Theorem itg1sub 25643

Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1sub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Proof of Theorem itg1sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
3		neg1rr 12148	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
5	2, 4	i1fmulc 25637	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
6	1, 5	itg1add 25635	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
7	2, 4	itg1mulc 25638	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (-1 · (∫1‘𝐺)))
8		itg1cl 25619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
10	2, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘𝐺) ∈ ℂ)
11	10	mulm1d 11606	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (-1 · (∫1‘𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
12	7, 11	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = -(∫1‘𝐺))
13	12	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + (∫1‘((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
14	6, 13	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)))
15		reex 11135	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
16		i1ff 25610	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
17		ax-resscn 11101	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6686	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20		i1ff 25610	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
21		fss 6686	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
22	20, 17, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
23		ofnegsub 12160	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
24	15, 19, 22, 23	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
25	24	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
26		itg1cl 25619	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11178	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
28		negsub 11446	. . 3 ⊢ (((∫1‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (∫1‘𝐺) ∈ ℂ) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
29	27, 9, 28	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((∫1‘𝐹) + -(∫1‘𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))
30	14, 25, 29	3eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (∫1‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = ((∫1‘𝐹) − (∫1‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {csn 4585   × cxp 5629  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  ∫₁citg1 25549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553  df-itg1 25554

This theorem is referenced by:  itg1lea  25646  itgitg1  25743  itg2addnclem  37658