Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnssle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnssle 45576
Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnssle.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2 (𝜑𝐴𝐵)
ovnssle.3 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnssle (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle
Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0le0 12318 . . . 4 0 ≤ 0
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
43fveq1d 6893 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6 ovnssle.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
8 ovnssle.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
1110oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
129, 11sseqtrd 4022 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
137, 12sstrd 3992 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
1413ovn0val 45565 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
155, 14eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
163fveq1d 6893 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1812ovn0val 45565 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
1917, 18eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
2015, 19breq12d 5161 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
212, 20mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22 ovnssle.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24 neqne 2947 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2524adantl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
266adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
278adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28 eqid 2731 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
29 eqid 2731 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3023, 25, 26, 27, 28, 29ovnsslelem 45575 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
3121, 30pm2.61dan 810 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8823  Xcixp 8894  Fincfn 8942  cr 11112  0cc0 11113  *cxr 11252  cle 11254  cn 12217  [,)cico 13331  cprod 15854  volcvol 25213  Σ^csumge0 45377  voln*covoln 45551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-seq 13972  df-prod 15855  df-ovoln 45552
This theorem is referenced by:  ovnome  45588  hspmbllem3  45643
  Copyright terms: Public domain W3C validator