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Theorem plydiveu 25499
Description: Lemma for plydivalg 25500. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plydiv.pl ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
plydiv.m1 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiv.z (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
plydiv.r 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
plydiveu.q (πœ‘ β†’ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiveu.qd (πœ‘ β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
plydiveu.t 𝑇 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝))
plydiveu.p (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
plydiveu.pd (πœ‘ β†’ (𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)))
Assertion
Ref Expression
plydiveu (πœ‘ β†’ 𝑝 = π‘ž)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦   π‘ž,𝑝,π‘₯,𝑦,𝐹   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦   𝐺,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑝,π‘ž,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘ž,𝑝)   𝑅(π‘ž)   𝑇(π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem plydiveu
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idd 24 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
2 plydiveu.q . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†))
3 plydiv.pl . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝑆)
4 plydiv.tm . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝑆)
5 plydiv.rc . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (1 / π‘₯) ∈ 𝑆)
6 plydiv.m1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ -1 ∈ 𝑆)
7 plydiv.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
8 plydiv.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
9 plydiv.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
10 plydiv.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10plydivlem2 25495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
122, 11mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
13 plydiveu.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
14 plydiveu.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝))
153, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14plydivlem2 25495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
1613, 15mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
1712, 16, 3, 4, 6plysub 25421 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
18 dgrcl 25435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ β„•0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ β„•0)
2019nn0red 12336 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
21 dgrcl 25435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ β„•0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ β„•0)
2322nn0red 12336 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
24 dgrcl 25435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
2625nn0red 12336 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ ℝ)
2723, 26ifcld 4511 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ∈ ℝ)
28 dgrcl 25435 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
3029nn0red 12336 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ ℝ)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜π‘…) = (degβ€˜π‘…)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜π‘‡) = (degβ€˜π‘‡)
3331, 32dgrsub 25474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)))
3412, 16, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)))
35 plydiveu.pd . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)))
36 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeffβ€˜π‘‡) = (coeffβ€˜π‘‡)
3732, 36dgrlt 25468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3816, 29, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑇 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘‡) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
3935, 38mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
4039simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ))
41 plydiveu.qd . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (coeffβ€˜π‘…) = (coeffβ€˜π‘…)
4331, 42dgrlt 25468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
4412, 29, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) ↔ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)))
4541, 44mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0))
4645simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ))
47 breq1 5084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((degβ€˜π‘‡) = if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) β†’ ((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ↔ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ)))
48 breq1 5084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((degβ€˜π‘…) = if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) β†’ ((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ) ↔ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ)))
4947, 48ifboth 4504 . . . . . . . . . . . . 13 (((degβ€˜π‘‡) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜πΊ)) β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5040, 46, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ if((degβ€˜π‘…) ≀ (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘‡), (degβ€˜π‘…)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5120, 27, 30, 34, 50letrd 11174 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5251adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ))
5313, 2, 3, 4, 6plysub 25421 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
54 dgrcl 25435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0)
56 nn0addge1 12321 . . . . . . . . . . . . 13 (((degβ€˜πΊ) ∈ ℝ ∧ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) ∈ β„•0) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
5730, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
5857adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
59 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
607, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
6160ffvelcdmda 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
628, 2, 3, 4plymul 25420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
63 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∘f Β· π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž):β„‚βŸΆβ„‚)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž):β„‚βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
668, 13, 3, 4plymul 25420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
67 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝):β„‚βŸΆβ„‚)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝):β„‚βŸΆβ„‚)
6968ffvelcdmda 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7061, 65, 69nnncan1d 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))) = (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)))
7170mpteq2dva 5181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
72 cnex 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„‚ ∈ V
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
7461, 65subcld 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
7561, 69subcld 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
7660feqmptd 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
7764feqmptd 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)))
7873, 61, 65, 76, 77offval2 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
7910, 78eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
8068feqmptd 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))
8173, 61, 69, 76, 80offval2 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· 𝑝)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))))
