MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogsumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogsumlem2 27334
Description: Lemma for rplogsum 27376. Equation 9.2.14 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rplogsumlem2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐ด)(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) โ‰ค 2)
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem rplogsumlem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flid 13770 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) = ๐ด)
21oveq2d 7417 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) = (1...๐ด))
32sumeq1d 15644 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐ด)(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›))
4 fveq2 6881 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
5 eleq1 2813 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™))
6 fveq2 6881 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)))
75, 6ifbieq1d 4544 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0) = if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0))
84, 7oveq12d 7419 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) = ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)))
9 id 22 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ ๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜))
108, 9oveq12d 7419 . . . 4 (๐‘› = (๐‘โ†‘๐‘˜) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
11 zre 12559 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
12 elfznn 13527 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
14 vmacl 26966 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1613nnrpd 13011 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
1716relogcld 26473 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
18 0re 11213 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
19 ifcl 4565 . . . . . . . 8 (((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0) โˆˆ โ„)
2017, 18, 19sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0) โˆˆ โ„)
2115, 20resubcld 11639 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) โˆˆ โ„)
2221, 13nndivred 12263 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
2322recnd 11239 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
24 simprr 770 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)
25 vmaprm 26965 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) = (logโ€˜๐‘›))
26 prmnn 16608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
2726nnred 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
28 prmgt1 16631 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘›)
2927, 28rplogcld 26479 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
3025, 29eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
3130rpne0d 13018 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„™ โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โ‰  0)
3231necon2bi 2963 . . . . . . . . . 10 ((ฮ›โ€˜๐‘›) = 0 โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ โ„™)
3332ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ โ„™)
3433iffalsed 4531 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0) = 0)
3524, 34oveq12d 7419 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) = (0 โˆ’ 0))
36 0m0e0 12329 . . . . . . 7 (0 โˆ’ 0) = 0
3735, 36eqtrdi 2780 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) = 0)
3837oveq1d 7416 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = (0 / ๐‘›))
3912ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
4039nnrpd 13011 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
4140rpcnne0d 13022 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
42 div0 11899 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0) โ†’ (0 / ๐‘›) = 0)
4341, 42syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (0 / ๐‘›) = 0)
4438, 43eqtrd 2764 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆง (ฮ›โ€˜๐‘›) = 0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = 0)
4510, 11, 23, 44fsumvma2 27063 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
463, 45eqtr3d 2766 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐ด)(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) = ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
47 fzfid 13935 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ Fin)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™))
4948elin2d 4191 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
50 prmnn 16608 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5251nnred 12224 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5311adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
54 zcn 12560 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5554abscld 15380 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
56 peano2re 11384 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
59 elinel1 4187 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด))
60 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
6118, 11, 60sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ (0[,]๐ด) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
6259, 61imbitrid 243 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด)))
6362imp 406 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ โˆง ๐‘ โ‰ค ๐ด))
6463simp3d 1141 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐ด)
6554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6665abscld 15380 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
6753leabsd 15358 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โ‰ค (absโ€˜๐ด))
6866lep1d 12142 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + 1))
6953, 66, 58, 67, 68letrd 11368 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + 1))
7052, 53, 58, 64, 69letrd 11368 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + 1))
71 prmuz2 16630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7249, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
73 nn0abscl 15256 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
74 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . . . . 12 ((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
7675nnzd 12582 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ค)
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ค)
78 elfz5 13490 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)) โ†” ๐‘ โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + 1)))
7972, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)) โ†” ๐‘ โ‰ค ((absโ€˜๐ด) + 1)))
8070, 79mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)))
8180ex 412 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))))
8281ssrdv 3980 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โІ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)))
8347, 82ssfid 9263 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆˆ Fin)
84 fzfid 13935 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โˆˆ Fin)
85 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™))
8685elin2d 4191 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
87 elfznn 13527 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
8887ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
89 vmappw 26964 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
