Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpaaeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpaaeu 41892
Description: An algebraic number has exactly one monic polynomial of the least degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpaaeu (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘

Proof of Theorem mpaaeu
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qsscn 12944 . . . . . 6 โ„š โŠ† โ„‚
2 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘}) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
32ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
4 zssq 12940 . . . . . . . . . 10 โ„ค โŠ† โ„š
5 0z 12569 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
64, 5sselii 3980 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„š
7 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coeffโ€˜๐‘Ž) = (coeffโ€˜๐‘Ž)
87coef2 25745 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„š)
93, 6, 8sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„š)
10 dgrcl 25747 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„•0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„•0)
129, 11ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„š)
13 eldifsni 4794 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘}) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0๐‘)
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0๐‘)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘Ž)
1615, 7dgreq0 25779 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (๐‘Ž = 0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) = 0))
1716necon3bid 2986 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (๐‘Ž โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0))
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (๐‘Ž โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0)
20 qreccl 12953 . . . . . . 7 ((((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„š โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š)
2112, 19, 20syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š)
22 plyconst 25720 . . . . . 6 ((โ„š โŠ† โ„‚ โˆง (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
231, 21, 22sylancr 588 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
24 simpl 484 . . . . . 6 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
25 simpr 486 . . . . . 6 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
26 qaddcl 12949 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
2726adantl 483 . . . . . 6 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
28 qmulcl 12951 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
2928adantl 483 . . . . . 6 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
3024, 25, 27, 29plymul 25732 . . . . 5 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
3123, 3, 30syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
327coef3 25746 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„‚)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„‚)
3433, 11ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„‚)
3534, 19reccld 11983 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚)
3634, 19recne0d 11984 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โ‰  0)
37 dgrmulc 25785 . . . . . 6 (((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โ‰  0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degโ€˜๐‘Ž))
3835, 36, 3, 37syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degโ€˜๐‘Ž))
39 simprl 770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
4038, 39eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด))
41 aacn 25830 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4241ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43 ovex 7442 . . . . . . . 8 (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V
44 fnconstg 6780 . . . . . . . 8 ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„‚)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„‚)
46 plyf 25712 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚)
47 ffn 6718 . . . . . . . 8 (๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚ โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
483, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
49 cnex 11191 . . . . . . . 8 โ„‚ โˆˆ V
5049a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„‚ โˆˆ V)
51 inidm 4219 . . . . . . 7 (โ„‚ โˆฉ โ„‚) = โ„‚
5243fvconst2 7205 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜๐ด) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
5352adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜๐ด) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
54 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
5545, 48, 50, 50, 51, 53, 54ofval 7681 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0))
5642, 55mpdan 686 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0))
5735mul01d 11413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0) = 0)
5856, 57eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
59 coemulc 25769 . . . . . . 7 (((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž)))
6035, 3, 59syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž)))
6160fveq1d 6894 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
62 dgraacl 41888 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
6362ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
6463nnnn0d 12532 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
65 fnconstg 6780 . . . . . . . 8 ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V โ†’ (โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„•0)
6643, 65mp1i 13 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„•0)
6733ffnd 6719 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž) Fn โ„•0)
68 nn0ex 12478 . . . . . . . 8 โ„•0 โˆˆ V
6968a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
70 inidm 4219 . . . . . . 7 (โ„•0 โˆฉ โ„•0) = โ„•0
7143fvconst2 7205 . . . . . . . 8 ((degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7271adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
73 simplrl 776 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
7473eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) = (degโ€˜๐‘Ž))
7574fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))
7666, 67, 69, 69, 70, 72, 75ofval 7681 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7764, 76mpdan 686 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7834, 19recid2d 11986 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) = 1)
7961, 77, 783eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
80 fveqeq2 6901 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โ†” (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด)))
81 fveq1 6891 . . . . . . 7 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด))
8281eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
83 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (coeffโ€˜๐‘) = (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)))
8483fveq1d 6894 . . . . . . 7 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
8584eqeq1d 2735 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1 โ†” ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
8680, 82, 853anbi123d 1437 . . . . 5 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” ((degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)))
8786rspcev 3613 . . . 4 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ((degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
8831, 40, 58, 79, 87syl13anc 1373 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
89 dgraalem 41887 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)))
9089simprd 497 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
9188, 90r19.29a 3163 . 2 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
92 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = 0)
93 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 (((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
9492, 93anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
95 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘:โ„‚โŸถโ„‚)
9695ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘ Fn โ„‚)
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘ Fn โ„‚)
9846ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
9998ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„‚ โˆˆ V)
101 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = 0)
102 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
10397, 99, 100, 100, 51, 101, 102ofval 7681 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = (0 โˆ’ 0))
10441, 103sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐”ธ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = (0 โˆ’ 0))
105 0m0e0 12332 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 0) = 0
106104, 105eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐”ธ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
107106ex 414 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
10894, 107sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
109108com12 32 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
110109impl 457 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
111 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐”ธ)
112 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
113 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
11426adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
11528adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
116 1z 12592 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„ค
117 zq 12938 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
118 qnegcl 12950 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„š โ†’ -1 โˆˆ โ„š)
119116, 117, 118mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„š
120119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ -1 โˆˆ โ„š)
121112, 113, 114, 115, 120plysub 25733 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
122121ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
123 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
124 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
125 simprr1 1222 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
126 simprl1 1219 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด))
127125, 126eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘))
12862ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
129126, 128eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
130 simprl3 1221 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
131126fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
132126fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
133 simprr3 1224 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
134132, 133eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = 1)
135130, 131, 1343eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)))
136 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (degโ€˜๐‘) = (degโ€˜๐‘)
137136dgrsub2 41877 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘) โˆง (degโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degโ€˜๐‘))
138123, 124, 127, 129, 135, 137syl23anc 1378 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degโ€˜๐‘))
139138, 126breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degAAโ€˜๐ด))
140 dgraa0p 41891 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degAAโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘))
141111, 122, 139, 140syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘))
142110, 141mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘)
143 df-0p 25187 . . . . . 6 0๐‘ = (โ„‚ ร— {0})
144142, 143eqtrdi 2789 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}))
145 ofsubeq0 12209 . . . . . . . 8 ((โ„‚ โˆˆ V โˆง ๐‘:โ„‚โŸถโ„‚ โˆง ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
14649, 145mp3an1 1449 . . . . . . 7 ((๐‘:โ„‚โŸถโ„‚ โˆง ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
14795, 46, 146syl2an 597 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
148147ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
149144, 148mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž)
150149ex 414 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โ†’ ((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž))
151150ralrimivva 3201 . 2 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž))
152 fveqeq2 6901 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โ†” (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด)))
153 fveq1 6891 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = (๐‘Žโ€˜๐ด))
154153eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
155 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (coeffโ€˜๐‘) = (coeffโ€˜๐‘Ž))
156155fveq1d 6894 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
157156eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1 โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
158152, 154, 1573anbi123d 1437 . . 3 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)))
159158reu4 3728 . 2 (โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž)))
16091, 151, 159sylanbrc 584 1 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„šcq 12932  0๐‘c0p 25186  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701  ๐”ธcaa 25827  degAAcdgraa 41882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-aa 25828  df-dgraa 41884
This theorem is referenced by:  mpaalem  41894
  Copyright terms: Public domain W3C validator