plydiveu - Metamath Proof Explorer

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Theorem plydiveu 25818

Description: Lemma for plydivalg 25819. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
plydiveu.q	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd	⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t	⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
plydiveu.p	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd	⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))

**Assertion**
Ref	Expression
plydiveu	⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦 𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦 𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑅,𝑝,𝑥,𝑦 𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑞,𝑝) 𝑅(𝑞) 𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
2		plydiveu.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7		plydiv.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8		plydiv.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9		plydiv.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
10		plydiv.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	plydivlem2 25814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
12	2, 11	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13		plydiveu.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plydiveu.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	plydivlem2 25814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
16	13, 15	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
17	12, 16, 3, 4, 6	plysub 25740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18		dgrcl 25754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
20	19	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℝ)
21		dgrcl 25754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
23	22	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24		dgrcl 25754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
25	12, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
26	25	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
27	23, 26	ifcld 4574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28		dgrcl 25754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
29	8, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
30	29	nn0red 12535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
33	31, 32	dgrsub 25793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
34	12, 16, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35		plydiveu.pd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
37	32, 36	dgrlt 25787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
38	16, 29, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
39	35, 38	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
40	39	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41		plydiveu.qd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
43	31, 42	dgrlt 25787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
44	12, 29, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
45	41, 44	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
46	45	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
49	47, 48	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
50	40, 46, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
51	20, 27, 30, 34, 50	letrd 11373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
53	13, 2, 3, 4, 6	plysub 25740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54		dgrcl 25754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
56		nn0addge1 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
57	30, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
59		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60	7, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61	60	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
62	8, 2, 3, 4	plymul 25739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
65	64	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
66	8, 13, 3, 4	plymul 25739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
69	68	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
70	61, 65, 69	nnncan1d 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
71	70	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
72		cnex 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
74	61, 65	subcld 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
75	61, 69	subcld 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
76	60	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
77	64	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
78	73, 61, 65, 76, 77	offval2 7692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
79	10, 78	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
80	68	feqmptd 6960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))
81	73, 61, 69, 76, 80	offval2 7692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
82	14, 81	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
83	73, 74, 75, 79, 82	offval2 7692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))))
84	73, 69, 65, 80, 77	offval2 7692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
85	71, 83, 84	3eqtr4d 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
86		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
87	8, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
88		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
89	13, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
90		plyf 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
91	2, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
92		subdi 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	73, 87, 89, 91, 93	caofdi 7711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
95	85, 94	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)))
96	95	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
98	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
99	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
100	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)
102		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) = (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))
104	102, 103	dgrmul 25791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0_𝑝) ∧ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
105	98, 99, 100, 101, 104	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
106	97, 105	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
107	58, 106	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))
108	20, 30	letri3d 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
110	52, 107, 109	mpbir2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺))
111	110	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)))
112	42, 36	coesub 25778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
113	12, 16, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
114	113	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
115	42	coef3 25753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ)
116		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
117	12, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
118	36	coef3 25753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ)
119		ffn 6717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
120	16, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
121		nn0ex 12480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ₀ ∈ V)
123		inidm 4218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ₀ ∩ ℕ₀) = ℕ₀
124	45	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
126	39	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128	117, 120, 122, 122, 123, 125, 127	ofval 7683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
129	29, 128	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130	114, 129	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131		0m0e0 12334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
132	130, 131	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134	111, 133	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0)
135		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
136		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
137	135, 136	dgreq0 25786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
138	17, 137	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
139	138	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
140	134, 139	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
141	140	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝))
142		plymul0or 25801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
143	8, 53, 142	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
144	95	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝))
145	9	neneqd 2945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0_𝑝)
146		biorf 935	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 = 0_𝑝 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
148	143, 144, 147	3bitr4d 310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
149	141, 148	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
150	1, 149	pm2.61dne 3028	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)
151		df-0p 25194	. . 3 ⊢ 0_𝑝 = (ℂ × {0})
152	150, 151	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}))
153		ofsubeq0 12211	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
154	72, 89, 91, 153	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155	152, 154	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 Vcvv 3474 ifcif 4528 {csn 4628 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 × cxp 5674 Fn wfn 6538 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7411 ∘_f cof 7670 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11250 ≤ cle 11251 − cmin 11446 -cneg 11447 / cdiv 11873 ℕ₀cn0 12474 0_𝑝c0p 25193 Polycply 25705 coeffccoe 25707 degcdgr 25708

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-of 7672 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11252 df-mnf 11253 df-xr 11254 df-ltxr 11255 df-le 11256 df-sub 11448 df-neg 11449 df-div 11874 df-nn 12215 df-2 12277 df-3 12278 df-n0 12475 df-z 12561 df-uz 12825 df-rp 12977 df-fz 13487 df-fzo 13630 df-fl 13759 df-seq 13969 df-exp 14030 df-hash 14293 df-cj 15048 df-re 15049 df-im 15050 df-sqrt 15184 df-abs 15185 df-clim 15434 df-rlim 15435 df-sum 15635 df-0p 25194 df-ply 25709 df-coe 25711 df-dgr 25712

This theorem is referenced by: plydivalg 25819

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