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Theorem plydiveu 24805
 Description: Lemma for plydivalg 24806. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
plydiveu.q (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.qd (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
plydiveu.t 𝑇 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑝))
plydiveu.p (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiveu.pd (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
Assertion
Ref Expression
plydiveu (𝜑𝑝 = 𝑞)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑞,𝑝,𝑥,𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑆,𝑝,𝑞,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞,𝑝)   𝑅(𝑞)   𝑇(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆))
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ≠ 0𝑝)
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑞))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 24801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
122, 11mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ (Poly‘𝑆))
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆))
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐹f − (𝐺f · 𝑝))
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 24801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1613, 15mpdan 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ (Poly‘𝑆))
1712, 16, 3, 4, 6plysub 24727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆))
18 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℕ0)
2019nn0red 11945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ∈ ℝ)
21 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℕ0)
2322nn0red 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ∈ ℝ)
24 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℕ0)
2625nn0red 11945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ∈ ℝ)
2723, 26ifcld 4515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ∈ ℝ)
28 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
3029nn0red 11945 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
31 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑅) = (deg‘𝑅)
32 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝑇) = (deg‘𝑇)
3331, 32dgrsub 24780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
3412, 16, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)))
35 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)))
36 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑇) = (coeff‘𝑇)
3732, 36dgrlt 24774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3816, 29, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑇) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
3935, 38mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4039simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺))
41 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
42 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeff‘𝑅) = (coeff‘𝑅)
4331, 42dgrlt 24774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4412, 29, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)) ↔ ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)))
4541, 44mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ∧ ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0))
4645simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺))
47 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑇) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
48 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((deg‘𝑅) = if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) → ((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺) ↔ if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺)))
4947, 48ifboth 4508 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝑇) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝐺)) → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5040, 46, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((deg‘𝑅) ≤ (deg‘𝑇), (deg‘𝑇), (deg‘𝑅)) ≤ (deg‘𝐺))
5120, 27, 30, 34, 50letrd 10786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5251adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺))
5313, 2, 3, 4, 6plysub 24727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
54 dgrcl 24741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0)
56 nn0addge1 11932 . . . . . . . . . . . . 13 (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝑝f𝑞)) ∈ ℕ0) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
5730, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
59 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
607, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
6160ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
628, 2, 3, 4plymul 24726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
63 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺f · 𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞):ℂ⟶ℂ)
6564ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧) ∈ ℂ)
668, 13, 3, 4plymul 24726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆))
67 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺f · 𝑝) ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝):ℂ⟶ℂ)
6968ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) ∈ ℂ)
7061, 65, 69nnncan1d 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))) = (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)))
7170mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
72 cnex 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℂ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℂ ∈ V)
7461, 65subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7561, 69subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)) ∈ ℂ)
7660feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
7764feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑞) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)))
7873, 61, 65, 76, 77offval2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
7910, 78syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
8068feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺f · 𝑝) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))
8173, 61, 69, 76, 80offval2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹f − (𝐺f · 𝑝)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))))
8214, 81syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧))))
8373, 74, 75, 79, 82offval2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧)) − ((𝐹𝑧) − ((𝐺f · 𝑝)‘𝑧)))))
