Theorem itg1sub 25879

Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1sub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		neg1rr 12210	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
5	2, 4	i1fmulc 25873	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
6	1, 5	itg1add 25871	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
7	2, 4	itg1mulc 25874	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (-1 · (∫1‘𝐺)))
8		itg1cl 25855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
11	10	mulm1d 11672	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (-1 · (∫1‘𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
12	7, 11	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
13	12	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
14	6, 13	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
15		reex 11197	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
16		i1ff 25846	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ax-resscn 11163	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6722	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20		i1ff 25846	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
21		fss 6722	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
22	20, 17, 21	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
23		ofnegsub 12222	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
24	15, 19, 22, 23	mp3an3an 1495	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
25	24	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
26		itg1cl 25855	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11243	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
28		negsub 11512	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1‘𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
29	27, 9, 28	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
30	14, 25, 29	3eqtr3d 2805	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4588   × cxp 5658  dom cdm 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  ℂcc 11104  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  -cneg 11448  ∫₁citg1 25785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13144  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-xmet 21526  df-met 21527  df-ovol 25634  df-vol 25635  df-mbf 25789  df-itg1 25790

This theorem is used by:  itg1lea  25882  itgitg1  25979  itg2addnclem  38350