Theorem itg1sub 24874

Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1sub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		neg1rr 12088	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
5	2, 4	i1fmulc 24868	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
6	1, 5	itg1add 24866	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
7	2, 4	itg1mulc 24869	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (-1 · (∫1‘𝐺)))
8		itg1cl 24849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
11	10	mulm1d 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (-1 · (∫1‘𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
12	7, 11	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
13	12	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
14	6, 13	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
15		reex 10962	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
16		i1ff 24840	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ax-resscn 10928	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6617	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20		i1ff 24840	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
21		fss 6617	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
22	20, 17, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
23		ofnegsub 11971	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
24	15, 19, 22, 23	mp3an3an 1466	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
25	24	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
26		itg1cl 24849	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11003	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
28		negsub 11269	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1‘𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
29	27, 9, 28	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
30	14, 25, 29	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  {csn 4561   × cxp 5587  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ∫₁citg1 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784

This theorem is referenced by:  itg1lea  24877  itgitg1  24973  itg2addnclem  35828