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Theorem plyexmo 25826
Description: An infinite set of values can be extended to a polynomial in at most one way. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyexmo ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑝   𝐹,𝑝   𝐷,𝑝

Proof of Theorem plyexmo
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ Fin)
2 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
32sseld 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 ∈ β„‚))
4 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
76ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 Fn β„‚)
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝 Fn β„‚)
9 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚))
10 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚)
1211ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž Fn β„‚)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ π‘Ž Fn β„‚)
14 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ β„‚ ∈ V)
162sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
17 fnfvof 7687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 Fn β„‚ ∧ π‘Ž Fn β„‚) ∧ (β„‚ ∈ V ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)))
188, 13, 15, 16, 17syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)))
196adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
2019, 16ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
21 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
22 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
2321, 22eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
2423adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
2524fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘))
26 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
2726adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
28 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
3025, 27, 293eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
3120, 30subeq0bd 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)) = 0)
3218, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)
3332ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0))
343, 33jcad 514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
35 plysubcl 25736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
364, 9, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
37 plyf 25712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž):β„‚βŸΆβ„‚)
38 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž):β„‚βŸΆβ„‚ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) Fn β„‚)
39 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) Fn β„‚ β†’ (𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
4036, 37, 38, 394syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
4134, 40sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})))
4241ssrdv 3989 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}))
43 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ 𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
4443expcom 415 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ Fin))
4542, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ Fin))
461, 45mtod 197 . . . . . . . 8 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ Β¬ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin)
47 neqne 2949 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β‰  0𝑝)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) = (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})
4948fta1 25821 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β‰  0𝑝) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž))))
5036, 47, 49syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž))))
5150simpld 496 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝) β†’ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin)
5251ex 414 . . . . . . . 8 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝 β†’ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin))
5346, 52mt3d 148 . . . . . . 7 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝)
54 df-0p 25187 . . . . . . 7 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
5553, 54eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}))
56 ofsubeq0 12209 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘Ž))
5714, 6, 11, 56mp3an2i 1467 . . . . . 6 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘Ž))
5855, 57mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 = π‘Ž)
5958ex 414 . . . 4 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ (((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
6059alrimivv 1932 . . 3 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘βˆ€π‘Ž(((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
61 eleq1w 2817 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ↔ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)))
62 reseq1 5976 . . . . . 6 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
6362eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ž β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹 ↔ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
6461, 63anbi12d 632 . . . 4 (𝑝 = π‘Ž β†’ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ↔ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)))
6564mo4 2561 . . 3 (βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ↔ βˆ€π‘βˆ€π‘Ž(((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
6660, 65sylibr 233 . 2 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
67 plyssc 25714 . . . . 5 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
6867sseli 3979 . . . 4 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6968anim1i 616 . . 3 ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) β†’ (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
7069moimi 2540 . 2 (βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
7166, 70syl 17 1 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  0cc0 11110   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β™―chash 14290  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804
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