8214, 81eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§))))
8373, 74, 75, 79, 82offval2 7581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§)))))
8473, 69, 65, 80, 77offval2 7581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (((𝐺 ∘f Β· 𝑝)β€˜π‘§) βˆ’ ((𝐺 ∘f Β· π‘ž)β€˜π‘§))))
8571, 83, 843eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)))
86 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
878, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
88 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
8913, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
90 plyf 25400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘ž ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚)
912, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚)
92 subdi 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 βˆ’ 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑧)))
9392adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 βˆ’ 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) βˆ’ (π‘₯ Β· 𝑧)))
9473, 87, 89, 91, 93caofdi 7600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = ((𝐺 ∘f Β· 𝑝) ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· π‘ž)))
9585, 94eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)))
9695fveq2d 6804 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
9796adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
988adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
999adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
10053adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
101 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝)
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
103 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))
104102, 103dgrmul 25472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝)) β†’ (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10598, 99, 100, 101, 104syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10697, 105eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((degβ€˜πΊ) + (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž))))
10758, 106breqtrrd 5109 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))
10820, 30letri3d 11159 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ) ↔ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))))
109108adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ) ↔ ((degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) ≀ (degβ€˜πΊ) ∧ (degβ€˜πΊ) ≀ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)))))
11052, 107, 109mpbir2and 711 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜πΊ))
111110fveq2d 6804 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)))
11242, 36coesub 25459 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡)))
11312, 16, 112syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = ((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡)))
114113fveq1d 6802 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)))
11542coef3 25434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜π‘…):β„•0βŸΆβ„‚)
116 ffn 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeffβ€˜π‘…):β„•0βŸΆβ„‚ β†’ (coeffβ€˜π‘…) Fn β„•0)
11712, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘…) Fn β„•0)
11836coef3 25434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜π‘‡):β„•0βŸΆβ„‚)
119 ffn 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeffβ€˜π‘‡):β„•0βŸΆβ„‚ β†’ (coeffβ€˜π‘‡) Fn β„•0)
12016, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (coeffβ€˜π‘‡) Fn β„•0)
121 nn0ex 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 β„•0 ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„•0 ∈ V)
123 inidm 4158 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
12445simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜π‘…)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
12639simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
127126adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜π‘‡)β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
128117, 120, 122, 122, 123, 125, 127ofval 7572 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0) β†’ (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
12929, 128mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((coeffβ€˜π‘…) ∘f βˆ’ (coeffβ€˜π‘‡))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
130114, 129eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = (0 βˆ’ 0))
131 0m0e0 12135 . . . . . . . . . 10 (0 βˆ’ 0) = 0
132130, 131eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
133132adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜πΊ)) = 0)
134111, 133eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0)
135 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))
136 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇)) = (coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))
137135, 136dgreq0 25467 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0))
13817, 137syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0))
139138biimpar 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((coeffβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))β€˜(degβ€˜(𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇))) = 0) β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝)
140134, 139syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝) β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝)
141140ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝 β†’ (𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝))
142 plymul0or 25482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
1438, 53, 142syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
14495eqeq1d 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝐺 ∘f Β· (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž)) = 0𝑝))
1459neneqd 2946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺 = 0𝑝)
146 biorf 935 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐺 = 0𝑝 β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
147145, 146syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)))
148143, 144, 1473bitr4d 312 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑅 ∘f βˆ’ 𝑇) = 0𝑝 ↔ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
149141, 148sylibd 239 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) β‰  0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝))
1501, 149pm2.61dne 3029 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = 0𝑝)
151 df-0p 24875 . . 3 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
152150, 151eqtrdi 2792 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}))
153 ofsubeq0 12012 . . 3 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘ž:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘ž))
15472, 89, 91, 153mp3an2i 1466 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘ž))
155152, 154mpbid 232 1 (πœ‘ β†’ 𝑝 = π‘ž)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  Vcvv 3437  ifcif 4465  {csn 4565   class class class wbr 5081   ↦ cmpt 5164   Γ— cxp 5594   Fn wfn 6449  βŸΆwf 6450  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   ∘f cof 7559  β„‚cc 10911  β„cr 10912  0cc0 10913  1c1 10914   + caddc 10916   Β· cmul 10918   < clt 11051   ≀ cle 11052   βˆ’ cmin 11247  -cneg 11248   / cdiv 11674  β„•0cn0 12275  0𝑝c0p 24874  Polycply 25386  coeffccoe 25388  degcdgr 25389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-n0 12276  df-z 12362  df-uz 12625  df-rp 12773  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-seq 13764  df-exp 13825  df-hash 14087  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-0p 24875  df-ply 25390  df-coe 25392  df-dgr 25393
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