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Theorem fldiv4p1lem1div2 13833
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 11873 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 11 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 fvoveq1 7443 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
4 3lt4 12417 . . . . . . 7 3 < 4
5 3nn0 12521 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
6 4nn 12326 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7 divfl0 13822 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
94, 8mpbi 229 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
103, 9eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1110oveq1d 7435 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 12365 . . . 4 (0 + 1) = 1
1311, 12eqtrdi 2784 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
14 oveq1 7427 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
15 3m1e2 12371 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1614, 15eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1716oveq1d 7435 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
18 2div2e1 12384 . . . 4 (2 / 2) = 1
1917, 18eqtrdi 2784 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
202, 13, 193brtr4d 5180 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
21 uzp1 12894 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
22 2re 12317 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2322leidi 11779 . . . . . 6 2 ≤ 2
2423a1i 11 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
25 fvoveq1 7443 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
26 df-5 12309 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2726oveq1i 7430 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
28 4cn 12328 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
29 ax-1cn 11197 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
30 4ne0 12351 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
3128, 29, 28, 30divdiri 12002 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3228, 30dividi 11978 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 4) = 1
3332oveq1i 7430 . . . . . . . . . . 11 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3427, 31, 333eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3534fveq2i 6900 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
36 1re 11245 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
37 0le1 11768 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 4re 12327 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
39 4pos 12350 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
40 divge0 12114 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4136, 37, 38, 39, 40mp4an 692 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
42 1lt4 12419 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
43 recgt1 12141 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4438, 39, 43mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4542, 44mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
46 1z 12623 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
4738, 30rereccli 12010 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℝ
48 flbi2 13815 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4946, 47, 48mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5041, 45, 49mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5135, 50eqtri 2756 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5225, 51eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5352oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
54 1p1e2 12368 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5553, 54eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
56 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
57 5m1e4 12373 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
5856, 57eqtrdi 2784 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
5958oveq1d 7435 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
60 4d2e2 12413 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6159, 60eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6224, 55, 613brtr4d 5180 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
63 eluz2 12859 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
64 zre 12593 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
6638a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6730a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
6865, 66, 67redivcld 12073 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
69 flle 13797 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7064, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7170adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7268flcld 13796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7372zred 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
7573, 68, 743jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7776adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
78 leadd1 11713 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8071, 79mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
81 div4p1lem1div2 12498 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8264, 81sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
83 peano2re 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
8473, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
85 peano2re 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
8668, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
87 peano2rem 11558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8887rehalfcld 12490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
8984, 86, 883jca 1126 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9064, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9190adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
92 letr 11339 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9480, 82, 93mp2and 698 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
95943adant1 1128 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
9663, 95sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
97 5p1e6 12390 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
9897fveq2i 6900 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
9996, 98eleq2s 2847 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10062, 99jaoi 856 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10121, 100syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10220, 101jaoi 856 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cle 11280  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  2c2 12298  3c3 12299  4c4 12300  5c5 12301  6c6 12302  0cn0 12503  cz 12589  cuz 12853  cfl 13788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27307
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