Theorem logrnaddcl 26705

Description: The range of the natural logarithm is closed under addition with reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logrnaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ran log)

Proof of Theorem logrnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logrncn 26693	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11190	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcl 11182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
5		ellogrn 26690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ran log ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) ≤ π))
6	5	simp2bi 1162	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → -π < (ℑ‘𝐴))
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -π < (ℑ‘𝐴))
8		imadd 15185	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
9	1, 2, 8	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)))
10		reim0 15169	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐵) = 0)
11	10	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐵) = 0)
12	11	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) + 0))
13	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	imcld 15246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	addridd 11410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) + 0) = (ℑ‘𝐴))
17	9, 12, 16	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) = (ℑ‘𝐴))
18	7, 17	breqtrrd 5143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -π < (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)))
19	5	simp3bi 1163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ran log → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
20	19	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≤ π)
21	17, 20	eqbrtrd 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ π)
22		ellogrn 26690	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ran log ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 + 𝐵)) ≤ π))
23	4, 18, 21, 22	syl3anbrc 1360	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ran log ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ran log)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244  -cneg 11442  ℑcim 15149  πcpi 16120  logclog 26685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687

This theorem is referenced by:  logmul2  26747  logdiv2  26748  atanlogaddlem  27044