Theorem ovnssle 47134

Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnssle.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ovnssle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnssle	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 12330	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3		fveq2 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
4	3	fveq1d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	4	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6		ovnssle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		ovnssle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
11	10	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
12	9, 11	sseqtrd 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
13	7, 12	sstrd 3949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
14	13	ovn0val 47123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
15	5, 14	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
16	3	fveq1d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
17	16	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
18	12	ovn0val 47123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
20	15, 19	breq12d 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
21	2, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22		ovnssle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
23	22	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24		neqne 2968	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
26	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
29		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
30	23, 25, 26, 27, 28, 29	ovnsslelem 47133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
31	21, 30	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Xcixp 8883  Fincfn 8931  ℝcr 11087  0cc0 11088  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232  ℕcn 12221  [,)cico 13362  ∏cprod 15945  volcvol 25579  Σ^{^}csumge0 46935  voln*covoln 47109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-seq 14026  df-prod 15946  df-ovoln 47110

This theorem is referenced by:  ovnome  47146  hspmbllem3  47201