Theorem coesub 24943

Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coesub.1	⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
coesub.2	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
coesub	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Proof of Theorem coesub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 24886	. . . . 5 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
3	1, 2	sseldi 3891	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
4		ssid 3915	. . . . . 6 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
5		neg1cn 11778	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
6		plyconst 24892	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ)
8		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9	1, 8	sseldi 3891	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
10		plymulcl 24907	. . . . 5 ⊢ (((ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
11	7, 9, 10	sylancr 591	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
12		coesub.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coeff‘𝐹)
13		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))
14	12, 13	coeadd 24937	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
15	3, 11, 14	syl2anc 588	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))))
16		coemulc 24941	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
17	5, 9, 16	sylancr 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺)))
18		coesub.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐺)
19	18	oveq2i 7159	. . . . 5 ⊢ ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · (coeff‘𝐺))
20	17, 19	eqtr4di 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵))
21	20	oveq2d 7164	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + (coeff‘((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
22	15, 21	eqtrd 2794	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)))
23		cnex 10646	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
24		plyf 24884	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
25		plyf 24884	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
26		ofnegsub 11662	. . . 4 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
27	23, 24, 25, 26	mp3an3an 1465	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺)) = (𝐹 ∘f − 𝐺))
28	27	fveq2d 6660	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f + ((ℂ × {-1}) ∘f · 𝐺))) = (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)))
29		nn0ex 11930	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
30	12	coef3 24918	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
31	18	coef3 24918	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
32		ofnegsub 11662	. . 3 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝐵:ℕ0⟶ℂ) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
33	29, 30, 31, 32	mp3an3an 1465	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐴 ∘f + ((ℕ0 × {-1}) ∘f · 𝐵)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))
34	22, 28, 33	3eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝐴 ∘f − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  {csn 4520   × cxp 5520  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148   ∘_f cof 7401  ℂcc 10563  1c1 10566   + caddc 10568   · cmul 10570   − cmin 10898  -cneg 10899  ℕ₀cn0 11924  Polycply 24870  coeffccoe 24872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-inf2 9127  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642  ax-pre-sup 10643  ax-addf 10644

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7403  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-map 8416  df-pm 8417  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-sup 8929  df-inf 8930  df-oi 8997  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-div 11326  df-nn 11665  df-2 11727  df-3 11728  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-rp 12421  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-fl 13201  df-seq 13409  df-exp 13470  df-hash 13731  df-cj 14496  df-re 14497  df-im 14498  df-sqrt 14632  df-abs 14633  df-clim 14883  df-rlim 14884  df-sum 15081  df-0p 24360  df-ply 24874  df-coe 24876  df-dgr 24877

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  24960  plydivlem4  24981  plydiveu  24983  vieta1lem2  24996  dgrsub2  40442