MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrsub 26327
Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrsub.1 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2 𝑁 = (deg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dgrsub ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f𝐺)) ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub
StepHypRef Expression
1 plyssc 26254 . . . 4 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
21sseli 3991 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3 ssid 4018 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
4 neg1cn 12378 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
5 plyconst 26260 . . . . 5 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
63, 4, 5mp2an 692 . . . 4 (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
71sseli 3991 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8 plymulcl 26275 . . . 4 (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
96, 7, 8sylancr 587 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10 dgrsub.1 . . . 4 𝑀 = (deg‘𝐹)
11 eqid 2735 . . . 4 (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
1210, 11dgradd 26322 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
132, 9, 12syl2an 596 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
14 cnex 11234 . . . 4 ℂ ∈ V
15 plyf 26252 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
16 plyf 26252 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
17 ofnegsub 12262 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
1814, 15, 16, 17mp3an3an 1466 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
1918fveq2d 6911 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹f𝐺)))
20 neg1ne0 12380 . . . . . . 7 -1 ≠ 0
21 dgrmulc 26326 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
224, 20, 21mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23 dgrsub.2 . . . . . 6 𝑁 = (deg‘𝐺)
2422, 23eqtr4di 2793 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
2524adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
2625breq2d 5160 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ↔ 𝑀𝑁))
2726, 25ifbieq1d 4555 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
2813, 19, 273brtr3d 5179 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹f𝐺)) ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491  Polycply 26238  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26329  plydivlem4  26353  plydiveu  26355  dgrsub2  43124
  Copyright terms: Public domain W3C validator