Theorem dgrsub 26606

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26533	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3909	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3935	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 12318	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 26539	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3909	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 26555	. . . 4 ⊢ (((ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 26601	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
14		cnex 11294	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
15		plyf 26531	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
16		plyf 26531	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
17		ofnegsub 12331	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
18	14, 15, 16, 17	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
19	18	fveq2d 6900	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
20		neg1ne0 12320	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
21		dgrmulc 26605	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
22	4, 20, 21	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
24	22, 23	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	breq2d 5118	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
27	26, 25	ifbieq1d 4510	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
28	13, 19, 27	3brtr3d 5139	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7701  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218   ≤ cle 11357   − cmin 11554   -cneg 11555  Polycply 26517  degcdgr 26520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-0p 26006  df-ply 26521  df-coe 26523  df-dgr 26524

This theorem is used by:  dgrcolem2  26608  plydivlem4  26632  plydiveu  26634  dgrsub2  44280