Theorem coesub 26222

Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coesub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coesub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Proof of Theorem coesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26165	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3	1, 2	sselid 3919	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4		ssid 3944	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		plyconst 26171	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9	1, 8	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10		plymulcl 26186	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
11	7, 9, 10	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12		coesub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
14	12, 13	coeadd 26216	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
15	3, 11, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
16		coemulc 26220	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
17	5, 9, 16	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18		coesub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
19	18	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
20	17, 19	eqtr4di 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵))
21	20	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
22	15, 21	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
23		cnex 11119	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
24		plyf 26163	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25		plyf 26163	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26		ofnegsub 12157	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1470	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
28	27	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
29		nn0ex 12443	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
30	12	coef3 26197	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	18	coef3 26197	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32		ofnegsub 12157	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
33	29, 30, 31, 32	mp3an3an 1470	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
34	22, 28, 33	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378  ℕ₀cn0 12437  Polycply 26149  coeffccoe 26151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26239  plydivlem4  26262  plydiveu  26264  vieta1lem2  26277  dgrsub2  43563