MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4 16356
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1) โ†’ (๐‘ / 4) = (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4))
2 2cnd 12290 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3 zcn 12563 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
42, 3mulcld 11234 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11209 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6 4cn 12297 . . . . . . . 8 4 โˆˆ โ„‚
7 4ne0 12320 . . . . . . . 8 4 โ‰  0
86, 7pm3.2i 472 . . . . . . 7 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
98a1i 11 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
10 divdir 11897 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4) = (((2 ยท ๐‘€) / 4) + (1 / 4)))
114, 5, 9, 10syl3anc 1372 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4) = (((2 ยท ๐‘€) / 4) + (1 / 4)))
12 2t2e4 12376 . . . . . . . . . 10 (2 ยท 2) = 4
1312eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 4 = (2 ยท 2)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 = (2 ยท 2))
1514oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / 4) = ((2 ยท ๐‘€) / (2 ยท 2)))
16 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
183, 2, 2, 17, 17divcan5d 12016 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / (2 ยท 2)) = (๐‘€ / 2))
1915, 18eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘€) / 4) = (๐‘€ / 2))
2019oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) / 4) + (1 / 4)) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
2111, 20eqtrd 2773 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘€) + 1) / 4) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
221, 21sylan9eqr 2795 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (๐‘ / 4) = ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))
2322fveq2d 6896 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
24 iftrue 4535 . . . . . . 7 (2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘€ / 2))
2524adantr 482 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘€ / 2))
26 1re 11214 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
27 0le1 11737 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
28 4re 12296 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„
29 4pos 12319 . . . . . . . . 9 0 < 4
30 divge0 12083 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / 4))
3126, 27, 28, 29, 30mp4an 692 . . . . . . . 8 0 โ‰ค (1 / 4)
32 1lt4 12388 . . . . . . . . 9 1 < 4
33 recgt1 12110 . . . . . . . . . 10 ((4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4) โ†’ (1 < 4 โ†” (1 / 4) < 1))
3428, 29, 33mp2an 691 . . . . . . . . 9 (1 < 4 โ†” (1 / 4) < 1)
3532, 34mpbi 229 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
3631, 35pm3.2i 472 . . . . . . 7 (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)
37 evend2 16300 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค))
3837biimpac 480 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค)
39 4nn 12295 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„•
40 nnrecre 12254 . . . . . . . . 9 (4 โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 4) โˆˆ โ„)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 / 4) โˆˆ โ„
42 flbi2 13782 . . . . . . . 8 (((๐‘€ / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (1 / 4) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2) โ†” (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)))
4338, 41, 42sylancl 587 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2) โ†” (0 โ‰ค (1 / 4) โˆง (1 / 4) < 1)))
4436, 43mpbiri 258 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (๐‘€ / 2))
4525, 44eqtr4d 2776 . . . . 5 ((2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
46 iffalse 4538 . . . . . . 7 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2))
4746adantr 482 . . . . . 6 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2))
48 odd2np1 16284 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€))
49 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 โˆˆ โ„‚
50 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
51 divcan5 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2))
5249, 50, 50, 51mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2)
53 2t1e2 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ยท 1) = 2
5453, 12oveq12i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (2 / 4)
5552, 54eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) = (2 / 4)
5655oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„‚
5857, 49, 6, 7divdiri 11971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6156, 58, 603eqtr2i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (๐‘ฅ + (3 / 4)))
6463fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))))
65 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 โˆˆ โ„
66 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„
67 3pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 3
69 divge0 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 3) โˆง (4 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 4)) โ†’ 0 โ‰ค (3 / 4))
7065, 68, 28, 29, 69mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โ‰ค (3 / 4)
71 3lt4 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
72 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
7339, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 โˆˆ โ„+
74 divlt1lt 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ ((3 / 4) < 1 โ†” 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 4) < 1 โ†” 3 < 4)
7671, 75mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)
7865, 28, 7redivcli 11981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) โˆˆ โ„
79 flbi2 13782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง (3 / 4) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ โ†” (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)))
8078, 79mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ โ†” (0 โ‰ค (3 / 4) โˆง (3 / 4) < 1)))
8177, 80mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (3 / 4))) = ๐‘ฅ)
8264, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = ๐‘ฅ)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = ๐‘ฅ)
84 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2))
8584eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2))
86 2z 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 โˆˆ โ„ค
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
8987, 88zmulcld 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
9089zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
91 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
93 divdir 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) + (1 / 2)))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2) = (((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) + (1 / 2)))
95 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
96 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
9895, 96, 97divcan3d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) = ๐‘ฅ)
9998oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) + (1 / 2)) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
10094, 99eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) / 2) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
10185, 100sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / 2) = (๐‘ฅ + (1 / 2)))
102101oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)) = ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
1056, 7reccli 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) โˆˆ โ„‚
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 4) โˆˆ โ„‚)
10795, 104, 106addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘ฅ + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ / 2) + (1 / 4)) = (๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1))
112111eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1))
113 pncan1 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
11490, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
115112, 114sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘ฅ))
116115oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2))
11798adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) / 2) = ๐‘ฅ)
118116, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘ฅ)
11983, 110, 1183eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
120119ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 3156 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 239 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 409 . . . . . 6 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2773 . . . . 5 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
12645, 125pm2.61ian 811 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))))
127126eqcomd 2739 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
128127adantr 482 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / 2) + (1 / 4))) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
12923, 128eqtrd 2773 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘€, (๐‘€ / 2), ((๐‘€ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  2lgslem1c  26896
  Copyright terms: Public domain W3C validator