Theorem von0val 47417

Description: The Lebesgue measure (for the zero dimensional space of reals) of every measurable set is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
von0val.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘∅))

Assertion

Ref	Expression
von0val	⊢ (𝜑 → ((voln‘∅)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem von0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9041	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
3		von0val.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom (voln‘∅))
4	2, 3	mblvon 47385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln‘∅)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	2, 3	vonmblss2 47388	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑m ∅))
6	5	ovn0val 47296	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
7	4, 6	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ((voln‘∅)‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4289  dom cdm 5664  ‘cfv 6540  Fincfn 8945  0cc0 11110  voln*covoln 47282  volncvoln 47284

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cc 10429  ax-ac2 10457  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-disj 5080  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10111  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ioo 13386  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-fl 13836  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-rlim 15551  df-sum 15749  df-prod 15969  df-rest 17485  df-topgen 17506  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-top 23066  df-topon 23083  df-bases 23118  df-cmp 23559  df-ovol 25638  df-vol 25639  df-sumge0 47109  df-ome 47236  df-caragen 47238  df-ovoln 47283  df-voln 47285

This theorem is used by:  vonhoire  47418  vonioo  47428  vonicc  47431  vonsn  47437