MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4 16448
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7437 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 12341 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 12615 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 11278 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 11253 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 12348 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
7 4ne0 12371 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
86, 7pm3.2i 470 . . . . . . 7 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10 divdir 11944 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
114, 5, 9, 10syl3anc 1370 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12 2t2e4 12427 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1312eqcomi 2743 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1514oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16 2ne0 12367 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
183, 2, 2, 17, 17divcan5d 12066 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1915, 18eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
2019oveq1d 7445 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2111, 20eqtrd 2774 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
221, 21sylan9eqr 2796 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2322fveq2d 6910 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24 iftrue 4536 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26 1re 11258 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 0le1 11783 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
28 4re 12347 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
29 4pos 12370 . . . . . . . . 9 0 < 4
30 divge0 12134 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3126, 27, 28, 29, 30mp4an 693 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 4)
32 1lt4 12439 . . . . . . . . 9 1 < 4
33 recgt1 12161 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3428, 29, 33mp2an 692 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3532, 34mpbi 230 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
3631, 35pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37 evend2 16390 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
3837biimpac 478 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
39 4nn 12346 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
40 nnrecre 12305 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
42 flbi2 13853 . . . . . . . 8 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4338, 41, 42sylancl 586 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4436, 43mpbiri 258 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4525, 44eqtr4d 2777 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
46 iffalse 4539 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
4746adantr 480 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48 odd2np1 16374 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
50 2cnne0 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
51 divcan5 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5249, 50, 50, 51mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
53 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
5453, 12oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5552, 54eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) = (2 / 4)
5655oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
5857, 49, 6, 7divdiri 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59 2p1e3 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
6059oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6156, 58, 603eqtr2i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6362oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6463fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65 3re 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
66 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
67 3pos 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 3
6866, 65, 67ltleii 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 3
69 divge0 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7065, 68, 28, 29, 69mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (3 / 4)
71 3lt4 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
72 nnrp 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7339, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ+
74 divlt1lt 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7565, 73, 74mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
7671, 75mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) < 1
7770, 76pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
7865, 28, 7redivcli 12031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) ∈ ℝ
79 flbi2 13853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8078, 79mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8177, 80mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8264, 81eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
84 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8584eqcoms 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
86 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
88 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
8987, 88zmulcld 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9089zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
91 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
93 divdir 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
9490, 91, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
95 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
96 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
9716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
9895, 96, 97divcan3d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
9998oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10094, 99eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10185, 100sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102101oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103 halfcn 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) ∈ ℂ
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1056, 7reccli 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
10795, 104, 106addassd 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109102, 108eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110109fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112111eqcoms 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113 pncan1 11684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11490, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115112, 114sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116115oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
11798adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118116, 117eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
11983, 110, 1183eqtr4rd 2785 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120119ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122121rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12348, 122sylbid 240 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123impcom 407 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12547, 124eqtrd 2774 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12645, 125pm2.61ian 812 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
127126eqcomd 2740 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
128127adantr 480 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
12923, 128eqtrd 2774 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  cz 12610  +crp 13031  cfl 13826  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  2lgslem1c  27451
  Copyright terms: Public domain W3C validator