Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnssle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnssle 45263
Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnssle.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2 (𝜑𝐴𝐵)
ovnssle.3 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ovnssle (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle
Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0le0 12309 . . . 4 0 ≤ 0
21a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
43fveq1d 6890 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
54adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6 ovnssle.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
8 ovnssle.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
1110oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
129, 11sseqtrd 4021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
137, 12sstrd 3991 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
1413ovn0val 45252 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
155, 14eqtrd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
163fveq1d 6890 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
1812ovn0val 45252 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
1917, 18eqtrd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
2015, 19breq12d 5160 . . 3 ((𝜑𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
212, 20mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22 ovnssle.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2322adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24 neqne 2948 . . . 4 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2524adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
266adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴𝐵)
278adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28 eqid 2732 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
29 eqid 2732 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 𝑗 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
3023, 25, 26, 27, 28, 29ovnsslelem 45262 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
3121, 30pm2.61dan 811 1 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  {crab 3432  wss 3947  c0 4321   ciun 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  ccom 5679  cfv 6540  (class class class)co 7405  m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  cr 11105  0cc0 11106  *cxr 11243  cle 11245  cn 12208  [,)cico 13322  cprod 15845  volcvol 24971  Σ^csumge0 45064  voln*covoln 45238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-seq 13963  df-prod 15846  df-ovoln 45239
This theorem is referenced by:  ovnome  45275  hspmbllem3  45330
  Copyright terms: Public domain W3C validator