Theorem pw2sltmuldiv2d 28378

Description: Surreal less-than relationship between division and multiplication for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2sltdivmuld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2sltdivmuld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2sltdivmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2sltmuldiv2d	⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2sltmuldiv2d

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2sltdivmuld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2sltdivmuld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		2sno 28346	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2sltdivmuld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28358	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		2nns 28345	. . . . 5 ⊢ 2s ∈ ℕs
8		nnsgt0 28271	. . . . 5 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0s <s 2s
10		expsgt0 28364	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
11	3, 9, 10	mp3an13 1454	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
13		pw2recs 28365	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
14	4, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
15	1, 2, 6, 12, 14	sltmuldiv2wd 28145	1 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369   No csur 27584   <s cslt 27585   0_s c0s 27771   1_s c1s 27772   ·_s cmuls 28049   /_su cdivs 28130  ℕ_0scnn0s 28246  ℕ_scnns 28247  2_sc2s 28337  ↑_scexps 28339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-nadd 8607  df-no 27587  df-slt 27588  df-bday 27589  df-sle 27690  df-sslt 27727  df-scut 27729  df-0s 27773  df-1s 27774  df-made 27792  df-old 27793  df-left 27795  df-right 27796  df-norec 27885  df-norec2 27896  df-adds 27907  df-negs 27967  df-subs 27968  df-muls 28050  df-divs 28131  df-seqs 28218  df-n0s 28248  df-nns 28249  df-zs 28307  df-2s 28338  df-exps 28340

This theorem is referenced by:  avgslt1d  28379