9086, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
9151adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
9291nnrpd 13011 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
9392relogcld 26473 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
9490, 93eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
9588nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
96 nnexpcl 14037 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9791, 95, 96syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
9897nnrpd 13011 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
9998relogcld 26473 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
100 ifcl 4565 . . . . . . . . 9 (((logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0) โˆˆ โ„)
10199, 18, 100sylancl 585 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0) โˆˆ โ„)
10294, 101resubcld 11639 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) โˆˆ โ„)
103102, 97nndivred 12263 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
104103anassrs 467 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
10584, 104fsumrecl 15677 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
10683, 105fsumrecl 15677 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
10751nnrpd 13011 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
108107relogcld 26473 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
109 uz2m1nn 12904 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
11072, 109syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
11151, 110nnmulcld 12262 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
112108, 111nndivred 12263 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
11383, 112fsumrecl 15677 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
114 2re 12283 . . . 4 2 โˆˆ โ„
115114a1i 11 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„)
11618a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11751nngt0d 12258 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 < ๐‘)
118116, 52, 53, 117, 64ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 < ๐ด)
11953, 118elrpd 13010 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
120119relogcld 26473 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
121 prmgt1 16631 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ 1 < ๐‘)
12249, 121syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 1 < ๐‘)
12352, 122rplogcld 26479 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
124120, 123rerpdivcld 13044 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
125123rpcnd 13015 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
126125mullidd 11229 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐‘)) = (logโ€˜๐‘))
127107, 119logled 26477 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐ด โ†” (logโ€˜๐‘) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
12864, 127mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜๐‘) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
129126, 128eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
130 1re 11211 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„
131130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
132131, 120, 123lemuldivd 13062 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 ยท (logโ€˜๐‘)) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” 1 โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
133129, 132mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 1 โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))
134 flge1nn 13783 . . . . . . . . 9 ((((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค ((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„•)
135124, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„•)
136 nnuz 12862 . . . . . . . 8 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
137135, 136eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
138103recnd 11239 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
139138anassrs 467 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
140 oveq2 7409 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) = (๐‘โ†‘1))
141140fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)))
142140eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™))
143140fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 1 โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜(๐‘โ†‘1)))
144142, 143ifbieq1d 4544 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 1 โ†’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0) = if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0))
145141, 144oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) = ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)))
146145, 140oveq12d 7419 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) / (๐‘โ†‘1)))
147137, 139, 146fsum1p 15696 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) / (๐‘โ†‘1)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜))))
14851nncnd 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
149148exp1d 14103 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘โ†‘1) = ๐‘)
150149fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) = (ฮ›โ€˜๐‘))
151 vmaprm 26965 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘) = (logโ€˜๐‘))
15249, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘) = (logโ€˜๐‘))
153150, 152eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) = (logโ€˜๐‘))
154149, 49eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™)
155154iftrued 4528 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0) = (logโ€˜(๐‘โ†‘1)))
156149fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (logโ€˜(๐‘โ†‘1)) = (logโ€˜๐‘))
157155, 156eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0) = (logโ€˜๐‘))
158153, 157oveq12d 7419 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) = ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘)))
159125subidd 11556 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) โˆ’ (logโ€˜๐‘)) = 0)
160158, 159eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) = 0)
161160, 149oveq12d 7419 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) / (๐‘โ†‘1)) = (0 / ๐‘))
162107rpcnne0d 13022 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
163 div0 11899 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (0 / ๐‘) = 0)
164162, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (0 / ๐‘) = 0)
165161, 164eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) / (๐‘โ†‘1)) = 0)
166 1p1e2 12334 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
167166oveq1i 7411 . . . . . . . . 9 ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) = (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))
168167a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) = (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))))
169 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
170 eluz2nn 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
172171, 167eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
17349, 172, 89syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) = (logโ€˜๐‘))
17451adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
175 nnq 12943 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
177169, 167eleq2s 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
