Theorem ovnssle 47308

Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnssle.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ovnssle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnssle	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 12353	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
4	3	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6		ovnssle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		ovnssle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
11	10	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
12	9, 11	sseqtrd 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
13	7, 12	sstrd 3948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
14	13	ovn0val 47297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
15	5, 14	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
16	3	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
18	12	ovn0val 47297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
20	15, 19	breq12d 5124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
21	2, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22		ovnssle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24		neqne 2968	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
25	24	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
26	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
29		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
30	23, 25, 26, 27, 28, 29	ovnsslelem 47307	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
31	21, 30	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Xcixp 8897  Fincfn 8945  ℝcr 11110  0cc0 11111  ℝ^*cxr 11253   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  [,)cico 13385  ∏cprod 15975  volcvol 25651  Σ^{^}csumge0 47109  voln*covoln 47283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-seq 14051  df-prod 15976  df-ovoln 47284

This theorem is used by:  ovnome  47320  hspmbllem3  47375