Theorem coesub 26162

Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coesub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coesub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Proof of Theorem coesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 26105	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3	1, 2	sselid 3944	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4		ssid 3969	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		neg1cn 12171	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		plyconst 26111	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9	1, 8	sselid 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10		plymulcl 26126	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12		coesub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
14	12, 13	coeadd 26156	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
15	3, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
16		coemulc 26160	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
17	5, 9, 16	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18		coesub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
19	18	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
20	17, 19	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵))
21	20	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
22	15, 21	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
23		cnex 11149	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
24		plyf 26103	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25		plyf 26103	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26		ofnegsub 12184	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
28	27	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
29		nn0ex 12448	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
30	12	coef3 26137	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	18	coef3 26137	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32		ofnegsub 12184	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
33	29, 30, 31, 32	mp3an3an 1469	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
34	22, 28, 33	3eqtr3d 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406  ℕ₀cn0 12442  Polycply 26089  coeffccoe 26091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-0p 25571  df-ply 26093  df-coe 26095  df-dgr 26096

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26180  plydivlem4  26204  plydiveu  26206  vieta1lem2  26219  dgrsub2  43124