Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpaaeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpaaeu 42194
Description: An algebraic number has exactly one monic polynomial of the least degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpaaeu (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘

Proof of Theorem mpaaeu
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qsscn 12948 . . . . . 6 โ„š โŠ† โ„‚
2 eldifi 4125 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘}) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
32ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
4 zssq 12944 . . . . . . . . . 10 โ„ค โŠ† โ„š
5 0z 12573 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
64, 5sselii 3978 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„š
7 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (coeffโ€˜๐‘Ž) = (coeffโ€˜๐‘Ž)
87coef2 25980 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„š)
93, 6, 8sylancl 584 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„š)
10 dgrcl 25982 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„•0)
113, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„•0)
129, 11ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„š)
13 eldifsni 4792 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘}) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0๐‘)
1413ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž โ‰  0๐‘)
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘Ž)
1615, 7dgreq0 26015 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (๐‘Ž = 0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) = 0))
1716necon3bid 2983 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (๐‘Ž โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0))
183, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (๐‘Ž โ‰  0๐‘ โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0)
20 qreccl 12957 . . . . . . 7 ((((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„š โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โ‰  0) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š)
2112, 19, 20syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š)
22 plyconst 25955 . . . . . 6 ((โ„š โŠ† โ„‚ โˆง (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„š) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
231, 21, 22sylancr 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
24 simpl 481 . . . . . 6 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
25 simpr 483 . . . . . 6 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
26 qaddcl 12953 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
2726adantl 480 . . . . . 6 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
28 qmulcl 12955 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
2928adantl 480 . . . . . 6 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
3024, 25, 27, 29plymul 25967 . . . . 5 (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
3123, 3, 30syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
327coef3 25981 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„‚)
333, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž):โ„•0โŸถโ„‚)
3433, 11ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)) โˆˆ โ„‚)
3534, 19reccld 11987 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚)
3634, 19recne0d 11988 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โ‰  0)
37 dgrmulc 26021 . . . . . 6 (((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โ‰  0 โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degโ€˜๐‘Ž))
3835, 36, 3, 37syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degโ€˜๐‘Ž))
39 simprl 767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
4038, 39eqtrd 2770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด))
41 aacn 26066 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4241ad2antrr 722 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43 ovex 7444 . . . . . . . 8 (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V
44 fnconstg 6778 . . . . . . . 8 ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„‚)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„‚)
46 plyf 25947 . . . . . . . 8 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚)
47 ffn 6716 . . . . . . . 8 (๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚ โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
483, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
49 cnex 11193 . . . . . . . 8 โ„‚ โˆˆ V
5049a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„‚ โˆˆ V)
51 inidm 4217 . . . . . . 7 (โ„‚ โˆฉ โ„‚) = โ„‚
5243fvconst2 7206 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜๐ด) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
5352adantl 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜๐ด) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
54 simplrr 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
5545, 48, 50, 50, 51, 53, 54ofval 7683 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0))
5642, 55mpdan 683 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0))
5735mul01d 11417 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท 0) = 0)
5856, 57eqtrd 2770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
59 coemulc 26004 . . . . . . 7 (((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž)))
6035, 3, 59syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž)))
6160fveq1d 6892 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
62 dgraacl 42190 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
6362ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
6463nnnn0d 12536 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
65 fnconstg 6778 . . . . . . . 8 ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) โˆˆ V โ†’ (โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„•0)
6643, 65mp1i 13 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) Fn โ„•0)
6733ffnd 6717 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (coeffโ€˜๐‘Ž) Fn โ„•0)
68 nn0ex 12482 . . . . . . . 8 โ„•0 โˆˆ V
6968a1i 11 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
70 inidm 4217 . . . . . . 7 (โ„•0 โˆฉ โ„•0) = โ„•0
7143fvconst2 7206 . . . . . . . 8 ((degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7271adantl 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))})โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = (1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
73 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
7473eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) = (degโ€˜๐‘Ž))
7574fveq2d 6894 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))
7666, 67, 69, 69, 70, 72, 75ofval 7683 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7764, 76mpdan 683 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (((โ„•0 ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท (coeffโ€˜๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))))
7834, 19recid2d 11990 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) ยท ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž))) = 1)
7961, 77, 783eqtrd 2774 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
80 fveqeq2 6899 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โ†” (degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด)))
81 fveq1 6889 . . . . . . 7 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด))
8281eqeq1d 2732 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
83 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (coeffโ€˜๐‘) = (coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)))
8483fveq1d 6892 . . . . . . 7 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
8584eqeq1d 2732 . . . . . 6 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1 โ†” ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
