plydiveu - Metamath Proof Explorer

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Theorem plydiveu 26340

Description: Lemma for plydivalg 26341. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
plydiveu.q	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd	⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t	⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
plydiveu.p	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd	⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))

**Assertion**
Ref	Expression
plydiveu	⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦 𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦 𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑅,𝑝,𝑥,𝑦 𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑞,𝑝) 𝑅(𝑞) 𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
2		plydiveu.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7		plydiv.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8		plydiv.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9		plydiv.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
10		plydiv.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	plydivlem2 26336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
12	2, 11	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13		plydiveu.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plydiveu.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	plydivlem2 26336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
16	13, 15	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
17	12, 16, 3, 4, 6	plysub 26258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18		dgrcl 26272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
20	19	nn0red 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℝ)
21		dgrcl 26272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
23	22	nn0red 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24		dgrcl 26272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
25	12, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
26	25	nn0red 12588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
27	23, 26	ifcld 4572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28		dgrcl 26272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
29	8, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
30	29	nn0red 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
33	31, 32	dgrsub 26312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
34	12, 16, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35		plydiveu.pd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
37	32, 36	dgrlt 26306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
38	16, 29, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
39	35, 38	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
40	39	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41		plydiveu.qd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
43	31, 42	dgrlt 26306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
44	12, 29, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
45	41, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
46	45	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
49	47, 48	ifboth 4565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
50	40, 46, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
51	20, 27, 30, 34, 50	letrd 11418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
53	13, 2, 3, 4, 6	plysub 26258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54		dgrcl 26272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
56		nn0addge1 12572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
57	30, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
59		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60	7, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61	60	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
62	8, 2, 3, 4	plymul 26257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
65	64	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
66	8, 13, 3, 4	plymul 26257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
69	68	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
70	61, 65, 69	nnncan1d 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
71	70	mpteq2dva 5242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
72		cnex 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
74	61, 65	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
75	61, 69	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
76	60	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
77	64	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
78	73, 61, 65, 76, 77	offval2 7717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
79	10, 78	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
80	68	feqmptd 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))
81	73, 61, 69, 76, 80	offval2 7717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
82	14, 81	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
83	73, 74, 75, 79, 82	offval2 7717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))))
84	73, 69, 65, 80, 77	offval2 7717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
85	71, 83, 84	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
86		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
87	8, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
88		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
89	13, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
90		plyf 26237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
91	2, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
92		subdi 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	73, 87, 89, 91, 93	caofdi 7739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
95	85, 94	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)))
96	95	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
98	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
99	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
100	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)
102		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) = (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))
104	102, 103	dgrmul 26310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0_𝑝) ∧ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
105	98, 99, 100, 101, 104	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
106	97, 105	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
107	58, 106	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))
108	20, 30	letri3d 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
110	52, 107, 109	mpbir2and 713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺))
111	110	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)))
112	42, 36	coesub 26296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
113	12, 16, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
114	113	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
115	42	coef3 26271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ)
116		ffn 6736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
117	12, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
118	36	coef3 26271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ)
119		ffn 6736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
120	16, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
121		nn0ex 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ₀ ∈ V)
123		inidm 4227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ₀ ∩ ℕ₀) = ℕ₀
124	45	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
126	39	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128	117, 120, 122, 122, 123, 125, 127	ofval 7708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
129	29, 128	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130	114, 129	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131		0m0e0 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
132	130, 131	eqtrdi 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133	132	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134	111, 133	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0)
135		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
136		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
137	135, 136	dgreq0 26305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
138	17, 137	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
139	138	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
140	134, 139	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
141	140	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝))
142		plymul0or 26322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
143	8, 53, 142	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
144	95	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝))
145	9	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0_𝑝)
146		biorf 937	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 = 0_𝑝 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
148	143, 144, 147	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
149	141, 148	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
150	1, 149	pm2.61dne 3028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)
151		df-0p 25705	. . 3 ⊢ 0_𝑝 = (ℂ × {0})
152	150, 151	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}))
153		ofsubeq0 12263	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
154	72, 89, 91, 153	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155	152, 154	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 Vcvv 3480 ifcif 4525 {csn 4626 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 × cxp 5683 Fn wfn 6556 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 ∘_f cof 7695 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 -cneg 11493 / cdiv 11920 ℕ₀cn0 12526 0_𝑝c0p 25704 Polycply 26223 coeffccoe 26225 degcdgr 26226

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-of 7697 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-map 8868 df-pm 8869 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-inf 9483 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-fl 13832 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-rlim 15525 df-sum 15723 df-0p 25705 df-ply 26227 df-coe 26229 df-dgr 26230

This theorem is referenced by: plydivalg 26341

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