Theorem flodddiv4 16326

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 12203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 12473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 11107	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 12210	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		4ne0 12233	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
8	6, 7	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10		divdir 11801	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11	4, 5, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12		2t2e4 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
13	12	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
15	14	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16		2ne0 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
18	3, 2, 2, 17, 17	divcan5d 11923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
19	15, 18	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
20	19	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	11, 20	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	1, 21	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
23	22	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24		iftrue 4478	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26		1re 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		0le1 11640	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
28		4re 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		4pos 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
30		divge0 11991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
31	26, 27, 28, 29, 30	mp4an 693	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
32		1lt4 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
33		recgt1 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
34	28, 29, 33	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
35	32, 34	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
36	31, 35	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37		evend2 16268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
38	37	biimpac 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
39		4nn 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		nnrecre 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
42		flbi2 13721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	38, 41, 42	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
44	36, 43	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
45	25, 44	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
46		iffalse 4481	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 16252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cnne0 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
51		divcan5 11823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
52	49, 50, 50, 51	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
53		2t1e2 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
54	53, 12	oveq12i 7358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
55	52, 54	eqtr3i 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
56	55	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57		2cn 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
58	57, 49, 6, 7	divdiri 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	56, 58, 60	3eqtr2i 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 28, 29, 69	mp4an 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	39, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 12961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78	65, 28, 7	redivcli 11888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
79		flbi2 13721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
80	78, 79	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
81	77, 80	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
82	64, 81	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
84		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
85	84	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
86		2z 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
88		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
89	87, 88	zmulcld 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
90	89	zcnd 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
91		1cnd 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
92	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
93		divdir 11801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
95		zcn 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
96		2cnd 12203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
97	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divcan3d 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	94, 99	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	85, 100	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 12335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 7	reccli 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	95, 104, 106	addassd 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 11541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	90, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	83, 110, 118	3eqtr4rd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	45, 125	pm2.61ian 811	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
127	126	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
128	127	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
129	23, 128	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  ℤcz 12468  ℝ⁺crp 12890  ⌊cfl 13694   ∥ cdvds 16163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-dvds 16164

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  27331