Theorem coesub 26192

Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coesub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coesub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Proof of Theorem coesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26135	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3	1, 2	sselid 3928	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4		ssid 3953	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		neg1cn 12119	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		plyconst 26141	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9	1, 8	sselid 3928	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10		plymulcl 26156	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12		coesub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
14	12, 13	coeadd 26186	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
15	3, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
16		coemulc 26190	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
17	5, 9, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18		coesub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
19	18	oveq2i 7365	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
20	17, 19	eqtr4di 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵))
21	20	oveq2d 7370	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
22	15, 21	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
23		cnex 11096	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
24		plyf 26133	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25		plyf 26133	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26		ofnegsub 12132	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
28	27	fveq2d 6834	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
29		nn0ex 12396	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
30	12	coef3 26167	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	18	coef3 26167	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32		ofnegsub 12132	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
33	29, 30, 31, 32	mp3an3an 1469	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
34	22, 28, 33	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4577   × cxp 5619  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∘_f cof 7616  ℂcc 11013  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   − cmin 11353  -cneg 11354  ℕ₀cn0 12390  Polycply 26119  coeffccoe 26121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-0p 25601  df-ply 26123  df-coe 26125  df-dgr 26126

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26210  plydivlem4  26234  plydiveu  26236  vieta1lem2  26249  dgrsub2  43255