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Theorem quotcan 24355
Description: Exact division with a multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
quotcan.1 𝐻 = (𝐹𝑓 · 𝐺)
Assertion
Ref Expression
quotcan ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻 quot 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem quotcan
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 24247 . . . . . . . . 9 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
2 simp2 1167 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
31, 2sseldi 3759 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ))
4 simp1 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
51, 4sseldi 3759 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
6 quotcan.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝐹𝑓 · 𝐺)
7 plymulcl 24268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
86, 7syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐻 ∈ (Poly‘ℂ))
983adant3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐻 ∈ (Poly‘ℂ))
10 simp3 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
11 quotcl2 24348 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
129, 3, 10, 11syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ))
13 plysubcl 24269 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐻 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
145, 12, 13syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
15 plymul0or 24327 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝)))
163, 14, 15syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝)))
17 cnex 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ℂ ∈ V)
19 plyf 24245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
204, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21 plyf 24245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
222, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
23 mulcom 10275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
2518, 20, 22, 24caofcom 7127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝐺𝑓 · 𝐹))
266, 25syl5eq 2811 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐻 = (𝐺𝑓 · 𝐹))
2726oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = ((𝐺𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))))
28 plyf 24245 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ) → (𝐻 quot 𝐺):ℂ⟶ℂ)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻 quot 𝐺):ℂ⟶ℂ)
30 subdi 10717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
3130adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
3218, 22, 20, 29, 31caofdi 7131 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) = ((𝐺𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))))
3327, 32eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))
3433eqeq1d 2767 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ↔ (𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝))
3510neneqd 2942 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ¬ 𝐺 = 0𝑝)
36 biorf 960 . . . . . . . 8 𝐺 = 0𝑝 → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝)))
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝 ↔ (𝐺 = 0𝑝 ∨ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝)))
3816, 34, 373bitr4d 302 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ↔ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝))
3938biimpd 220 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝))
40 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
41 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) = (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))
4240, 41dgrmul 24317 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ≠ 0𝑝)) → (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))))
4342expr 448 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ)) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ≠ 0𝑝 → (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
443, 10, 14, 43syl21anc 866 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ≠ 0𝑝 → (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
45 dgrcl 24280 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
462, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
4746nn0red 11599 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
48 dgrcl 24280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) ∈ ℕ0)
4914, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) ∈ ℕ0)
50 nn0addge1 11586 . . . . . . . . . 10 (((deg‘𝐺) ∈ ℝ ∧ (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))) ∈ ℕ0) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))))
5147, 49, 50syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))))
52 breq2 4813 . . . . . . . . 9 ((deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) → ((deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) ↔ (deg‘𝐺) ≤ ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
5351, 52syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) = ((deg‘𝐺) + (deg‘(𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
5444, 53syld 47 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ≠ 0𝑝 → (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
5533fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) = (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))))
5655breq2d 4821 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) ↔ (deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺))))))
57 plymulcl 24268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐻 quot 𝐺) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
583, 12, 57syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ))
59 plysubcl 24269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)) ∈ (Poly‘ℂ)) → (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) ∈ (Poly‘ℂ))
609, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) ∈ (Poly‘ℂ))
61 dgrcl 24280 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) ∈ ℕ0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) ∈ ℕ0)
6362nn0red 11599 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) ∈ ℝ)
6447, 63lenltd 10437 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) ↔ ¬ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺)))
6556, 64bitr3d 272 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝐺) ≤ (deg‘(𝐺𝑓 · (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)))) ↔ ¬ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺)))
6654, 65sylibd 230 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) ≠ 0𝑝 → ¬ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺)))
6766necon4ad 2956 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺) → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝))
68 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = (𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))
6968quotdgr 24349 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺)))
709, 3, 10, 69syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺))) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝐻𝑓 − (𝐺𝑓 · (𝐻 quot 𝐺)))) < (deg‘𝐺)))
7139, 67, 70mpjaod 886 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = 0𝑝)
72 df-0p 23728 . . . 4 0𝑝 = (ℂ × {0})
7371, 72syl6eq 2815 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = (ℂ × {0}))
74 ofsubeq0 11271 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ (𝐻 quot 𝐺):ℂ⟶ℂ) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐻 quot 𝐺)))
7518, 20, 29, 74syl3anc 1490 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → ((𝐹𝑓 − (𝐻 quot 𝐺)) = (ℂ × {0}) ↔ 𝐹 = (𝐻 quot 𝐺)))
7673, 75mpbid 223 . 2 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → 𝐹 = (𝐻 quot 𝐺))
7776eqcomd 2771 1 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝐺 ≠ 0𝑝) → (𝐻 quot 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  0cn0 11538  0𝑝c0p 23727  Polycply 24231  degcdgr 24234   quot cquot 24336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-0p 23728  df-ply 24235  df-coe 24237  df-dgr 24238  df-quot 24337
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