MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4 15756
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7158 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 11707 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 11978 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 10653 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 10628 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 11714 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
7 4ne0 11737 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
86, 7pm3.2i 471 . . . . . . 7 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10 divdir 11315 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
114, 5, 9, 10syl3anc 1365 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12 2t2e4 11793 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1312eqcomi 2834 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1514oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16 2ne0 11733 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
183, 2, 2, 17, 17divcan5d 11434 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1915, 18eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
2019oveq1d 7166 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2111, 20eqtrd 2860 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
221, 21sylan9eqr 2882 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2322fveq2d 6670 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24 iftrue 4475 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26 1re 10633 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 0le1 11155 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
28 4re 11713 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
29 4pos 11736 . . . . . . . . 9 0 < 4
30 divge0 11501 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3126, 27, 28, 29, 30mp4an 689 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 4)
32 1lt4 11805 . . . . . . . . 9 1 < 4
33 recgt1 11528 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3428, 29, 33mp2an 688 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3532, 34mpbi 231 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
3631, 35pm3.2i 471 . . . . . . 7 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37 evend2 15698 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3837biimpac 479 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
39 4nn 11712 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
40 nnrecre 11671 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
42 flbi2 13180 . . . . . . . 8 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4338, 41, 42sylancl 586 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4436, 43mpbiri 259 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4525, 44eqtr4d 2863 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
46 iffalse 4478 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
4746adantr 481 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48 odd2np1 15682 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
50 2cnne0 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
51 divcan5 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5249, 50, 50, 51mp3an 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
53 2t1e2 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
5453, 12oveq12i 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5552, 54eqtr3i 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) = (2 / 4)
5655oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
5857, 49, 6, 7divdiri 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6156, 58, 603eqtr2i 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6463fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65 3re 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
66 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
67 3pos 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 3
69 divge0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7065, 68, 28, 29, 69mp4an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (3 / 4)
71 3lt4 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
72 nnrp 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7339, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ+
74 divlt1lt 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
7671, 75mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
7865, 28, 7redivcli 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) ∈ ℝ
79 flbi2 13180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8078, 79mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8177, 80mpbiri 259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8264, 81eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
84 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8584eqcoms 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
86 2z 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
8987, 88zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9089zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
91 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
93 divdir 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
95 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
96 2cnd 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9895, 96, 97divcan3d 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
9998oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10094, 99eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10185, 100sylan9eqr 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102101oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) ∈ ℂ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1056, 7reccli 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
10795, 104, 106addassd 10655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112111eqcoms 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113 pncan1 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11490, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115112, 114sylan9eqr 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116115oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
11798adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118116, 117eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
11983, 110, 1183eqtr4rd 2871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120119ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 3288 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 241 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 408 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2860 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12645, 125pm2.61ian 808 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
127126eqcomd 2831 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
128127adantr 481 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
12923, 128eqtrd 2860 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wrex 3143  ifcif 4469   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  cz 11973  +crp 12382  cfl 13153  cdvds 15599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fl 13155  df-dvds 15600
This theorem is referenced by:  2lgslem1c  25883
  Copyright terms: Public domain W3C validator