MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coesub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coesub 26005
Description: The coefficient function of a sum is the sum of coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coesub.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coesub.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coesub ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡))
Proof of Theorem coesub
StepHypRef Expression
1 plyssc 25948 . . . . 5 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
31, 2sselid 3981 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4 ssid 4005 . . . . . 6 β„‚ βŠ† β„‚
5 neg1cn 12332 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
6 plyconst 25954 . . . . . 6 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {-1}) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
74, 5, 6mp2an 688 . . . . 5 (β„‚ Γ— {-1}) ∈ (Polyβ€˜β„‚)
8 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
91, 8sselid 3981 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
10 plymulcl 25969 . . . . 5 (((β„‚ Γ— {-1}) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
117, 9, 10sylancr 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
12 coesub.1 . . . . 5 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
13 eqid 2730 . . . . 5 (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))
1412, 13coeadd 25999 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))))
153, 11, 14syl2anc 582 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝐴 ∘f + (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))))
16 coemulc 26003 . . . . . 6 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· (coeffβ€˜πΊ)))
175, 9, 16sylancr 585 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· (coeffβ€˜πΊ)))
18 coesub.2 . . . . . 6 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
1918oveq2i 7424 . . . . 5 ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡) = ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· (coeffβ€˜πΊ))
2017, 19eqtr4di 2788 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡))
2120oveq2d 7429 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 ∘f + (coeffβ€˜((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡)))
2215, 21eqtrd 2770 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (𝐴 ∘f + ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡)))
23 cnex 11195 . . . 4 β„‚ ∈ V
24 plyf 25946 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
25 plyf 25946 . . . 4 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
26 ofnegsub 12216 . . . 4 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2723, 24, 25, 26mp3an3an 1465 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺)) = (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))
2827fveq2d 6896 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + ((β„‚ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐺))) = (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
29 nn0ex 12484 . . 3 β„•0 ∈ V
3012coef3 25980 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
3118coef3 25980 . . 3 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
32 ofnegsub 12216 . . 3 ((β„•0 ∈ V ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (𝐴 ∘f + ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡)) = (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡))
3329, 30, 31, 32mp3an3an 1465 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 ∘f + ((β„•0 Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐡)) = (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡))
3422, 28, 333eqtr3d 2778 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝐴 ∘f βˆ’ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βŠ† wss 3949  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∘f cof 7672  β„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11450  -cneg 11451  β„•0cn0 12478  Polycply 25932  coeffccoe 25934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-0p 25421  df-ply 25936  df-coe 25938  df-dgr 25939
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  26022  plydivlem4  26043  plydiveu  26045  vieta1lem2  26058  dgrsub2  42181
  Copyright terms: Public domain W3C validator