MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1sub 23997
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹𝑓𝐺)) = ((∫1𝐹) − (∫1𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3 neg1rr 11606 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
52, 4i1fmulc 23991 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
61, 5itg1add 23989 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))))
72, 4itg1mulc 23992 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (-1 · (∫1𝐺)))
8 itg1cl 23973 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℝ)
98recnd 10522 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐺) ∈ ℂ)
102, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1𝐺) ∈ ℂ)
1110mulm1d 10946 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (-1 · (∫1𝐺)) = -(∫1𝐺))
127, 11eqtrd 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = -(∫1𝐺))
1312oveq2d 7039 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1𝐹) + -(∫1𝐺)))
146, 13eqtrd 2833 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = ((∫1𝐹) + -(∫1𝐺)))
15 reex 10481 . . . 4 ℝ ∈ V
16 i1ff 23964 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
17 ax-resscn 10447 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6402 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℂ)
20 i1ff 23964 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
21 fss 6402 . . . . 5 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
2220, 17, 21sylancl 586 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℂ)
23 ofnegsub 11490 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
2415, 19, 22, 23mp3an3an 1459 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
2524fveq2d 6549 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹𝑓𝐺)))
26 itg1cl 23973 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
2726recnd 10522 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℂ)
28 negsub 10788 . . 3 (((∫1𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1𝐹) + -(∫1𝐺)) = ((∫1𝐹) − (∫1𝐺)))
2927, 9, 28syl2an 595 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1𝐹) + -(∫1𝐺)) = ((∫1𝐹) − (∫1𝐺)))
3014, 25, 293eqtr3d 2841 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹𝑓𝐺)) = ((∫1𝐹) − (∫1𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  Vcvv 3440  wss 3865  {csn 4478   × cxp 5448  dom cdm 5450  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑓 cof 7272  cc 10388  cr 10389  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  cmin 10723  -cneg 10724  1citg1 23903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xadd 12362  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-xmet 20224  df-met 20225  df-ovol 23752  df-vol 23753  df-mbf 23907  df-itg1 23908
This theorem is referenced by:  itg1lea  24000  itgitg1  24096  itg2addnclem  34495
  Copyright terms: Public domain W3C validator