Theorem fldiv4p1lem1div2 13868

Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fldiv4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 11842	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3		fvoveq1 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
4		3lt4 12417	. . . . . . 7 ⊢ 3 < 4
5		3nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6		4nn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		divfl0 13857	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
8	5, 6, 7	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
9	4, 8	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
10	3, 9	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
11	10	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
12		0p1e1 12361	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
13	11, 12	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
14		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
15		3m1e2 12368	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
16	14, 15	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
17	16	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
18		2div2e1 12381	. . . 4 ⊢ (2 / 2) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
20	2, 13, 19	3brtr4d 5147	. 2 ⊢ (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
21		uzp1 12899	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
22		2re 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
23	22	leidi 11748	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ 2
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
25		fvoveq1 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
26		df-5 12306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 = (4 + 1)
27	26	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
28		4cn 12326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		ax-1cn 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
30		4ne0 12352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
31	28, 29, 28, 30	divdiri 11972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
32	28, 30	dividi 11948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 4) = 1
33	32	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
34	27, 31, 33	3eqtri 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
35	34	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
36		1re 11208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		0le1 11737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
38		4re 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
39		4pos 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 4
40		divge0 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
41	36, 37, 38, 39, 40	mp4an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
42		1lt4 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 4
43		recgt1 12111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
44	38, 39, 43	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
45	42, 44	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 4) < 1
46		1z 12624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℤ
47	38, 30	rereccli 11980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
48		flbi2 13850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
49	46, 47, 48	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
50	41, 45, 49	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
51	35, 50	eqtri 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘(5 / 4)) = 1
52	25, 51	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
53	52	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
54		1p1e2 12364	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
55	53, 54	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
56		oveq1 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
57		5m1e4 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (5 − 1) = 4
58	56, 57	eqtrdi 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
59	58	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
60		4div2e2 12412	. . . . . 6 ⊢ (4 / 2) = 2
61	59, 60	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
62	24, 55, 61	3brtr4d 5147	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
63		eluz2 12868	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
64		zre 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
67	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
68	65, 66, 67	redivcld 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
69		flle 13832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
70	64, 68, 69	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
71	70	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
72	68	flcld 13831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
73	72	zred 12700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
74	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
75	73, 68, 74	3jca 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
76	64, 75	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
78		leadd1 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
79	77, 78	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
80	71, 79	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
81		div4p1lem1div2 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
82	64, 81	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
83		peano2re 11383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
84	73, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
85		peano2re 11383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
86	68, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
87		peano2rem 11525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
88	87	rehalfcld 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
89	84, 86, 88	3jca 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
90	64, 89	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
91	90	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
92		letr 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
93	91, 92	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
94	80, 82, 93	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
95	94	3adant1 1146	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
96	63, 95	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
97		5p1e6 12387	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
98	97	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
99	96, 98	eleq2s 2887	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
100	62, 99	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
101	21, 100	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
102	20, 101	jaoi 870	1 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441   / cdiv 11871  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ⌊cfl 13823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13825

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27491