Theorem coesub 26582

Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coesub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coesub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Proof of Theorem coesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26524	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3	1, 2	sselid 3906	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4		ssid 3930	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		neg1cn 12309	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		plyconst 26530	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9	1, 8	sselid 3906	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10		plymulcl 26546	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × { -1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
11	7, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12		coesub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))
14	12, 13	coeadd 26576	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))))
15	3, 11, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))))
16		coemulc 26580	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × { -1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
17	5, 9, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × { -1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18		coesub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
19	18	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × { -1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
20	17, 19	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵))
21	20	oveq2d 7437	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵)))
22	15, 21	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵)))
23		cnex 11285	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
24		plyf 26522	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25		plyf 26522	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26		ofnegsub 12322	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1496	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
28	27	fveq2d 6890	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × { -1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
29		nn0ex 12616	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
30	12	coef3 26557	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	18	coef3 26557	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32		ofnegsub 12322	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
33	29, 30, 31, 32	mp3an3an 1496	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × { -1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
34	22, 28, 33	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  {csn 4584   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692  ℂcc 11202  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   − cmin 11545   -cneg 11546  ℕ₀cn0 12610  Polycply 26508  coeffccoe 26510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-0p 25997  df-ply 26512  df-coe 26514  df-dgr 26515

This theorem is used by:  dgrcolem2  26599  plydivlem4  26623  plydiveu  26625  vieta1lem2  26640  dgrsub2  44231