178177adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
179 expnprm 16834 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™)
180176, 178, 179syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ยฌ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™)
181180iffalsed 4531 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0) = 0)
182173, 181oveq12d 7419 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) = ((logโ€˜๐‘) โˆ’ 0))
183125subid1d 11557 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = (logโ€˜๐‘))
184183adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((logโ€˜๐‘) โˆ’ 0) = (logโ€˜๐‘))
185182, 184eqtrd 2764 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) = (logโ€˜๐‘))
186185oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ (((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
187168, 186sumeq12dv 15649 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
188165, 187oveq12d 7419 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘1)) โˆ’ if((๐‘โ†‘1) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘1)), 0)) / (๐‘โ†‘1)) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((1 + 1)...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜))) = (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜))))
189 fzfid 13935 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โˆˆ Fin)
190108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
191 nnnn0 12476 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
19251, 191, 96syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
193190, 192nndivred 12263 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
194171, 193sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
195189, 194fsumrecl 15677 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
196195recnd 11239 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
197196addlidd 11412 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (0 + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
198147, 188, 1973eqtrd 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
199107rpreccld 13023 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„+)
200124flcld 13760 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค)
201200peano2zd 12666 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ โ„ค)
202199, 201rpexpcld 14207 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)) โˆˆ โ„+)
203202rpge0d 13017 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 โ‰ค ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)))
20451nnrecred 12260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
205204resqcld 14087 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„)
206135peano2nnd 12226 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ โ„•)
207206nnnn0d 12529 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ โ„•0)
208204, 207reexpcld 14125 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)) โˆˆ โ„)
209205, 208subge02d 11803 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (0 โ‰ค ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)) โ†” (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โ‰ค ((1 / ๐‘)โ†‘2)))
210203, 209mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โ‰ค ((1 / ๐‘)โ†‘2))
211110nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
212211rpcnne0d 13022 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โ‰  0))
213199rpcnd 13015 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
214 dmdcan 11921 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) ยท ((1 / ๐‘) / (๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 / ๐‘) / ๐‘))
215212, 162, 213, 214syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) ยท ((1 / ๐‘) / (๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 / ๐‘) / ๐‘))
216131recnd 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
217 divsubdir 11905 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) = ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (1 / ๐‘)))
218148, 216, 162, 217syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) = ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (1 / ๐‘)))
219 divid 11898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
220162, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
221220oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘) โˆ’ (1 / ๐‘)) = (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))
222218, 221eqtrd 2764 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) = (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))
223 divdiv1 11922 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆ’ 1) โ‰  0)) โ†’ ((1 / ๐‘) / (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
224216, 162, 212, 223syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘) / (๐‘ โˆ’ 1)) = (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
225222, 224oveq12d 7419 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) ยท ((1 / ๐‘) / (๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))))
22651nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
227213, 148, 226divrecd 11990 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘) / ๐‘) = ((1 / ๐‘) ยท (1 / ๐‘)))
228213sqvald 14105 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘2) = ((1 / ๐‘) ยท (1 / ๐‘)))
229227, 228eqtr4d 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘) / ๐‘) = ((1 / ๐‘)โ†‘2))
230215, 225, 2293eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))) = ((1 / ๐‘)โ†‘2))
231210, 230breqtrrd 5166 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โ‰ค ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))))
232205, 208resubcld 11639 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โˆˆ โ„)
233111nnrecred 12260 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
234 resubcl 11521 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„)
235130, 204, 234sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„)
236 recgt1 12107 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” (1 / ๐‘) < 1))
23752, 117, 236syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 < ๐‘ โ†” (1 / ๐‘) < 1))
238122, 237mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / ๐‘) < 1)
239 posdif 11704 . . . . . . . . . . 11 (((1 / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / ๐‘) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (1 / ๐‘))))
240204, 130, 239sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((1 / ๐‘) < 1 โ†” 0 < (1 โˆ’ (1 / ๐‘))))
241238, 240mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 0 < (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))
242 ledivmul 12087 . . . . . . . . 9 (((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„ โˆง ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ†’ (((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โ‰ค ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))))
243232, 233, 235, 241, 242syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ†” (((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) โ‰ค ((1 โˆ’ (1 / ๐‘)) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))))
244231, 243mpbird 257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
245235, 241elrpd 13010 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 โˆ’ (1 / ๐‘)) โˆˆ โ„+)
