Theorem facth 26290

Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥 − 𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
facth.1	⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
facth	⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		facth.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (Xp ∘f − (ℂ × {𝐴}))
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))
3	1, 2	plyrem 26289	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
4	3	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}))
5		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹‘𝐴) = 0)
6	5	sneqd 4567	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → {(𝐹‘𝐴)} = {0})
7	6	xpeq2d 5648	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹‘𝐴)}) = (ℂ × {0}))
8	4, 7	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9		cnex 11110	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11		simp1 1142	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12		plyf 26181	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	1	plyremlem 26288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15	14	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (◡𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
16	15	simp1d 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17		plyssc 26183	. . . . . . 7 ⊢ (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
18	17, 11	sselid 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
19	15	simp2d 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20		ax-1ne0 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23		fveq2 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24		dgr0 26245	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg‘0𝑝) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
26	25	necon3i 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
27	22, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28		quotcl2 26286	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
29	18, 16, 27, 28	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30		plymulcl 26204	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
31	16, 29, 30	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32		plyf 26181	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34		ofsubeq0 12147	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
35	10, 13, 33, 34	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ((𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺))))
36	8, 35	mpbid 233	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺 ∘f · (𝐹 quot 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431  {csn 4555   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   − cmin 11368  0_𝑝c0p 25654  Polycply 26167  X_pcidp 26168  degcdgr 26170   quot cquot 26274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-0p 25655  df-ply 26171  df-idp 26172  df-coe 26173  df-dgr 26174  df-quot 26275

This theorem is referenced by:  fta1lem  26291  vieta1lem1  26294  vieta1lem2  26295