Theorem flodddiv4 15754

Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2		2cnd 11703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3		zcn 11974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
4	2, 3	mulcld 10650	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5		1cnd 10625	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6		4cn 11710	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		4ne0 11733	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
8	6, 7	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10		divdir 11312	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
11	4, 5, 9, 10	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12		2t2e4 11789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
13	12	eqcomi 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
15	14	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16		2ne0 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
18	3, 2, 2, 17, 17	divcan5d 11431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
19	15, 18	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
20	19	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
21	11, 20	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
22	1, 21	sylan9eqr 2855	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
23	22	fveq2d 6649	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24		iftrue 4431	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
25	24	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26		1re 10630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		0le1 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
28		4re 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
29		4pos 11732	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
30		divge0 11498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
31	26, 27, 28, 29, 30	mp4an 692	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ (1 / 4)
32		1lt4 11801	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 4
33		recgt1 11525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
34	28, 29, 33	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
35	32, 34	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) < 1
36	31, 35	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37		evend2 15698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
38	37	biimpac 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
39		4nn 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		nnrecre 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 4) ∈ ℝ
42		flbi2 13182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
43	38, 41, 42	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
44	36, 43	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
45	25, 44	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ ((2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
46		iffalse 4434	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
47	46	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
48		odd2np1 15682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
49		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		2cnne0 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
51		divcan5 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
52	49, 50, 50, 51	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
53		2t1e2 11788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
54	53, 12	oveq12i 7147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
55	52, 54	eqtr3i 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 / 2) = (2 / 4)
56	55	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
57		2cn 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
58	57, 49, 6, 7	divdiri 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
59		2p1e3 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = 3
60	59	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
61	56, 58, 60	3eqtr2i 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
63	62	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
64	63	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
65		3re 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
66		0re 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
67		3pos 11730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 3
68	66, 65, 67	ltleii 10752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 3
69		divge0 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
70	65, 68, 28, 29, 69	mp4an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ (3 / 4)
71		3lt4 11799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 < 4
72		nnrp 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
73	39, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℝ+
74		divlt1lt 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
75	65, 73, 74	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
76	71, 75	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) < 1
77	70, 76	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
78	65, 28, 7	redivcli 11396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
79		flbi2 13182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
80	78, 79	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
81	77, 80	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
82	64, 81	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
83	82	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
84		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
85	84	eqcoms 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
86		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℤ
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
88		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
89	87, 88	zmulcld 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
90	89	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
91		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
92	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
93		divdir 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
95		zcn 11974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
96		2cnd 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
97	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
98	95, 96, 97	divcan3d 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
99	98	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
100	94, 99	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
101	85, 100	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
102	101	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
103		halfcn 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
105	6, 7	reccli 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
107	95, 104, 106	addassd 10652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
108	107	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
109	102, 108	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
110	109	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
111		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
112	111	eqcoms 2806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
113		pncan1 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
114	90, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
115	112, 114	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
116	115	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
117	98	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
118	116, 117	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
119	83, 110, 118	3eqtr4rd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
120	119	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
121	120	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
122	121	rexlimdva 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
123	48, 122	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124	123	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
125	47, 124	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
126	45, 125	pm2.61ian 811	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
127	126	eqcomd 2804	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
128	127	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
129	23, 128	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℤcz 11969  ℝ⁺crp 12377  ⌊cfl 13155   ∥ cdvds 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-dvds 15600

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  25977