Theorem pw2divscld 28702

Description: Division closure for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divscld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

Proof of Theorem pw2divscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		2no 28682	. . 3 ⊢ 2s ∈ No
3		pw2divscld.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
4		expscl 28694	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
5	2, 3, 4	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6		2ne0s 28683	. . 3 ⊢ 2s ≠ 0s
7		expsne0 28699	. . 3 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
8	2, 6, 3, 7	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
9		pw2recs 28701	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
10	3, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ No ((2s↑s𝑁) ·s 𝑥) = 1s )
11	1, 5, 8, 10	divsclwd 28459	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  (class class class)co 7416   No csur 27874   0_s c0s 28068   1_s c1s 28069   ·_s cmuls 28369   /_su cdivs 28450  ℕ_0scn0s 28575  2_sc2s 28673  ↑_scexps 28675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-nadd 8657  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-0s 28070  df-1s 28071  df-made 28090  df-old 28091  df-left 28093  df-right 28094  df-norec 28201  df-norec2 28212  df-adds 28223  df-negs 28284  df-subs 28285  df-muls 28370  df-divs 28451  df-seqs 28547  df-n0s 28577  df-nns 28578  df-zs 28642  df-2s 28674  df-exps 28676

This theorem is used by:  pw2divscan4d  28707  pw2gt0divsd  28708  pw2ge0divsd  28709  pw2divsrecd  28710  pw2divsdird  28711  pw2divsnegd  28712  pw2ltsdiv1d  28715  pw2cut2  28725  bdaypw2n0bndlem  28726  bdaypw2bnd  28728  bdayfinbndlem1  28730  z12bdaylem1  28733  z12bdaylem2  28734  z12no  28739  z12shalf  28743  z12zsodd  28745  z12sge0  28746  z12bdaylem  28747