Theorem pw2divscld 28439

Description: Division closure for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Proof of Theorem pw2divscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2no 28419	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28431	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28420	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28436	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28438	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divsclwd 28196	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  (class class class)co 7360   No csur 27611   0_s c0s 27805   1_s c1s 27806   ·_s cmuls 28106   /_su cdivs 28187  ℕ_0scn0s 28312  2_sc2s 28410  ↑_scexps 28412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616  df-les 27717  df-slts 27758  df-cuts 27760  df-0s 27807  df-1s 27808  df-made 27827  df-old 27828  df-left 27830  df-right 27831  df-norec 27938  df-norec2 27949  df-adds 27960  df-negs 28021  df-subs 28022  df-muls 28107  df-divs 28188  df-seqs 28284  df-n0s 28314  df-nns 28315  df-zs 28379  df-2s 28411  df-exps 28413

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28444  pw2gt0divsd  28445  pw2ge0divsd  28446  pw2divsrecd  28447  pw2divsdird  28448  pw2divsnegd  28449  pw2ltsdiv1d  28452  pw2cut2  28462  bdaypw2n0bndlem  28463  bdaypw2bnd  28465  bdayfinbndlem1  28467  z12bdaylem1  28470  z12bdaylem2  28471  z12no  28476  z12shalf  28480  z12zsodd  28482  z12sge0  28483  z12bdaylem  28484