Theorem facth 26363

Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
facth.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
facth	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		facth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
3	1, 2	plyrem 26362	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
4	3	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
5		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	5	sneqd 4643	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → {(𝐹‘𝐴)} = {0})
7	6	xpeq2d 5719	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}) = (ℂ × {0}))
8	4, 7	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9		cnex 11234	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 26252	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	1	plyremlem 26361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15	14	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
16	15	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17		plyssc 26254	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
18	17, 11	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
19	15	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20		ax-1ne0 11222	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 3006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 26317	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
26	25	necon3i 2971	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 26359	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
29	18, 16, 27, 28	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30		plymulcl 26275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
31	16, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32		plyf 26252	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34		ofsubeq0 12261	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
35	10, 13, 33, 34	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
36	8, 35	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  {csn 4631   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   − cmin 11490  0_𝑝c0p 25718  Polycply 26238  X_pcidp 26239  degcdgr 26241   quot cquot 26347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-idp 26243  df-coe 26244  df-dgr 26245  df-quot 26348

This theorem is referenced by:  fta1lem  26364  vieta1lem1  26367  vieta1lem2  26368