Theorem itg1sub 26057

Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1sub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		neg1rr 12330	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
5	2, 4	i1fmulc 26051	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
6	1, 5	itg1add 26049	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺))))
7	2, 4	itg1mulc 26052	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ( -1 · (∫1‘𝐺)))
8		itg1cl 26033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
11	10	mulm1d 11792	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ( -1 · (∫1‘𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
12	7, 11	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
13	12	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
14	6, 13	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
15		reex 11315	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
16		i1ff 26024	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ax-resscn 11281	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6745	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20		i1ff 26024	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
21		fss 6745	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
22	20, 17, 21	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
23		ofnegsub 12342	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
24	15, 19, 22, 23	mp3an3an 1497	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
25	24	fveq2d 6909	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
26		itg1cl 26033	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11361	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
28		negsub 11630	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1‘𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
29	27, 9, 28	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
30	14, 25, 29	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588   × cxp 5653  dom cdm 5655  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712  ℂcc 11222  ℝcr 11223  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   − cmin 11565   -cneg 11566  ∫₁citg1 25963

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xadd 13266  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-xmet 21698  df-met 21699  df-ovol 25812  df-vol 25813  df-mbf 25967  df-itg1 25968

This theorem is used by:  itg1lea  26060  itgitg1  26156  itg2addnclem  38780