Theorem ovnssle 47007

Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnssle.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ovnssle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnssle	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 12273	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
4	3	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6		ovnssle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		ovnssle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
11	10	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
12	9, 11	sseqtrd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
13	7, 12	sstrd 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
14	13	ovn0val 46996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
15	5, 14	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
16	3	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
18	12	ovn0val 46996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
20	15, 19	breq12d 5099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
21	2, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22		ovnssle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
30	23, 25, 26, 27, 28, 29	ovnsslelem 47006	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
31	21, 30	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ ciun 4934   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Xcixp 8838  Fincfn 8886  ℝcr 11028  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  [,)cico 13291  ∏cprod 15859  volcvol 25440  Σ^{^}csumge0 46808  voln*covoln 46982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-seq 13955  df-prod 15860  df-ovoln 46983

This theorem is referenced by:  ovnome  47019  hspmbllem3  47074