Theorem facth 26184

Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
facth.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
facth	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		facth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
3	1, 2	plyrem 26183	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
4	3	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
5		simp3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	5	sneqd 4633	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → {(𝐹‘𝐴)} = {0})
7	6	xpeq2d 5697	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}) = (ℂ × {0}))
8	4, 7	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9		cnex 11188	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 26076	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	1	plyremlem 26182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15	14	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
16	15	simp1d 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17		plyssc 26078	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
18	17, 11	sselid 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
19	15	simp2d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20		ax-1ne0 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 26141	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
26	25	necon3i 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 26180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
29	18, 16, 27, 28	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30		plymulcl 26099	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
31	16, 29, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32		plyf 26076	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34		ofsubeq0 12208	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
35	10, 13, 33, 34	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
36	8, 35	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  {csn 4621   × cxp 5665  ^◡ccnv 5666   “ cima 5670  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘_f cof 7662  ℂcc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112   − cmin 11443  0_𝑝c0p 25542  Polycply 26062  X_pcidp 26063  degcdgr 26065   quot cquot 26168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25543  df-ply 26066  df-idp 26067  df-coe 26068  df-dgr 26069  df-quot 26169

This theorem is referenced by:  fta1lem  26185  vieta1lem1  26188  vieta1lem2  26189