8680, 82, 853anbi123d 1434 . . . . 5 (๐‘ = ((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โ†’ (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” ((degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)))
8786rspcev 3611 . . . 4 ((((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ((degโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜((โ„‚ ร— {(1 / ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘Ž)))}) โˆ˜f ยท ๐‘Ž))โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
8831, 40, 58, 79, 87syl13anc 1370 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
89 dgraalem 42189 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)))
9089simprd 494 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((Polyโ€˜โ„š) โˆ– {0๐‘})((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
9188, 90r19.29a 3160 . 2 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
92 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = 0)
93 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 (((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
9492, 93anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
95 plyf 25947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘:โ„‚โŸถโ„‚)
9695ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘ Fn โ„‚)
9796ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘ Fn โ„‚)
9846ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
9998ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ ๐‘Ž Fn โ„‚)
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ โ„‚ โˆˆ V)
101 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = 0)
102 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)
10397, 99, 100, 100, 51, 101, 102ofval 7683 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = (0 โˆ’ 0))
10441, 103sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐”ธ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = (0 โˆ’ 0))
105 0m0e0 12336 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 0) = 0
106104, 105eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โˆง ๐ด โˆˆ ๐”ธ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
107106ex 411 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0)) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
10894, 107sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
109108com12 32 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0))
110109impl 454 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0)
111 simpll 763 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐”ธ)
112 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
113 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
11426adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โˆˆ โ„š)
11528adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘) โˆˆ โ„š)
116 1z 12596 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„ค
117 zq 12942 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
118 qnegcl 12954 . . . . . . . . . . . 12 (1 โˆˆ โ„š โ†’ -1 โˆˆ โ„š)
119116, 117, 118mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 -1 โˆˆ โ„š
120119a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ -1 โˆˆ โ„š)
121112, 113, 114, 115, 120plysub 25968 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
122121ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
123 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
124 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))
125 simprr1 1219 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด))
126 simprl1 1216 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด))
127125, 126eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘))
12862ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degAAโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
129126, 128eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
130 simprl3 1218 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
131126fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
132126fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
133 simprr3 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)
134132, 133eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = 1)
135130, 131, 1343eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)))
136 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (degโ€˜๐‘) = (degโ€˜๐‘)
137136dgrsub2 42179 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degโ€˜๐‘) โˆง (degโ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degโ€˜๐‘)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degโ€˜๐‘)))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degโ€˜๐‘))
138123, 124, 127, 129, 135, 137syl23anc 1375 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degโ€˜๐‘))
139138, 126breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degAAโ€˜๐ด))
140 dgraa0p 42193 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง (degโ€˜(๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)) < (degAAโ€˜๐ด)) โ†’ (((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘))
141111, 122, 139, 140syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž)โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘))
142110, 141mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = 0๐‘)
143 df-0p 25419 . . . . . 6 0๐‘ = (โ„‚ ร— {0})
144142, 143eqtrdi 2786 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ (๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}))
145 ofsubeq0 12213 . . . . . . . 8 ((โ„‚ โˆˆ V โˆง ๐‘:โ„‚โŸถโ„‚ โˆง ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
14649, 145mp3an1 1446 . . . . . . 7 ((๐‘:โ„‚โŸถโ„‚ โˆง ๐‘Ž:โ„‚โŸถโ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
14795, 46, 146syl2an 594 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
148147ad2antlr 723 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ((๐‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘Ž) = (โ„‚ ร— {0}) โ†” ๐‘ = ๐‘Ž))
149144, 148mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โˆง (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž)
150149ex 411 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐”ธ โˆง (๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š))) โ†’ ((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž))
151150ralrimivva 3198 . 2 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž))
152 fveqeq2 6899 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โ†” (degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด)))
153 fveq1 6889 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘โ€˜๐ด) = (๐‘Žโ€˜๐ด))
154153eqeq1d 2732 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0))
155 fveq2 6890 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (coeffโ€˜๐‘) = (coeffโ€˜๐‘Ž))
156155fveq1d 6892 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)))
157156eqeq1d 2732 . . . 4 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1 โ†” ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
158152, 154, 1573anbi123d 1434 . . 3 (๐‘ = ๐‘Ž โ†’ (((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)))
159158reu4 3726 . 2 (โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)โˆ€๐‘Ž โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1) โˆง ((degโ€˜๐‘Ž) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘Žโ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘Ž)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1)) โ†’ ๐‘ = ๐‘Ž)))
16091, 151, 159sylanbrc 581 1 (๐ด โˆˆ ๐”ธ โ†’ โˆƒ!๐‘ โˆˆ (Polyโ€˜โ„š)((degโ€˜๐‘) = (degAAโ€˜๐ด) โˆง (๐‘โ€˜๐ด) = 0 โˆง ((coeffโ€˜๐‘)โ€˜(degAAโ€˜๐ด)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  โˆƒ!wreu 3372  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ร— cxp 5673   Fn wfn 6537  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„šcq 12936  0๐‘c0p 25418  Polycply 25933  coeffccoe 25935  degcdgr 25936  ๐”ธcaa 26063  degAAcdgraa 42184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-aa 26064  df-dgraa 42186
This theorem is referenced by:  mpaalem  42196
  Copyright terms: Public domain W3C validator