Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnssle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnssle 43594
 Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnssle.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2 (𝜑𝐴𝐵)
ovnssle.3 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnssle (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle
Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0le0 11780 . . . 4 0 ≤ 0
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3 fveq2 6662 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
43fveq1d 6664 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
54adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6 ovnssle.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
76adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
8 ovnssle.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
1110oveq2d 7171 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
129, 11sseqtrd 3934 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
137, 12sstrd 3904 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
1413ovn0val 43583 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
155, 14eqtrd 2793 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
163fveq1d 6664 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1716adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1812ovn0val 43583 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
1917, 18eqtrd 2793 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
2015, 19breq12d 5048 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
212, 20mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22 ovnssle.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24 neqne 2959 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2524adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
266adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
278adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28 eqid 2758 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
29 eqid 2758 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3023, 25, 26, 27, 28, 29ovnsslelem 43593 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
3121, 30pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ∪ ciun 4886   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525   ∘ ccom 5531  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑m cmap 8421  Xcixp 8484  Fincfn 8532  ℝcr 10579  0cc0 10580  ℝ*cxr 10717   ≤ cle 10719  ℕcn 11679  [,)cico 12786  ∏cprod 15312  volcvol 24168  Σ^csumge0 43395  voln*covoln 43569 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-seq 13424  df-prod 15313  df-ovoln 43570 This theorem is referenced by:  ovnome  43606  hspmbllem3  43661
 Copyright terms: Public domain W3C validator