MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fsub 23696
Description: The difference of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fsub ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓𝐺) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fsub
StepHypRef Expression
1 i1ff 23664 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 ax-resscn 10196 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
3 fss 6197 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
41, 2, 3sylancl 568 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℂ)
5 i1ff 23664 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ)
6 fss 6197 . . . 4 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
75, 2, 6sylancl 568 . . 3 (𝐺 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℂ)
8 reex 10230 . . . 4 ℝ ∈ V
9 ofnegsub 11221 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
108, 9mp3an1 1559 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
114, 7, 10syl2an 577 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
12 simpl 468 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
13 simpr 471 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
14 neg1rr 11328 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
1613, 15i1fmulc 23691 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
1712, 16i1fadd 23683 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓 + ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
1811, 17eqeltrrd 2851 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹𝑓𝐺) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3724  {csn 4317   × cxp 5248  dom cdm 5250  wf 6028  (class class class)co 6794  𝑓 cof 7043  cc 10137  cr 10138  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144  cmin 10469  -cneg 10470  1citg1 23604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xadd 12153  df-ioo 12385  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-clim 14428  df-sum 14626  df-xmet 19955  df-met 19956  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23608  df-itg1 23609
This theorem is referenced by:  itg1lea  23700  mbfi1flimlem  23710  itg2addnclem  33794  itg2addnclem3  33796
  Copyright terms: Public domain W3C validator