Theorem facth 26498

Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
facth.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
facth	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		facth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
3	1, 2	plyrem 26497	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
4	3	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
5		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	5	sneqd 4603	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → {(𝐹‘𝐴)} = {0})
7	6	xpeq2d 5693	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}) = (ℂ × {0}))
8	4, 7	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9		cnex 11192	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 26386	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	1	plyremlem 26496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15	14	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
16	15	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17		plyssc 26388	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
18	17, 11	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
19	15	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20		ax-1ne0 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 26450	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
26	25	necon3i 2992	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 26494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
29	18, 16, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30		plymulcl 26409	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
31	16, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32		plyf 26386	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34		ofsubeq0 12226	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
35	10, 13, 33, 34	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
36	8, 35	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  {csn 4591   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   − cmin 11452  0_𝑝c0p 25859  Polycply 26372  X_pcidp 26373  degcdgr 26375   quot cquot 26482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-0p 25860  df-ply 26376  df-idp 26377  df-coe 26378  df-dgr 26379  df-quot 26483

This theorem is used by:  fta1lem  26499  vieta1lem1  26502  vieta1lem2  26503