Theorem pw2sltdiv1d 28346

Description: Surreal less-than relationship for division by a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2sltdivmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2sltdivmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2sltdivmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2sltdiv1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2sltdiv1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2sltdivmuld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2sltdivmuld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		pw2sltdivmuld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4	2, 3	pw2divscld 28333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
5	1, 4, 3	pw2sltdivmuld 28344	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁)) ↔ 𝐴 <s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁)))))
6	2, 3	pw2divscan2d 28336	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐵)
7	6	breq2d 5104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))) ↔ 𝐴 <s 𝐵))
8	5, 7	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349   No csur 27549   <s cslt 27550   ·_s cmuls 28016   /_su cdivs 28097  ℕ_0scnn0s 28213  2_sc2s 28304  ↑_scexps 28306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-nadd 8584  df-no 27552  df-slt 27553  df-bday 27554  df-sle 27655  df-sslt 27692  df-scut 27694  df-0s 27739  df-1s 27740  df-made 27759  df-old 27760  df-left 27762  df-right 27763  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-muls 28017  df-divs 28098  df-seqs 28185  df-n0s 28215  df-nns 28216  df-zs 28274  df-2s 28305  df-exps 28307

This theorem is referenced by:  pw2cut2  28353