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Theorem plydiveu 25658
Description: Lemma for plydivalg 25659. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiveu.q (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t 𝑇 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑝))
plydiveu.p (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
Assertion
Ref Expression
plydiveu (𝜑𝑝 = 𝑞)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 25654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
122, 11mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑝))
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 25654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1613, 15mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1712, 16, 3, 4, 6plysub 25580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℕ0)
2019nn0red 12474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℝ)
21 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2322nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2625nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
2723, 26ifcld 4532 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3029nn0red 12474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
3331, 32dgrsub 25633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
3412, 16, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
3732, 36dgrlt 25627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3816, 29, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3935, 38mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
4331, 42dgrlt 25627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4412, 29, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4645simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
4947, 48ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5040, 46, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5120, 27, 30, 34, 50letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5313, 2, 3, 4, 6plysub 25580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0)
56 nn0addge1 12459 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
5730, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
59 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
607, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
6160ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
628, 2, 3, 4plymul 25579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6564ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
668, 13, 3, 4plymul 25579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6968ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
7061, 65, 69nnncan1d 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)))
7170mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
72 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ V)
7461, 65subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7561, 69subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7660feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
7764feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)))
7873, 61, 65, 76, 77offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
7910, 78eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
8068feqmptd 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))
8173, 61, 69, 76, 80offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))))
8214, 81eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))))
8373, 74, 75, 79, 82offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))))
8473, 69, 65, 80, 77offval2 7637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
8571, 83, 843eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)))
86 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
878, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
88 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
8913, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝:ℂ⟶ℂ)
90 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞:ℂ⟶ℂ)
92 subdi 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9473, 87, 89, 91, 93caofdi 7656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺f · (𝑝f𝑞)) = ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)))
9585, 94eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = (𝐺f · (𝑝f𝑞)))
9695fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))))
988adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
999adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10053adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝)
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘(𝑝f𝑞)) = (deg‘(𝑝f𝑞))
104102, 103dgrmul 25631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ ((𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10598, 99, 100, 101, 104syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10697, 105eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10758, 106breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))
10820, 30letri3d 11297 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))))
109108adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))))
11052, 107, 109mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺))
111110fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11242, 36coesub 25618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅f𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇)))
11312, 16, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (coeff‘(𝑅f𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇)))
114113fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11542coef3 25593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ)
116 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11712, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11836coef3 25593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ)
119 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
12016, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
121 nn0ex 12419 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
123 inidm 4178 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
12445simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
12639simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128117, 120, 122, 122, 123, 125, 127ofval 7628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
12929, 128mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130114, 129eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131 0m0e0 12273 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
132130, 131eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133132adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134111, 133eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0)
135 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝑅f𝑇))
136 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (coeff‘(𝑅f𝑇)) = (coeff‘(𝑅f𝑇))
137135, 136dgreq0 25626 . . . . . . . . 9 ((𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0))
13817, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0))
139138biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0) → (𝑅f𝑇) = 0𝑝)
140134, 139syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑅f𝑇) = 0𝑝)
141140ex 413 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑅f𝑇) = 0𝑝))
142 plymul0or 25641 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
1438, 53, 142syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
14495eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝))
1459neneqd 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0𝑝)
146 biorf 935 . . . . . . 7 𝐺 = 0𝑝 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
148143, 144, 1473bitr4d 310 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
149141, 148sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
1501, 149pm2.61dne 3031 . . 3 (𝜑 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝)
151 df-0p 25034 . . 3 0𝑝 = (ℂ × {0})
152150, 151eqtrdi 2792 . 2 (𝜑 → (𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}))
153 ofsubeq0 12150 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
15472, 89, 91, 153mp3an2i 1466 . 2 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155152, 154mpbid 231 1 (𝜑𝑝 = 𝑞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0cn0 12413  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552
This theorem is referenced by:  plydivalg  25659
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