MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1sub 25659
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 simpr 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3 neg1rr 12365 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ -1 ∈ ℝ)
52, 4i1fmulc 25653 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
61, 5itg1add 25651 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))))
72, 4itg1mulc 25654 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)))
8 itg1cl 25634 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
98recnd 11280 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
102, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
1110mulm1d 11704 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)) = -(∫1β€˜πΊ))
127, 11eqtrd 2768 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = -(∫1β€˜πΊ))
1312oveq2d 7442 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
146, 13eqtrd 2768 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
15 reex 11237 . . . 4 ℝ ∈ V
16 i1ff 25625 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ax-resscn 11203 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6744 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18sylancl 584 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
20 i1ff 25625 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
21 fss 6744 . . . . 5 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
2220, 17, 21sylancl 584 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
23 ofnegsub 12248 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2415, 19, 22, 23mp3an3an 1463 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2524fveq2d 6906 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
26 itg1cl 25634 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2726recnd 11280 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚)
28 negsub 11546 . . 3 (((∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
2927, 9, 28syl2an 594 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
3014, 25, 293eqtr3d 2776 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  β„‚cc 11144  β„cr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  βˆ«1citg1 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-xmet 21279  df-met 21280  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569
This theorem is referenced by:  itg1lea  25662  itgitg1  25758  itg2addnclem  37177
  Copyright terms: Public domain W3C validator