8473, 69, 65, 80, 77offval2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (((𝐺f · 𝑝)‘𝑧) − ((𝐺f · 𝑞)‘𝑧))))
8571, 83, 843eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)))
86 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
878, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
88 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑝:ℂ⟶ℂ)
8913, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑝:ℂ⟶ℂ)
90 plyf 24706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑞:ℂ⟶ℂ)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑞:ℂ⟶ℂ)
92 subdi 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9392adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9473, 87, 89, 91, 93caofdi 7435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺f · (𝑝f𝑞)) = ((𝐺f · 𝑝) ∘f − (𝐺f · 𝑞)))
9585, 94eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑅f𝑇) = (𝐺f · (𝑝f𝑞)))
9695fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))))
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))))
988adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
999adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
10053adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆))
101 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝)
102 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (deg‘(𝑝f𝑞)) = (deg‘(𝑝f𝑞))
104102, 103dgrmul 24778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ ((𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10598, 99, 100, 101, 104syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐺f · (𝑝f𝑞))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10697, 105eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝑝f𝑞))))
10758, 106breqtrrd 5091 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))
10820, 30letri3d 10771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))))
109108adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺) ↔ ((deg‘(𝑅f𝑇)) ≤ (deg‘𝐺) ∧ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝑅f𝑇)))))
11052, 107, 109mpbir2and 709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘𝐺))
111110fveq2d 6671 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11242, 36coesub 24765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑇 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘(𝑅f𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇)))
11312, 16, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (coeff‘(𝑅f𝑇)) = ((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇)))
114113fveq1d 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)))
11542coef3 24740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ)
116 ffn 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑅):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11712, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑅) Fn ℕ0)
11836coef3 24740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ)
119 ffn 6511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeff‘𝑇):ℕ0⟶ℂ → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
12016, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (coeff‘𝑇) Fn ℕ0)
121 nn0ex 11892 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
123 inidm 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
12445simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑅)‘(deg‘𝐺)) = 0)
12639simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
127126adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝑇)‘(deg‘𝐺)) = 0)
128117, 120, 122, 122, 123, 125, 127ofval 7408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (deg‘𝐺) ∈ ℕ0) → (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
12929, 128mpdan 683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((coeff‘𝑅) ∘f − (coeff‘𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
130114, 129eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = (0 − 0))
131 0m0e0 11746 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
132130, 131syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
133132adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘𝐺)) = 0)
134111, 133eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0)
135 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (deg‘(𝑅f𝑇)) = (deg‘(𝑅f𝑇))
136 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (coeff‘(𝑅f𝑇)) = (coeff‘(𝑅f𝑇))
137135, 136dgreq0 24773 . . . . . . . . 9 ((𝑅f𝑇) ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0))
13817, 137syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0))
139138biimpar 478 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((coeff‘(𝑅f𝑇))‘(deg‘(𝑅f𝑇))) = 0) → (𝑅f𝑇) = 0𝑝)
140134, 139syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝) → (𝑅f𝑇) = 0𝑝)
141140ex 413 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑅f𝑇) = 0𝑝))
142 plymul0or 24788 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑝f𝑞) ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
1438, 53, 142syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
14495eqeq1d 2828 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺f · (𝑝f𝑞)) = 0𝑝))
1459neneqd 3026 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐺 = 0𝑝)
146 biorf 932 . . . . . . 7 𝐺 = 0𝑝 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝f𝑞) = 0𝑝)))
148143, 144, 1473bitr4d 312 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅f𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
149141, 148sylibd 240 . . . 4 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) ≠ 0𝑝 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝))
1501, 149pm2.61dne 3108 . . 3 (𝜑 → (𝑝f𝑞) = 0𝑝)
151 df-0p 24189 . . 3 0𝑝 = (ℂ × {0})
152150, 151syl6eq 2877 . 2 (𝜑 → (𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}))
153 ofsubeq0 11624 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑝:ℂ⟶ℂ ∧ 𝑞:ℂ⟶ℂ) → ((𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
15472, 89, 91, 153mp3an2i 1459 . 2 (𝜑 → ((𝑝f𝑞) = (ℂ × {0}) ↔ 𝑝 = 𝑞))
155152, 154mpbid 233 1 (𝜑𝑝 = 𝑞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  Vcvv 3500  ifcif 4470  {csn 4564   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143   × cxp 5552   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   ∘f cof 7397  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  ℕ0cn0 11886  0𝑝c0p 24188  Polycply 24692  coeffccoe 24694  degcdgr 24695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-0p 24189  df-ply 24696  df-coe 24698  df-dgr 24699 This theorem is referenced by:  plydivalg  24806
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