Theorem pw2divscld 28453

Description: Division closure for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Proof of Theorem pw2divscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2no 28433	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28445	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 594	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28434	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28450	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1474	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28452	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divsclwd 28210	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  (class class class)co 7360   No csur 27625   0_s c0s 27819   1_s c1s 27820   ·_s cmuls 28120   /_su cdivs 28201  ℕ_0scn0s 28326  2_sc2s 28424  ↑_scexps 28426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27628  df-lts 27629  df-bday 27630  df-les 27731  df-slts 27772  df-cuts 27774  df-0s 27821  df-1s 27822  df-made 27841  df-old 27842  df-left 27844  df-right 27845  df-norec 27952  df-norec2 27963  df-adds 27974  df-negs 28035  df-subs 28036  df-muls 28121  df-divs 28202  df-seqs 28298  df-n0s 28328  df-nns 28329  df-zs 28393  df-2s 28425  df-exps 28427

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28458  pw2gt0divsd  28459  pw2ge0divsd  28460  pw2divsrecd  28461  pw2divsdird  28462  pw2divsnegd  28463  pw2ltsdiv1d  28466  pw2cut2  28476  bdaypw2n0bndlem  28477  bdaypw2bnd  28479  bdayfinbndlem1  28481  z12bdaylem1  28484  z12bdaylem2  28485  z12no  28490  z12shalf  28494  z12zsodd  28496  z12sge0  28497  z12bdaylem  28498