MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1sub 25218
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
3 neg1rr 12323 . . . . . 6 -1 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ -1 ∈ ℝ)
52, 4i1fmulc 25212 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
61, 5itg1add 25210 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))))
72, 4itg1mulc 25213 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)))
8 itg1cl 25193 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ ℝ)
98recnd 11238 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
102, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚)
1110mulm1d 11662 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (-1 Β· (∫1β€˜πΊ)) = -(∫1β€˜πΊ))
127, 11eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = -(∫1β€˜πΊ))
1312oveq2d 7421 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + (∫1β€˜((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
146, 13eqtrd 2772 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)))
15 reex 11197 . . . 4 ℝ ∈ V
16 i1ff 25184 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
17 ax-resscn 11163 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6731 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
20 i1ff 25184 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
21 fss 6731 . . . . 5 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
2220, 17, 21sylancl 586 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
23 ofnegsub 12206 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2415, 19, 22, 23mp3an3an 1467 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2524fveq2d 6892 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f + ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
26 itg1cl 25193 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2726recnd 11238 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚)
28 negsub 11504 . . 3 (((∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (∫1β€˜πΊ) ∈ β„‚) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
2927, 9, 28syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ ((∫1β€˜πΉ) + -(∫1β€˜πΊ)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
3014, 25, 293eqtr3d 2780 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) β†’ (∫1β€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = ((∫1β€˜πΉ) βˆ’ (∫1β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  itg1lea  25221  itgitg1  25317  itg2addnclem  36527
  Copyright terms: Public domain W3C validator