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Theorem plydiveu 25811
Description: Lemma for plydivalg 25812. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.z (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
plydiveu.q (πœ‘ β†’ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiveu.qd (πœ‘ β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
plydiveu.t 𝑇 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝))
plydiveu.p (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiveu.pd (πœ‘ β†’ (𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)))
Assertion
Ref Expression
plydiveu (πœ‘ β†’ 𝑝 = π‘ž)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   π‘ž,𝑝,π‘₯,𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘ž,𝑝)   𝑅(π‘ž)   𝑇(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 25807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
122, 11mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝))
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 25807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
1613, 15mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
1712, 16, 3, 4, 6plysub 25733 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
18 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ β„•0)
2019nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
21 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ β„•0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ β„•0)
2322nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
24 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
2625nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ ℝ)
2723, 26ifcld 4575 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ∈ ℝ)
28 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
3029nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ ℝ)
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜π‘…) = (degβ€˜π‘…)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜π‘‡)
3331, 32dgrsub 25786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)))
3412, 16, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)))
35 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)))
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeffβ€˜π‘‡) = (coeffβ€˜π‘‡)
3732, 36dgrlt 25780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3816, 29, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
4039simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ))
41 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
42 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeffβ€˜π‘…) = (coeffβ€˜π‘…)
4331, 42dgrlt 25780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
4412, 29, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
4645simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ))
47 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((degβ€˜π‘‡) = if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) β†’ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ↔ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ)))
48 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((degβ€˜π‘…) = if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) β†’ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ↔ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ)))
4947, 48ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . 13 (((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ)) β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5040, 46, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5120, 27, 30, 34, 50letrd 11371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5251adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5313, 2, 3, 4, 6plysub 25733 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
54 dgrcl 25747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
56 nn0addge1 12518 . . . . . . . . . . . . 13 (((degβ€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
5730, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
59 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
607, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
6160ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
628, 2, 3, 4plymul 25732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
63 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∘f Β· π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž):β„‚βŸΆβ„‚)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž):β„‚βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
668, 13, 3, 4plymul 25732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
67 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝):β„‚βŸΆβ„‚)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝):β„‚βŸΆβ„‚)
6968ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7061, 65, 69nnncan1d 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))) = (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)))
7170mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
72 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„‚ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
7461, 65subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
7561, 69subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
7660feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
7764feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)))
7873, 61, 65, 76, 77offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
7910, 78eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
8068feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))
8173, 61, 69, 76, 80offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))))
8214, 81eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))))
8373, 74, 75, 79, 82offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))))
8473, 69, 65, 80, 77offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
8571, 83, 843eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)))
86 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
878, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
88 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
8913, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
90 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚)
92 subdi 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 βˆ’ 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑧)))
9392adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 βˆ’ 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑧)))
9473, 87, 89, 91, 93caofdi 7709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)))
9585, 94eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)))
9695fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
988adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
999adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
10053adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝)
102 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
103 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))
104102, 103dgrmul 25784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10598, 99, 100, 101, 104syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10697, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10758, 106breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))
10820, 30letri3d 11356 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ) ↔ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))))
109108adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ) ↔ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))))
11052, 107, 109mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ))
111110fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)))
11242, 36coesub 25771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡)))
11312, 16, 112syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡)))
114113fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)))
11542coef3 25746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜π‘…):β„•0βŸΆβ„‚)
116 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeffβ€˜π‘…):β„•0βŸΆβ„‚ β†’ (coeffβ€˜π‘…) Fn β„•0)
11712, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘…) Fn β„•0)
11836coef3 25746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜π‘‡):β„•0βŸΆβ„‚)
119 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeffβ€˜π‘‡):β„•0βŸΆβ„‚ β†’ (coeffβ€˜π‘‡) Fn β„•0)
12016, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘‡) Fn β„•0)
121 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
123 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
12445simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
12639simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
127126adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
128117, 120, 122, 122, 123, 125, 127ofval 7681 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
12929, 128mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
130114, 129eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
131 0m0e0 12332 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
132130, 131eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
133132adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
134111, 133eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0)
135 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))
136 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))
137135, 136dgreq0 25779 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0))
13817, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0))
139138biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0) β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝)
140134, 139syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝)
141140ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝 β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝))
142 plymul0or 25794 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
1438, 53, 142syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
14495eqeq1d 2735 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝))
1459neneqd 2946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺 = 0𝑝)
146 biorf 936 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐺 = 0𝑝 β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
148143, 144, 1473bitr4d 311 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
149141, 148sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
1501, 149pm2.61dne 3029 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)
151 df-0p 25187 . . 3 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
152150, 151eqtrdi 2789 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}))
153 ofsubeq0 12209 . . 3 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘ž))
15472, 89, 91, 153mp3an2i 1467 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘ž))
155152, 154mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑝 = π‘ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•0cn0 12472  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  plydivalg  25812
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