MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coesub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coesub 26297
Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coesub.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2 𝐵 = (coeff‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
coesub ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f𝐺)) = (𝐴f𝐵))

Proof of Theorem coesub
StepHypRef Expression
1 plyssc 26240 . . . . 5 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
31, 2sselid 3980 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4 ssid 4005 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
5 neg1cn 12381 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
6 plyconst 26246 . . . . . 6 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
74, 5, 6mp2an 692 . . . . 5 (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
91, 8sselid 3980 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10 plymulcl 26261 . . . . 5 (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
117, 9, 10sylancr 587 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12 coesub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13 eqid 2736 . . . . 5 (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
1412, 13coeadd 26291 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
153, 11, 14syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
16 coemulc 26295 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
175, 9, 16sylancr 587 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18 coesub.2 . . . . . 6 𝐵 = (coeff‘𝐺)
1918oveq2i 7443 . . . . 5 ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
2017, 19eqtr4di 2794 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵))
2120oveq2d 7448 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
2215, 21eqtrd 2776 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
23 cnex 11237 . . . 4 ℂ ∈ V
24 plyf 26238 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25 plyf 26238 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26 ofnegsub 12265 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
2723, 24, 25, 26mp3an3an 1468 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹f𝐺))
2827fveq2d 6909 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹f𝐺)))
29 nn0ex 12534 . . 3 0 ∈ V
3012coef3 26272 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3118coef3 26272 . . 3 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32 ofnegsub 12265 . . 3 ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴f𝐵))
3329, 30, 31, 32mp3an3an 1468 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴f𝐵))
3422, 28, 333eqtr3d 2784 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹f𝐺)) = (𝐴f𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625   × cxp 5682  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  cc 11154  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  -cneg 11494  0cn0 12528  Polycply 26224  coeffccoe 26226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-0p 25706  df-ply 26228  df-coe 26230  df-dgr 26231
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26315  plydivlem4  26339  plydiveu  26341  vieta1lem2  26354  dgrsub2  43152
  Copyright terms: Public domain W3C validator