Theorem ovnssle 46916

Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnssle.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ovnssle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnssle	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 12258	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
4	3	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6		ovnssle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		ovnssle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
11	10	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m ∅))
12	9, 11	sseqtrd 3972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
13	7, 12	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
14	13	ovn0val 46905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
15	5, 14	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
16	3	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
18	12	ovn0val 46905	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
20	15, 19	breq12d 5113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
21	2, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22		ovnssle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24		neqne 2941	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
28		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑m 𝑋) ↑m ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
30	23, 25, 26, 27, 28, 29	ovnsslelem 46915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
31	21, 30	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Xcixp 8847  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  [,)cico 13275  ∏cprod 15838  volcvol 25432  Σ^{^}csumge0 46717  voln*covoln 46891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-seq 13937  df-prod 15839  df-ovoln 46892

This theorem is referenced by:  ovnome  46928  hspmbllem3  46983