3an 1463 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2524fveq2d 6888 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
26 itg1cl 25564 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2726recnd 11243 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚)
28 negsub 11509 . . 3 (((∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
2927, 9, 28syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
3014, 25, 293eqtr3d 2774 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  β„‚cc 11107  β„cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  βˆ«1citg1 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-xmet 21228  df-met 21229  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499
This theorem is referenced by:  itg1lea  25592  itgitg1  25688  itg2addnclem  37051
  Copyright terms: Public domain W3C validator