Theorem flodddiv4 16505

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7420	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 11226	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		4ne0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
8	6, 7	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10		divdir 11921	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11	4, 5, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12		2t2e4 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
13	12	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
15	14	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16		2ne0 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
18	3, 2, 2, 17, 17	divcan5d 12041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
19	15, 18	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
20	19	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	11, 20	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	1, 21	sylan9eqr 2817	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
23	22	fveq2d 6882	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24		iftrue 4488	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26		1re 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		0le1 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
28		4re 12349	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		4pos 12375	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
30		divge0 12108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
31	26, 27, 28, 29, 30	mp4an 706	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
32		1lt4 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
33		recgt1 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
34	28, 29, 33	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
35	32, 34	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
36	31, 35	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37		evend2 16447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
38	37	biimpac 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
39		4nn 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		nnrecre 12302	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
42		flbi2 13878	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	38, 41, 42	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
44	36, 43	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
45	25, 44	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
46		iffalse 4491	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 16431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cnne0 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
51		divcan5 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
52	49, 50, 50, 51	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
53		2t1e2 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
54	53, 12	oveq12i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
55	52, 54	eqtr3i 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
56	55	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57		2cn 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
58	57, 49, 6, 7	divdiri 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	56, 58, 60	3eqtr2i 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 12108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 28, 29, 69	mp4an 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	39, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 13113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78	65, 28, 7	redivcli 12006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
79		flbi2 13878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
80	78, 79	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
81	77, 80	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
82	64, 81	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
84		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
85	84	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
86		2z 12650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
88		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
89	87, 88	zmulcld 12731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
90	89	zcnd 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
91		1cnd 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
92	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
93		divdir 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
95		zcn 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
96		2cnd 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
97	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divcan3d 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	94, 99	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	85, 100	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 7	reccli 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	95, 104, 106	addassd 11255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 11662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	90, 113	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	83, 110, 118	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	45, 125	pm2.61ian 824	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
127	126	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
128	127	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
129	23, 128	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13042  ⌊cfl 13851   ∥ cdvds 16342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fl 13853  df-dvds 16343

This theorem is used by:  2lgslem1c  27629