Theorem i1fsub 25636

Description: The difference of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fsub	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11097	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
2		i1ff 25604	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ax-resscn 11063	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		fss 6667	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6		i1ff 25604	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
7		fss 6667	. . . 4 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
8	6, 3, 7	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
9		ofnegsub 12123	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℝ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
10	1, 5, 8, 9	mp3an3an 1469	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
13		neg1rr 12111	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → -1 ∈ ℝ)
15	12, 14	i1fmulc 25631	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ dom ∫1)
16	11, 15	i1fadd 25623	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f + ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
17	10, 16	eqeltrrd 2832	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573   × cxp 5612  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  ℂcc 11004  ℝcr 11005  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345  ∫₁citg1 25543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-xmet 21284  df-met 21285  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547  df-itg1 25548

This theorem is referenced by:  itg1lea  25640  mbfi1flimlem  25650  itg2addnclem  37721  itg2addnclem3  37723