MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facth 26334
Description: The factor theorem. If a polynomial 𝐹 has a root at 𝐴, then 𝐺 = 𝑥𝐴 is a factor of 𝐹 (and the other factor is 𝐹 quot 𝐺). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
facth.1 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
facth ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))

Proof of Theorem facth
StepHypRef Expression
1 facth.1 . . . . 5 𝐺 = (Xpf − (ℂ × {𝐴}))
2 eqid 2726 . . . . 5 (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
31, 2plyrem 26333 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹𝐴)}))
433adant3 1129 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {(𝐹𝐴)}))
5 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹𝐴) = 0)
65sneqd 4645 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → {(𝐹𝐴)} = {0})
76xpeq2d 5712 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (ℂ × {(𝐹𝐴)}) = (ℂ × {0}))
84, 7eqtrd 2766 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}))
9 cnex 11239 . . . 4 ℂ ∈ V
109a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ℂ ∈ V)
11 simp1 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
12 plyf 26225 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
141plyremlem 26332 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
15143ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝐺) = 1 ∧ (𝐺 “ {0}) = {𝐴}))
1615simp1d 1139 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
17 plyssc 26227 . . . . . . 7 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
1817, 11sselid 3977 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
1915simp2d 1140 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) = 1)
20 ax-1ne0 11227 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 1 ≠ 0)
2219, 21eqnetrd 2998 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (deg‘𝐺) ≠ 0)
23 fveq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = (deg‘0𝑝))
24 dgr0 26290 . . . . . . . . 9 (deg‘0𝑝) = 0
2523, 24eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 (𝐺 = 0𝑝 → (deg‘𝐺) = 0)
2625necon3i 2963 . . . . . . 7 ((deg‘𝐺) ≠ 0 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
2722, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
28 quotcl2 26330 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
2918, 16, 27, 28syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
30 plymulcl 26248 . . . . 5 ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
3116, 29, 30syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
32 plyf 26225 . . . 4 ((𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ)
34 ofsubeq0 12261 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))))
3510, 13, 33, 34syl3anc 1368 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ((𝐹f − (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺))))
368, 35mpbid 231 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐹 = (𝐺f · (𝐹 quot 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  {csn 4633   × cxp 5680  ccnv 5681  cima 5685  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  cc 11156  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163  cmin 11494  0𝑝c0p 25689  Polycply 26211  Xpcidp 26212  degcdgr 26214   quot cquot 26318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-0p 25690  df-ply 26215  df-idp 26216  df-coe 26217  df-dgr 26218  df-quot 26319
This theorem is referenced by:  fta1lem  26335  vieta1lem1  26338  vieta1lem2  26339
  Copyright terms: Public domain W3C validator