Theorem dgrsub 24434

Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrsub.1	⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
dgrsub.2	⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dgrsub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Proof of Theorem dgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 24362	. . . 4 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2	1	sseli 3823	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3		ssid 3848	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
4		neg1cn 11479	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
5		plyconst 24368	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
6	3, 4, 5	mp2an 683	. . . 4 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
7	1	sseli 3823	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
8		plymulcl 24383	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
9	6, 7, 8	sylancr 581	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
10		dgrsub.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (deg‘𝐹)
11		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))
12	10, 11	dgradd 24429	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
13	2, 9, 12	syl2an 589	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) ≤ if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀))
14		plyf 24360	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
15		plyf 24360	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
16		cnex 10340	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
17		ofnegsub 11355	. . . . 5 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
18	16, 17	mp3an1 1576	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
19	14, 15, 18	syl2an 589	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))
20	19	fveq2d 6441	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
21		neg1ne0 11481	. . . . . . 7 ⊢ -1 ≠ 0
22		dgrmulc 24433	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
23	4, 21, 22	mp3an12 1579	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (deg‘𝐺))
24		dgrsub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (deg‘𝐺)
25	23, 24	syl6eqr 2879	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
26	25	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑁)
27	26	breq2d 4887	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
28	27, 26	ifbieq1d 4331	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → if(𝑀 ≤ (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), (deg‘((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)), 𝑀) = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
29	13, 20, 28	3brtr3d 4906	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875   × cxp 5344  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ∘_𝑓 cof 7160  ℂcc 10257  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   ≤ cle 10399   − cmin 10592  -cneg 10593  Polycply 24346  degcdgr 24349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-0p 23843  df-ply 24350  df-coe 24352  df-dgr 24353

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24436  plydivlem4  24457  plydiveu  24459  dgrsub2  38543