Theorem pw2divscld 28451

Description: Division closure for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Proof of Theorem pw2divscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2no 28431	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28443	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28432	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28448	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28450	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divsclwd 28208	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  (class class class)co 7364   No csur 27623   0_s c0s 27817   1_s c1s 27818   ·_s cmuls 28118   /_su cdivs 28199  ℕ_0scn0s 28324  2_sc2s 28422  ↑_scexps 28424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-nadd 8599  df-no 27626  df-lts 27627  df-bday 27628  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-0s 27819  df-1s 27820  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843  df-norec 27950  df-norec2 27961  df-adds 27972  df-negs 28033  df-subs 28034  df-muls 28119  df-divs 28200  df-seqs 28296  df-n0s 28326  df-nns 28327  df-zs 28391  df-2s 28423  df-exps 28425

This theorem is referenced by:  pw2divscan4d  28456  pw2gt0divsd  28457  pw2ge0divsd  28458  pw2divsrecd  28459  pw2divsdird  28460  pw2divsnegd  28461  pw2ltsdiv1d  28464  pw2cut2  28474  bdaypw2n0bndlem  28475  bdaypw2bnd  28477  bdayfinbndlem1  28479  z12bdaylem1  28482  z12bdaylem2  28483  z12no  28488  z12shalf  28492  z12zsodd  28494  z12sge0  28495  z12bdaylem  28496