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Theorem plyexmo 26062
Description: An infinite set of values can be extended to a polynomial in at most one way. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyexmo ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑝   𝐹,𝑝   𝐷,𝑝

Proof of Theorem plyexmo
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ Β¬ 𝐷 ∈ Fin)
2 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
32sseld 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 ∈ β„‚))
4 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
5 plyf 25947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
76ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 Fn β„‚)
87adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝 Fn β„‚)
9 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚))
10 plyf 25947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚)
1211ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ π‘Ž Fn β„‚)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ π‘Ž Fn β„‚)
14 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ β„‚ ∈ V)
162sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
17 fnfvof 7689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 Fn β„‚ ∧ π‘Ž Fn β„‚) ∧ (β„‚ ∈ V ∧ 𝑏 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)))
188, 13, 15, 16, 17syl22anc 835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)))
196adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚)
2019, 16ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘) ∈ β„‚)
21 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
22 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)
2321, 22eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
2423adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
2524fveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘))
26 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
2726adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘β€˜π‘))
28 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
2928adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘Ž β†Ύ 𝐷)β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
3025, 27, 293eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (π‘β€˜π‘) = (π‘Žβ€˜π‘))
3120, 30subeq0bd 11644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘β€˜π‘) βˆ’ (π‘Žβ€˜π‘)) = 0)
3218, 31eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)
3332ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0))
343, 33jcad 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
35 plysubcl 25971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
364, 9, 35syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
37 plyf 25947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž):β„‚βŸΆβ„‚)
38 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž):β„‚βŸΆβ„‚ β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) Fn β„‚)
39 fniniseg 7060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) Fn β„‚ β†’ (𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
4036, 37, 38, 394syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ↔ (𝑏 ∈ β„‚ ∧ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž)β€˜π‘) = 0)))
4134, 40sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 β†’ 𝑏 ∈ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})))
4241ssrdv 3987 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}))
43 ssfi 9175 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ 𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) β†’ 𝐷 ∈ Fin)
4443expcom 412 . . . . . . . . . 10 (𝐷 βŠ† (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ Fin))
4542, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ Fin))
461, 45mtod 197 . . . . . . . 8 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ Β¬ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin)
47 neqne 2946 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝 β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β‰  0𝑝)
48 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) = (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})
4948fta1 26057 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β‰  0𝑝) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž))))
5036, 47, 49syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝) β†’ ((β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0})) ≀ (degβ€˜(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž))))
5150simpld 493 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) ∧ Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝) β†’ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin)
5251ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (Β¬ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝 β†’ (β—‘(𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) β€œ {0}) ∈ Fin))
5346, 52mt3d 148 . . . . . . 7 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = 0𝑝)
54 df-0p 25419 . . . . . . 7 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
5553, 54eqtrdi 2786 . . . . . 6 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ (𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}))
56 ofsubeq0 12213 . . . . . . 7 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑝:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ π‘Ž:β„‚βŸΆβ„‚) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘Ž))
5714, 6, 11, 56mp3an2i 1464 . . . . . 6 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ ((𝑝 ∘f βˆ’ π‘Ž) = (β„‚ Γ— {0}) ↔ 𝑝 = π‘Ž))
5855, 57mpbid 231 . . . . 5 (((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) ∧ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))) β†’ 𝑝 = π‘Ž)
5958ex 411 . . . 4 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ (((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
6059alrimivv 1929 . . 3 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘βˆ€π‘Ž(((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
61 eleq1w 2814 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ↔ π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚)))
62 reseq1 5974 . . . . . 6 (𝑝 = π‘Ž β†’ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = (π‘Ž β†Ύ 𝐷))
6362eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝑝 = π‘Ž β†’ ((𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹 ↔ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
6461, 63anbi12d 629 . . . 4 (𝑝 = π‘Ž β†’ ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ↔ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)))
6564mo4 2558 . . 3 (βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ↔ βˆ€π‘βˆ€π‘Ž(((𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) ∧ (π‘Ž ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (π‘Ž β†Ύ 𝐷) = 𝐹)) β†’ 𝑝 = π‘Ž))
6660, 65sylibr 233 . 2 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
67 plyssc 25949 . . . . 5 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
6867sseli 3977 . . . 4 (𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
6968anim1i 613 . . 3 ((𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) β†’ (𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
7069moimi 2537 . 2 (βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
7166, 70syl 17 1 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ Β¬ 𝐷 ∈ Fin) β†’ βˆƒ*𝑝(𝑝 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ (𝑝 β†Ύ 𝐷) = 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒ*wmo 2530   β‰  wne 2938  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β™―chash 14294  0𝑝c0p 25418  Polycply 25933  degcdgr 25936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25419  df-ply 25937  df-idp 25938  df-coe 25939  df-dgr 25940  df-quot 26040
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