Theorem dgrsub 26501

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26428	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3927	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3953	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 12230	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 26434	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3927	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 26450	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 26496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
14		cnex 11208	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
15		plyf 26426	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
16		plyf 26426	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
17		ofnegsub 12243	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
18	14, 15, 16, 17	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
19	18	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
20		neg1ne0 12232	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
21		dgrmulc 26500	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
22	4, 20, 21	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
24	22, 23	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	breq2d 5115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
27	26, 25	ifbieq1d 4507	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
28	13, 19, 27	3brtr3d 5136	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   ≤ cle 11271   − cmin 11468  -cneg 11469  Polycply 26412  degcdgr 26415

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-0p 25901  df-ply 26416  df-coe 26418  df-dgr 26419

This theorem is used by:  dgrcolem2  26503  plydivlem4  26529  plydiveu  26531  dgrsub2  43979