plydiveu - Metamath Proof Explorer

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Theorem plydiveu 26282

Description: Lemma for plydivalg 26283. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
plydiveu.q	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd	⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t	⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
plydiveu.p	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd	⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))

**Assertion**
Ref	Expression
plydiveu	⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦 𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑇,𝑦 𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 𝑅,𝑝,𝑥,𝑦 𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑞,𝑝) 𝑅(𝑞) 𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idd 24	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
2		plydiveu.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7		plydiv.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8		plydiv.g	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9		plydiv.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
10		plydiv.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	plydivlem2 26278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
12	2, 11	mpdan 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13		plydiveu.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14		plydiveu.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 = (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝))
15	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14	plydivlem2 26278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
16	13, 15	mpdan 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
17	12, 16, 3, 4, 6	plysub 26202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18		dgrcl 26216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℕ₀)
20	19	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ∈ ℝ)
21		dgrcl 26216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ₀)
23	22	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24		dgrcl 26216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
25	12, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ₀)
26	25	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
27	23, 26	ifcld 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28		dgrcl 26216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
29	8, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀)
30	29	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
33	31, 32	dgrsub 26255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
34	12, 16, 33	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35		plydiveu.pd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
37	32, 36	dgrlt 26249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
38	16, 29, 37	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
39	35, 38	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
40	39	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41		plydiveu.qd	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
43	31, 42	dgrlt 26249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
44	12, 29, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 = 0_𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
45	41, 44	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
46	45	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
49	47, 48	ifboth 4494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
50	40, 46, 49	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
51	20, 27, 30, 34, 50	letrd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
53	13, 2, 3, 4, 6	plysub 26202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54		dgrcl 26216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀)
56		nn0addge1 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) ∈ ℕ₀) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
57	30, 55, 56	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
59		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
60	7, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
61	60	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
62	8, 2, 3, 4	plymul 26201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
65	64	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
66	8, 13, 3, 4	plymul 26201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
69	68	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
70	61, 65, 69	nnncan1d 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
71	70	mpteq2dva 5165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
72		cnex 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℂ ∈ V
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
74	61, 65	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
75	61, 69	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
76	60	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
77	64	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)))
78	73, 61, 65, 76, 77	offval2 7640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
79	10, 78	eqtrid 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
80	68	feqmptd 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))
81	73, 61, 69, 76, 80	offval2 7640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
82	14, 81	eqtrid 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧))))
83	73, 74, 75, 79, 82	offval2 7640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧)))))
84	73, 69, 65, 80, 77	offval2 7640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺 ∘_f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺 ∘_f · 𝑞)‘𝑧))))
85	71, 83, 84	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
86		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
87	8, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
88		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
89	13, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
90		plyf 26181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
91	2, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
92		subdi 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 − 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
94	73, 87, 89, 91, 93	caofdi 7662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = ((𝐺 ∘_f · 𝑝) ∘_f − (𝐺 ∘_f · 𝑞)))
95	85, 94	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)))
96	95	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))))
98	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
99	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → 𝐺 ≠ 0_𝑝)
100	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)
102		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞)) = (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))
104	102, 103	dgrmul 26253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0_𝑝) ∧ ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝)) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
105	98, 99, 100, 101, 104	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
106	97, 105	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝 ∘_f − 𝑞))))
107	58, 106	breqtrrd 5100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))
108	20, 30	letri3d 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)))))
110	52, 107, 109	mpbir2and 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘𝐺))
111	110	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)))
112	42, 36	coesub 26240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
113	12, 16, 112	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇)))
114	113	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
115	42	coef3 26215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ)
116		ffn 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑅):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
117	12, 115, 116	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ₀)
118	36	coef3 26215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ)
119		ffn 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((coeff‘𝑇):ℕ₀⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
120	16, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ₀)
121		nn0ex 12434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ₀ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ₀ ∈ V)
123		inidm 4155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ₀ ∩ ℕ₀) = ℕ₀
124	45	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
126	39	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128	117, 120, 122, 122, 123, 125, 127	ofval 7631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ₀) → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
129	29, 128	mpdan 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘_f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130	114, 129	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131		0m0e0 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 0) = 0
132	130, 131	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134	111, 133	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0)
135		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
136		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇)) = (coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))
137	135, 136	dgreq0 26248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∘_f − 𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
138	17, 137	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0))
139	138	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))‘(deg‘(𝑅 ∘_f − 𝑇))) = 0) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
140	134, 139	syldan 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝) → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝)
141	140	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝))
142		plymul0or 26265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝 ∘_f − 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
143	8, 53, 142	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
144	95	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 ∘_f · (𝑝 ∘_f − 𝑞)) = 0_𝑝))
145	9	neneqd 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0_𝑝)
146		biorf 942	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 = 0_𝑝 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
147	145, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝 ↔ (𝐺 = 0_𝑝 ∨ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)))
148	143, 144, 147	3bitr4d 312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ∘_f − 𝑇) = 0_𝑝 ↔ (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
149	141, 148	sylibd 240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) ≠ 0_𝑝 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝))
150	1, 149	pm2.61dne 3020	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = 0_𝑝)
151		df-0p 25655	. . 3 ⊢ 0_𝑝 = (ℂ × {0})
152	150, 151	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}))
153		ofsubeq0 12147	. . 3 ⊢ ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
154	72, 89, 91, 153	mp3an2i 1474	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∘_f − 𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155	152, 154	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 = 𝑞)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ≠ wne 2934 Vcvv 3431 ifcif 4454 {csn 4555 class class class wbr 5072 ↦ cmpt 5153 × cxp 5616 Fn wfn 6480 ⟶wf 6481 ‘cfv 6485 (class class class)co 7356 ∘_f cof 7618 ℂcc 11027 ℝcr 11028 0cc0 11029 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 < clt 11170 ≤ cle 11171 − cmin 11368 -cneg 11369 / cdiv 11798 ℕ₀cn0 12428 0_𝑝c0p 25654 Polycply 26167 coeffccoe 26169 degcdgr 26170

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-rep 5199 ax-sep 5218 ax-nul 5228 ax-pow 5294 ax-pr 5362 ax-un 7678 ax-inf2 9553 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4262 df-if 4455 df-pw 4531 df-sn 4556 df-pr 4558 df-op 4562 df-uni 4839 df-int 4878 df-iun 4923 df-br 5073 df-opab 5135 df-mpt 5154 df-tr 5180 df-id 5513 df-eprel 5518 df-po 5526 df-so 5527 df-fr 5571 df-se 5572 df-we 5573 df-xp 5624 df-rel 5625 df-cnv 5626 df-co 5627 df-dm 5628 df-rn 5629 df-res 5630 df-ima 5631 df-pred 6252 df-ord 6313 df-on 6314 df-lim 6315 df-suc 6316 df-iota 6441 df-fun 6487 df-fn 6488 df-f 6489 df-f1 6490 df-fo 6491 df-f1o 6492 df-fv 6493 df-isom 6494 df-riota 7313 df-ov 7359 df-oprab 7360 df-mpo 7361 df-of 7620 df-om 7807 df-1st 7931 df-2nd 7932 df-frecs 8221 df-wrecs 8252 df-recs 8301 df-rdg 8339 df-1o 8395 df-er 8633 df-map 8765 df-pm 8766 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9854 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-rp 12934 df-fz 13453 df-fzo 13600 df-fl 13742 df-seq 13955 df-exp 14015 df-hash 14284 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15441 df-rlim 15442 df-sum 15640 df-0p 25655 df-ply 26171 df-coe 26173 df-dgr 26174

This theorem is referenced by: plydivalg 26283

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