Theorem pw2divscld 28416

Description: Division closure for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Proof of Theorem pw2divscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2sno 28396	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28408	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28397	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28413	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divsclwd 28176	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  (class class class)co 7358   No csur 27609   0_s c0s 27801   1_s c1s 27802   ·_s cmuls 28086   /_su cdivs 28167  ℕ_0scnn0s 28291  2_sc2s 28387  ↑_scexps 28389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-nadd 8594  df-no 27612  df-slt 27613  df-bday 27614  df-sle 27715  df-sslt 27756  df-scut 27758  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-muls 28087  df-divs 28168  df-seqs 28263  df-n0s 28293  df-nns 28294  df-zs 28356  df-2s 28388  df-exps 28390

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28421  pw2gt0divsd  28422  pw2ge0divsd  28423  pw2divsrecd  28424  pw2divsdird  28425  pw2divsnegd  28426  pw2sltdiv1d  28429  pw2cut2  28439  bdaypw2n0sbndlem  28440  bdaypw2bnd  28442  bdayfinbndlem1  28444  zs12bdaylem1  28447  zs12bdaylem2  28448  zs12no  28453  zs12half  28457  zs12zodd  28459  zs12ge0  28460  zs12bdaylem  28461