246232, 245rerpdivcld 13044 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))) โˆˆ โ„)
247246, 233, 123lemul2d 13057 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))) โ‰ค (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ†” ((logโ€˜๐‘) ยท ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))))
248244, 247mpbid 231 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))))
249125adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
250192nncnd 12225 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
251192nnne0d 12259 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โ‰  0)
252249, 250, 251divrecd 11990 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท (1 / (๐‘โ†‘๐‘˜))))
253148adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25451adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
255254nnne0d 12259 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
256 nnz 12576 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
257256adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
258253, 255, 257exprecd 14116 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) = (1 / (๐‘โ†‘๐‘˜)))
259258oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท (1 / (๐‘โ†‘๐‘˜))))
260252, 259eqtr4d 2767 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)))
261171, 260sylan2 592 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)))
262261sumeq2dv 15646 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) ยท ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)))
263171nnnn0d 12529 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
264 expcl 14042 . . . . . . . . 9 (((1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
265213, 263, 264syl2an 595 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))) โ†’ ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
266189, 125, 265fsummulc2 15727 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) ยท ((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)))
267 fzval3 13698 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ โ„ค โ†’ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) = (2..^((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)))
268200, 267syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘)))) = (2..^((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1)))
269268sumeq1d 15644 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2..^((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜))
270204, 238ltned 11347 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (1 / ๐‘) โ‰  1)
271 2nn0 12486 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•0
272271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
273 eluzp1p1 12847 . . . . . . . . . . . 12 ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
274137, 273syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
275 df-2 12272 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
276275fveq2i 6884 . . . . . . . . . . 11 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
277274, 276eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
278213, 270, 272, 277geoserg 15809 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2..^((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) = ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))))
279269, 278eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜) = ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘))))
280279oveq2d 7417 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((1 / ๐‘)โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))))
281262, 266, 2803eqtr2d 2770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) = ((logโ€˜๐‘) ยท ((((1 / ๐‘)โ†‘2) โˆ’ ((1 / ๐‘)โ†‘((โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))) + 1))) / (1 โˆ’ (1 / ๐‘)))))
282111nncnd 12225 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
283111nnne0d 12259 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) โ‰  0)
284125, 282, 283divrecd 11990 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) = ((logโ€˜๐‘) ยท (1 / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)))))
285248, 281, 2843brtr4d 5170 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (2...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))((logโ€˜๐‘) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
286198, 285eqbrtrd 5160 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
28783, 105, 112, 286fsumle 15742 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
288 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
289 eluz2nn 12865 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
290288, 289syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
291290adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
292291nnred 12224 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
293288adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
294 eluz2gt1 12901 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
295293, 294syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ 1 < ๐‘)
296292, 295rplogcld 26479 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
297293, 109syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
298291, 297nnmulcld 12262 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•)
299298nnrpd 13011 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„+)
300296, 299rpdivcld 13030 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„+)
301300rpred 13013 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
30247, 301fsumrecl 15677 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
303300rpge0d 13017 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
30447, 301, 303, 82fsumless 15739 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค ฮฃ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))))
305 rplogsumlem1 27333 . . . . 5 (((absโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค 2)
30675, 305syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ (2...((absโ€˜๐ด) + 1))((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค 2)
307113, 302, 115, 304, 306letrd 11368 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)((logโ€˜๐‘) / (๐‘ ยท (๐‘ โˆ’ 1))) โ‰ค 2)
308106, 113, 115, 287, 307letrd 11368 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘ โˆˆ ((0[,]๐ด) โˆฉ โ„™)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((logโ€˜๐ด) / (logโ€˜๐‘))))(((ฮ›โ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)) โˆ’ if((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„™, (logโ€˜(๐‘โ†‘๐‘˜)), 0)) / (๐‘โ†‘๐‘˜)) โ‰ค 2)
30946, 308eqbrtrd 5160 1 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐ด)(((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆ’ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (logโ€˜๐‘›), 0)) / ๐‘›) โ‰ค 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   โˆฉ cin 3939  ifcif 4520   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ„คcz 12555  โ„คโ‰ฅcuz 12819  โ„šcq 12929  โ„+crp 12971  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  โŒŠcfl 13752  โ†‘cexp 14024  abscabs 15178  ฮฃcsu 15629  โ„™cprime 16605  logclog 26405  ฮ›cvma 26940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-pc 16769  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-cxp 26408  df-vma 26946
This theorem is referenced by:  rplogsum  27376
  Copyright terms: Public domain W3C validator