Theorem dgrsub 26429

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26357	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3933	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3959	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 12198	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 26363	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3933	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 26378	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 26424	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
14		cnex 11176	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
15		plyf 26355	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
16		plyf 26355	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
17		ofnegsub 12211	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
18	14, 15, 16, 17	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
19	18	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
20		neg1ne0 12200	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
21		dgrmulc 26428	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
22	4, 20, 21	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
24	22, 23	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
25	24	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	breq2d 5121	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
27	26, 25	ifbieq1d 4512	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
28	13, 19, 27	3brtr3d 5142	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ifcif 4487  {csn 4589   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  Polycply 26341  degcdgr 26344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-0p 25829  df-ply 26345  df-coe 26347  df-dgr 26348

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26431  plydivlem4  26457  plydiveu  26459  dgrsub2  43882