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Theorem fldiv4p1lem1div2 13747
Description: The floor of an integer equal to 3 or greater than 4, increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fldiv4p1lem1div2 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem fldiv4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 1le1 11790 . . . 4 1 ≤ 1
21a1i 11 . . 3 (𝑁 = 3 → 1 ≤ 1)
3 fvoveq1 7385 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(3 / 4)))
4 3lt4 12334 . . . . . . 7 3 < 4
5 3nn0 12438 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
6 4nn 12243 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ
7 divfl0 13736 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
85, 6, 7mp2an 691 . . . . . . 7 (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
94, 8mpbi 229 . . . . . 6 (⌊‘(3 / 4)) = 0
103, 9eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 0)
1110oveq1d 7377 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 12282 . . . 4 (0 + 1) = 1
1311, 12eqtrdi 2793 . . 3 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 1)
14 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = (3 − 1))
15 3m1e2 12288 . . . . . 6 (3 − 1) = 2
1614, 15eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑁 = 3 → (𝑁 − 1) = 2)
1716oveq1d 7377 . . . 4 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = (2 / 2))
18 2div2e1 12301 . . . 4 (2 / 2) = 1
1917, 18eqtrdi 2793 . . 3 (𝑁 = 3 → ((𝑁 − 1) / 2) = 1)
202, 13, 193brtr4d 5142 . 2 (𝑁 = 3 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
21 uzp1 12811 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))))
22 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2322leidi 11696 . . . . . 6 2 ≤ 2
2423a1i 11 . . . . 5 (𝑁 = 5 → 2 ≤ 2)
25 fvoveq1 7385 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘(5 / 4)))
26 df-5 12226 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
2726oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
28 4cn 12245 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
29 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
30 4ne0 12268 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
3128, 29, 28, 30divdiri 11919 . . . . . . . . . . 11 ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
3228, 30dividi 11895 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 4) = 1
3332oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
3427, 31, 333eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
3534fveq2i 6850 . . . . . . . . 9 (⌊‘(5 / 4)) = (⌊‘(1 + (1 / 4)))
36 1re 11162 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
37 0le1 11685 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
38 4re 12244 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
39 4pos 12267 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
40 divge0 12031 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
4136, 37, 38, 39, 40mp4an 692 . . . . . . . . . 10 0 ≤ (1 / 4)
42 1lt4 12336 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
43 recgt1 12058 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
4438, 39, 43mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
4542, 44mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (1 / 4) < 1
46 1z 12540 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
4738, 30rereccli 11927 . . . . . . . . . . 11 (1 / 4) ∈ ℝ
48 flbi2 13729 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4946, 47, 48mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1 ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1))
5041, 45, 49mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (⌊‘(1 + (1 / 4))) = 1
5135, 50eqtri 2765 . . . . . . . 8 (⌊‘(5 / 4)) = 1
5225, 51eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (⌊‘(𝑁 / 4)) = 1)
5352oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = (1 + 1))
54 1p1e2 12285 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
5553, 54eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) = 2)
56 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = (5 − 1))
57 5m1e4 12290 . . . . . . . 8 (5 − 1) = 4
5856, 57eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → (𝑁 − 1) = 4)
5958oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = (4 / 2))
60 4d2e2 12330 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
6159, 60eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑁 = 5 → ((𝑁 − 1) / 2) = 2)
6224, 55, 613brtr4d 5142 . . . 4 (𝑁 = 5 → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
63 eluz2 12776 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
64 zre 12510 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
65 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
6638a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
6730a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ≠ 0)
6865, 66, 67redivcld 11990 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
69 flle 13711 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7064, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7170adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4))
7268flcld 13710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℤ)
7372zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
7573, 68, 743jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7664, 75syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
7776adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
78 leadd1 11630 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) ≤ (𝑁 / 4) ↔ ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1)))
8071, 79mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1))
81 div4p1lem1div2 12415 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
8264, 81sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
83 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑁 / 4)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
8473, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ)
85 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
8668, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
87 peano2rem 11475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
8887rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
8984, 86, 883jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9064, 89syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
9190adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ))
92 letr 11256 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 / 4) + 1) ∧ ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
9480, 82, 93mp2and 698 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
95943adant1 1131 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
9663, 95sylbi 216 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
97 5p1e6 12307 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
9897fveq2i 6850 . . . . 5 (ℤ‘(5 + 1)) = (ℤ‘6)
9996, 98eleq2s 2856 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10062, 99jaoi 856 . . 3 ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(5 + 1))) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10121, 100syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
10220, 101jaoi 856 1 ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑁 / 4)) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  cfl 13702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  26725
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