Theorem dgrsub 26178

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26105	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3942	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3969	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 12171	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 26111	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3942	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 26126	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 26173	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀))
14		cnex 11149	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
15		plyf 26103	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
16		plyf 26103	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
17		ofnegsub 12184	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
18	14, 15, 16, 17	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
19	18	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
20		neg1ne0 12173	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
21		dgrmulc 26177	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
22	4, 20, 21	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
24	22, 23	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	breq2d 5119	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
27	26, 25	ifbieq1d 4513	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
28	13, 19, 27	3brtr3d 5138	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406  Polycply 26089  degcdgr 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-0p 25571  df-ply 26093  df-coe 26095  df-dgr 26096

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26180  plydivlem4  26204  plydiveu  26206  dgrsub2  43124